§ I.2.3

Линейные отображения. Действия с матрицами

[18/0%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача I.2.3.1

(а)(б)(в)

Даны отображения:

(а)

$\left[x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right] \mapsto \left[x_{n}, \ldots , x_{2}, x_{1}\right]$ ;

(б)

$\left[x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right] \mapsto \left[x_{1}, x_{2}^{2}, \ldots , x_{n}^{n}\right]$ ;

(в)

$\left[x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right] \mapsto \left[x_{1}, x_{1}+x_{2}, \ldots , x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right]$ .

Какие из них являются линейными?

Задача I.2.3.2

Доказать, что

\left\Vert \begin{smallmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right\Vert ^{m}=\left\Vert \begin{smallmatrix} 1 & m a & \frac{m(m-1)}{2} a b+m c \\ 0 & 1 & m b \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right\Vert

Найти для $\left\Vert \begin{smallmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right\Vert$ обратную матрицу.

Задача I.2.3.3

Проверить, что $\left\Vert \begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right\Vert^{3}=E$ .

Задача I.2.3.4

(а)(б)(в)

В приложениях большую роль играют марковские (или стохастические) матрицы

P=\left(P_{i j}\right), \quad p_{i j} \geqslant 0, \quad \sum _{j=1}^{n} p_{i j}=1, \quad i=1,2, \ldots , n

Линейные отображения $\varphi_{P}$ , ассоциированные с марковскими матрицами, обычно применяют к специальным так называемым вероятностным векторам-столбцам

X=\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right], \quad x_{i} \geqslant 0, \quad \sum _{i=1}^{n} x_{i}=1

Согласованность этих определений, диктуемых естественнонаучными задачами, видна из следующих утверждений, которые нужно доказать хотя бы при $n=2$

(а)

Матрица $P \in M_{n}(\mathbb {R})$ является марковской в точности тогда, когда вместе с любым вероятностным вектором $X$ вектор $P X$ также является вероятностным (здесь $P X=\varphi_{P}(X)$ ).

(б)

Если $P$ — положительная марковская матрица $(\forall i, j\ p_{i j}>0)$ , то любому вероятностному вектору $X$ отвечает положительный вероятностный вектор $P X$ (все компоненты строго больше нуля).

(в)

Если $P$ и $Q$ — марковские матрицы, то марковской будет также матрица $P Q$ . Это означает, в частности, что любая степень $P^{k}$ марковской матрицы является марковской.

Задача I.2.3.5

Найти ${ }^{t} H \cdot H$ , если

H=\left\Vert \begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right\Vert

Задача I.2.3.6

Ассоциировав с циклом длины $n$ в $S_{n}$ (см. § 8 гл. 1) матрицу перестановки (строк единичной матрицы $E_{n}$ )

P=\left\Vert \begin{smallmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ & & & & \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right\Vert

проверить, что $P^{n}=E$ .

Задача I.2.3.7

Показать, что

\operatorname {rank}(A+B) \leqslant \operatorname {rank} A+\operatorname {rank} B

для любых двух $m \times n$ -матриц $A$ и $B$ .

Задача I.2.3.8

Показать, что для любой $m \times s$ -матрицы $A$ и любой $s \times n$ -матрицы $B$ имеет место неравенство

\operatorname {rank} A+\operatorname {rank} B-s \leqslant \operatorname {rank} A B

Задача I.2.3.9

Показать, что если $A B C=0$ для квадратных матриц $A, B, C$ порядка $n$ , то

\operatorname {rank} A+\operatorname {rank} B+\operatorname {rank} C \leqslant 2 n.

Задача I.2.3.10

Найти ранг матрицы

A=\left\Vert \begin{smallmatrix} x_{1} y_{1} & x_{1} y_{2} & \ldots & x_{1} y_{n} \\ x_{2} y_{1} & x_{2} y_{2} & \cdots & x_{2} y_{n} \\ & & & \\ x_{n} y_{1} & x_{n} y_{2} & \ldots & x_{n} y_{n} \end{smallmatrix}\right\Vert

Задача I.2.3.11

Показать, что если $A=\left(a_{i j}\right)$ — невырожденная симметрическая матрица $\left(a_{i j}=a_{j i}\right)$ , то и $A^{-1}$ — симметрическая матрица.

