Векторные пространства строк и столбцов

Линейная оболочка $\langle U \cup V\rangle$ называется суммой подпространств $U$ и $V$ :

Если $U \cap V=0$, то говорят, что сумма $U+V$ прямая, и пишут $U \oplus V$.

Пусть $V=V_{1} \oplus V_{2}$ и $X=X_{1}+X_{2}=X_{1}^{\prime }+X_{2}^{\prime }$ — два выражения вектора $X \in V$ в виде линейной комбинации векторов $X_{1}, X_{1}^{\prime } \in V_{1}$ и $X_{2}, X_{2}^{\prime } \in V_{2}$. Тогда имеем $X_{1}-X_{1}^{\prime }=X_{2}^{\prime }-X_{2} \in V_{1} \cap V_{2}$, а так как $V_{1} \cap V_{2}=0$, то $X_{1}=X_{1}^{\prime }, X_{2}=X_{2}^{\prime }$.

Доказать обратное: если запись $X=X_{1}+X_{2}, X_{i} \in V_{i}, i=1,2$, единственна для каждого вектора $X \in V$, то сумма $V=V_{1}+V_{2}$ прямая. Более общо: сумма $V$ подпространств $V_{1}, \ldots , V_{k} \subset \mathbb {R}^{n}$ называется прямой суммой $V=V_{1} \oplus \ldots \oplus V_{k}$, если каждый вектор $X \in V$ имеет однозначное выражение вида $X=X_{1}+\ldots +X_{k}$ с $X_{i} \in V_{i}$.

Пусть $V, V_{1}$ и $V_{2}$ — линейные оболочки в $\mathbb {R}^{n}$, причём $V \subset V_{1}+V_{2}$. Всегда ли верно, что $V=V \cap V_{1}+V \cap V_{2}$? Что можно сказать про это соотношение в частном случае $V_{1} \subset V$?

Пусть $V$ — линейная оболочка в $\mathbb {R}^{n}$. Если $V=U \oplus W$ — разложение в прямую сумму, то оболочка $W$ называется дополнением к $U$, а $U$ — дополнением к $W$ в $V$. Однозначно ли определено дополнение к $U$ в $V$? Сравнить $W$ с теоретико-множественным понятием дополнения $V / U$ (см. § 5 гл. 1).

Показать, что векторы $X_{1}=(1,2,3), X_{2}=(3,2,1)$ линейно независимы; рассмотреть линейную оболочку $V \left\langle X_{1}, X_{2}\right\rangle$; показать, что вектор $X=(-5,2,9)$ содержится в $V$, и найти его координаты в базисе $X_{1}, X_{2}$; найти в $\mathbb {R}^{3}$ хотя бы одно дополнение к $V$.

Показать, что система векторов $X_{1}, \ldots , X_{n}$ из $\mathbb {R}^{n}$ тогда и только тогда порождает $\mathbb {R}^{n}$, когда она линейно независима.

Показать, что всякую линейно независимую систему векторов $X_{1}, \ldots , X_{k}$ из линейной оболочки $V \subset \mathbb {R}^{n}$ можно вложить в некоторую базисную систему для $V$.

Пусть $U$ и $V$ — линейные оболочки в $\mathbb {R}^{n}$. Доказать, что если $U \cap V=0$, то $\operatorname {dim}(U+V)=\operatorname {dim} U+\operatorname {dim} V$.

Найти ранг системы векторов $(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)$.