§ I.3.2

Дальнейшие свойства определителей

[9/0%]
Показать
LaTeX
Задача I.3.2.1

Целые числа 1798,2139,3255,48671798,2139,3255,4867 делятся на 31. Без всяких вычислений показать, что определитель четвёртого порядка

∣1798213932554867∣ \begin{vmatrix} 1 & 7 & 9 & 8 \\ 2 & 1 & 3 & 9 \\ 3 & 2 & 5 & 5 \\ 4 & 8 & 6 & 7 \end{vmatrix}

также делится на 31.

?
Задача I.3.2.2

Показать, что любой кососимметрический определитель ∣aij∣\left|a_{i j}\right| четвертого порядка с aij∈Za_{i j} \in \mathbb {Z} является квадратом целого числа.

Замечание. Это верно для кососимметрического определителя произвольного порядка.

?
Задача I.3.2.3

Доказать соотношение det⁡AB=det⁡A⋅det⁡B\operatorname {det} A B=\operatorname {det} A \cdot \operatorname {det} B (теорема 3)) путём приведения элементарными преобразованиями типа (II) над строками вспомогательной матрицы C=∥EB−A0∥C=\left\Vert \begin{smallmatrix} E & B \\ -A & 0\end{smallmatrix}\right\Vert размера 2n×2n2 n \times 2 n к виду C′=∥EB0AB∥C^{\prime }=\left\Vert \begin{smallmatrix} E & B \\ 0 & A B\end{smallmatrix}\right\Vert.

?
Задача I.3.2.4

В задачах по моделированию случайных стационарных процессов возникают определители вида

Δn(k1,x1;…;km,xm)=∣Mk1n(x1)Mk2n(x2)………Mkmn(xm)∣ \Delta _{n}\left(k_{1}, x_{1} ; \ldots ; k_{m}, x_{m}\right)=\begin{vmatrix} M_{k_{1}}^{n}\left(x_{1}\right) \\ M_{k_{2}}^{n}\left(x_{2}\right) \\ \ldots \ldots \ldots \\ M_{k_{m}}^{n}\left(x_{m}\right) \end{vmatrix}

где x1,…,xmx_{1}, \ldots , x_{m} — любые переменные; k1,…,kmk_{1}, \ldots , k_{m} — натуральные числа, k1+k2+…+km=n;Mkn(x)k_{1}+k_{2}+\ldots +k_{m}=n ; M_{k}^{n}(x) — k×nk \times n-матрица вида

Mkn(x)=∥1xx2…xn−101(21)x…(n−11)xn−2001…(n−12)xn−3………………000…(n−1k−1)xn−k∥. M_{k}^{n}(x)=\left\Vert \begin{smallmatrix} 1 & x & x^{2} & \ldots & x^{n-1} \\ 0 & 1 & \binom {2}{1}x & \ldots & \binom {n-1}{1}x^{n-2} \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & \binom {n-1}{2}x^{n-3} \\ \ldots & \ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \binom {n-1}{k-1}x^{n-k} \end{smallmatrix}\right\Vert .

Доказать, что

Δn(k1,x1;…;km,xm)=∏1⩽j<i⩽m(xi−xj)kikj \Delta _{n}\left(k_{1}, x_{1} ; \ldots ; k_{m}, x_{m}\right)=\prod _{1 \leqslant j<i \leqslant m}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{k_{i} k_{j}}
?
Задача I.3.2.5

Показать, что

Bn(s,t)=∣(st)(st+1)⋯(st+n−1)(s+1t)(s+1t+1)⋯(s+1t+n−1)\hdotsfor4(s+n−1t)(s+n−1t+1)⋯(s+n−1t+n−1)∣=(n+s−1n)(n+s−2n)⋯(n+s−tn)(n+t−1n)(n+t−2n)⋯(nn). \begin{aligned} B_n(s,t) = \begin{vmatrix} \binom {s}{t} & \binom {s}{t+1} & \cdots & \binom {s}{t+n-1} \\ \binom {s+1}{t} & \binom {s+1}{t+1} & \cdots & \binom {s+1}{t+n-1} \\ \hdotsfor {4} \\ \binom {s+n-1}{t} & \binom {s+n-1}{t+1} & \cdots & \binom {s+n-1}{t+n-1} \end{vmatrix} \\ & =\frac{\binom {n+s-1}{n}\binom {n+s-2}{n} \cdots \binom {n+s-t}{n}}{\binom {n+t-1}{n}\binom {n+t-2}{n} \cdots \binom {n}{n}}. \end{aligned}
?
Задача I.3.2.6

Пусть

Cn(λ1,…,λn)=∥λ110…000−1λ21…000…………………………………000…λn−210000…−1λn−11000…0−1λn∥. C_{n}\left(\lambda _{1}, \ldots , \lambda _{n}\right)=\left\Vert \begin{smallmatrix} \lambda _{1} & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda _{2} & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda _{n-2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & \lambda _{n-1} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & \lambda _{n} \end{smallmatrix}\right\Vert .

Показать, что det⁡Cn=λndet⁡Cn−1+det⁡Cn−2\operatorname {det} C_{n}=\lambda_{n} \operatorname {det} C_{n-1}+\operatorname {det} C_{n-2}. При λ1=λ2=…=λn=1\lambda_{1}=\lambda_{2}=\ldots =\lambda_{n}=1 найти численное значение det⁡Cn\operatorname {det} C_{n}.

?
Задача I.3.2.7

Показать, что определитель n×nn \times n-матрицы

An=∥2−100…000−12−10…0000−12−1…000…………………….0000…−12−10000…0−12∥ A_{n}=\left\Vert \begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 2 \end{smallmatrix}\right\Vert

равен n+1n+1.

?
Задача I.3.2.8

Пусть A,BA, B — любые квадратные матрицы порядка nn. Показать, что

det⁡∥ABBA∥=det⁡(A+B)⋅det⁡(A−B) \operatorname {det}\left\Vert \begin{smallmatrix} A & B \\ B & A \end{smallmatrix}\right\Vert =\operatorname {det}(A+B) \cdot \operatorname {det}(A-B)
?
Задача I.3.2.9

Пусть XX — матрица размера n×kn \times k, а YY — размера k×nk \times n. Доказать, что

det⁡(En+XY)=det⁡(Ek+YX) \operatorname {det}\left(E_{n}+X Y\right)=\operatorname {det}\left(E_{k}+Y X\right)
?