§ I.3.1

Определители: построение и основные свойства

[3/0%]
LaTeX
Задача I.3.1.1

Кососимметрическую функцию Δ:R3→R\Delta : \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R} трёх переменных

Δ(x,y,z)=(y−x)(z−x)(z−y) \Delta (x, y, z)=(y-x)(z-x)(z-y)

записать в виде определителя третьего порядка.

?
Задача I.3.1.2

Пусть A=(aij),A′=(aij′)A=\left(a_{i j}\right), A^{\prime }=\left(a_{i j}^{\prime }\right) — две n×nn \times n-матрицы, Δ,Δ′\Delta , \Delta^{\prime } — их определители. Сравнить Δ\Delta и Δ′\Delta^{\prime } в случаях:

?
(а)

aij′=2i−jaija_{i j}^{\prime }=2^{i-j} a_{i j}

(б)

aij′=an+1−i,ja_{i j}^{\prime }=a_{n+1-i, j}

(в)

aij′=an+1−i,n+1−ja_{i j}^{\prime }=a_{n+1-i, n+1-j}.

Задача I.3.1.3

Показать, что

∣111…11121…11113…11111…n1111…1n+1∣=n!. \left|\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & n & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & n+1 \end{smallmatrix}\right|=n ! .
?