Задача I.2.3.12

Найти $A^{-1}$ и $F^{-1}$ , если

A=\left\Vert \begin{smallmatrix} 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 8 & 6 & 4 & 2 \\ 3 & 6 & 9 & 6 & 3 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\right\Vert , \quad F=\left\Vert \begin{smallmatrix} 2 & 3 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 4 & 2 \\ 4 & 8 & 6 & 3 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \end{smallmatrix}\right\Vert

Задача I.2.3.13

Проверить, что

A=\left\Vert \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right\Vert , a d-b c \neq 0 \Longrightarrow A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left\Vert \begin{smallmatrix} d & -b \\ -c & a \end{smallmatrix}\right\Vert

В частности,

a d-b c=1 \Longrightarrow A^{-1}=\left\Vert \begin{smallmatrix} d & -b \\ -c & a \end{smallmatrix}\right\Vert

Существует ли $A^{-1}$ при $a d-b c=0$ ?

Задача I.2.3.14

Доказать, что для любой матрицы

A=\left\Vert \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right\Vert

выполнено соотношение

A^{2}=(a+d) A-(a d-b c) E

(другими словами, $A$ является "корнем" квадратного уравнения $x^{2}-(a+d) x+(a d-b c)=0)$ .

Задача I.2.3.15

При $a d-b c \neq 0$ использовать соотношение (23) для нахождения обратной матрицы $A^{-1}$ .

Задача I.2.3.16

Доказать, что если $\left\Vert \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d\end{smallmatrix}\right\Vert^{m}=0$ , то $\left\Vert \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d\end{smallmatrix}\right\Vert^{2}=0$ .

Задача I.2.3.17

Обосновать следующее рассуждение. Пусть $m \times s$ -матрица $X$ разбита горизонтальными и вертикальными прямыми на блоки (или клетки), так что

X=\left\Vert \begin{smallmatrix} X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1 k} \\ X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2 k} \\ & & & \\ X_{l 1} & X_{l 2} & \cdots & X_{l k} \end{smallmatrix}\right\Vert

где $X_{i 1}, \ldots , X_{i k}$ — матрицы с одинаковым числом $m_{i}$ строк $\left(m_{1}+\ldots +m_{i}=m\right)$ , а $X_{1 j}, \ldots , X_{l j}$ — матрицы с одинаковым числом $s_{j}$ столбцов $\left(s_{1}+\ldots s_{k}=s\right)$ . Если теперь

Y=\left\Vert \begin{smallmatrix} Y_{11} & Y_{12} & \ldots & Y_{1 r} \\ Y_{21} & Y_{22} & \ldots & Y_{2 r} \\ & & & \\ Y_{k 1} & Y_{k 2} & \ldots & Y_{k r} \end{smallmatrix}\right\Vert

— $s \times n$ -матрица с блоками $Y_{i j}$ размеров $s_{i} \times n_{j}\left(n_{1}+\ldots +n_{r}=n\right)$ , то имеет смысл говорить о произведении $Z=X Y$ , причём матрицу $Z=\left(z_{i j}\right)$ тоже можно считать блочной с блоками $Z_{i j}$ , вычисляемыми формально по формуле (7):

Z_{i j}=X_{i 1} Y_{1 j}+X_{i 2} Y_{2 j}+\ldots +X_{i k} Y_{k j}

По условию размеры матриц $X_{i \nu }, Y_{\nu j}$ таковы, что произведение $X_{i \nu } Y_{\nu j}$ имеет смысл. Приём разбиения матриц на блоки удобен даже в таком простейшем случае, как

\left\Vert \begin{smallmatrix} E & A \\ 0 & E \end{smallmatrix}\right\Vert \left\Vert \begin{smallmatrix} A & 0 \\ -E & B \end{smallmatrix}\right\Vert =\left\Vert \begin{smallmatrix} 0 & A B \\ -E & B \end{smallmatrix}\right\Vert ,

где $A, B, E, 0 \in M_{n}(\mathbb {R})$ ( $E$ — единичная, а 0 — нулевая матрица).

Задача I.2.3.18

Показать, что умножение матрицы

X=\left(x_{i j}\right) \in M_{n}(\mathbb {R})

на $T=\left(t_{i j}\right) \in M_{n}(\mathbb {R})$ слева равносильно линейному комбинированию строк $X_{(1)} \ldots , X_{(n)}$ , а справа — линейному комбинированию столбцов $X^{(1)}, \ldots , X^{(n)}$ . В частности, обратить внимание на то, что если