Специальные классы алгебр

$A(\alpha , \beta )$ - (ассоциативная) центральная простая алгебра над полем $F$;

отображение

является инволюцией (т.е. для любых $x, y \in A(\alpha , \beta )$ выполняются равенства $\overline{x+y}=\bar{x}+\bar{y}, \overline{x y}=\overline{y x}, \overline{\bar{x}}=x) ;$

для любого $x \in A(\alpha , \beta )$

где $\operatorname {tr} x=x+\bar{x}$ и $N(x)=x \bar{x}$ — элементы поля $F ;$

алгебра $A(\alpha , \beta )$ является телом тогда и только тогда, когда норменное уравнение $N(x)=0$ имеет в ней только нулевое решение;

алгебра $A(\alpha , \beta )$ является либо телом, либо изоморфна алгебре матриц $\mathbf{M}_{2}(F)$ — в соответствии с существованием или отсутствием в ней делителей нуля;

если норменное уравнение имеет в алгебре $A(\alpha , \beta )$ ненулевое решение, то оно имеет решение и во множестве ненулевых чистых кватернионов;

подалгебра $F(a)$, порождённая элементом $a$ алгебры $A(\alpha , \beta )$, является коммутативной алгеброй размерности $\leqslant 2$ над $F$, и если $a$ не является делителем нуля, то $F(a)$ — поле, изоморфное полю разложения многочлена $x^{2}-(\operatorname {tr} a) x+N(a)$;

(теорема Витта) норма $N(x)$ является квадратичной формой ранга 3 на пространстве чистых кватернионов, и, обратно, каждой квадратичной форме ранга 3 на трехмерном векторном пространстве $W$ над полем $F$ соответствует алгебра обобщённых кватернионов, определяемая как векторное пространство $F \oplus W$ с правилами умножения

где $Q$ — билинейная форма на $W$, ассоциированная с данной квадратичной формой, $\left[w_{1}, w_{2}\right]$ — векторное произведение элементов пространства $W$;

приведённая конструкция устанавливает биективное соответствие между кватернионными алгебрами над полем $F$ (с точностью до изоморфизма) и классами эквивалентности квадратичных форм ранга 3 на трехмерном векторном пространстве над $F$. (Формы $Q: W \times W \rightarrow F$ и $Q^{\prime }: W^{\prime } \times W^{\prime } \rightarrow F$ называются эквивалентиыми, если существуют изоморфизм $\alpha : W \rightarrow W^{\prime }$ и элемент $\lambda \in F^{*}$ такие, что $Q^{\prime }(\alpha (x), \alpha (y))=\lambda Q(x, y)$ для любых $x, y \in W$.)

факторалгебра $\mathbb {C}\left[x\right] /\langle f(x)\rangle$ полупроста тогда и только тогда, когда многочлен $f(x)$ не имеет кратных корней;

алгебра, порождённая полем $\mathbb {C}$ и матрицей $A$ в алгебре $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$, полупроста тогда и только тогда, когда минимальный многочлен матрицы $A$ не имеет кратных корней;

конечномерная алгебра над полем полупроста тогда и только тогда, когда она вполне приводима слева;

коммутативная полупростая алгебра с единицей изоморфна прямой сумму полей;

если все идемпотенты полупростой алгебры лежат в центре, то алгебра является прямой суммой нескольких тел.

Доказать, что если $H=0$, то $\mathbb {C}(F, H) \simeq \Lambda (V)$.

Чётной алаеброй Клиффорда $\mathbb {C}^{+}(F, H)$ (или $\mathbb {C}_{Q}^{+}(F)$) называется подалгебра алгебры Клиффорда, порождённая элементами $e_{i_{1}} \ldots e_{i_{2 m}}$ $(m=0,1, \ldots ,[n / 2])$. Доказать, что чётная алгебра Клиффорда квадратичной формы

не распадающаяся в $F$ на линейные множители, является квадратичным расширением поля $F$, изоморфным полю разложения

формы $Q$.

Доказать, что при char $F \neq 2$ чётная алгебра Клиффорда квадратичной формы $Q$ на трехмерном векторном пространстве $V$ изоморфна алгебре обобщённых кватернионов формы $Q^{(2)}$ на трехмерном векторном пространстве $W=\Lambda^{2} V$ (см. задачу 65.3).

В условиях задачи в) доказать, что квадратичная форма

на пространстве чистых кватернионов эквивалентна форме $\lambda Q\left(\lambda \in F^{*}\right)$.

Доказать, что для любых однородных элементов $x \in A_{i}, y \in A_{j}$, $z \in A$ имеем

Алгебра с 2-градуировкой, для которой однородные элементы удовлетворяют данным соотношениям, называется супералгеброй Ли.

Пусть $V$ - $n$-мерное векторное пространство с базисом $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ над полем $K$ характеристики, не равной 2, и $\Lambda (V)$ — внешняя алгебра на $V, I$ — тождественный оператор на $V, L_{0}=K \cdot I$ и $L_{1}$ — линейная оболочка операторов $\varphi_{i}$ и $\psi_{i}$, где

Доказать, что $L=L_{0} \oplus L_{1}$ является супералгеброй Ли относительно операции, введенной в а).

для любого многочлена $f(x) \in \mathbb {Q}\left[x\right]$ степени $n$ найдется матрица $A$ порядка $n$, для которой $f(A)=0$;

алгебра $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {Q})$ содержит подалгебру, изоморфную $K$;

если $L$ — подалгебра в $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {Q})$, являющаяся полем, то

$\mathbb {Z}$;

$\mathbb {Z}\left[x\right]$;

$\mathbb {Z}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right]$.

в кольце Ли выполняется тождество $x \circ y=-y \circ x$;

векторы трехмерного пространства образуют кольцо Ли относительно сложения и векторного умножения;

всякое кольцо $R$ является кольцом Ли относительно сложения и операции $x \circ y=x y-y x$;

множество всех дифференцирований кольца $R$ является кольцом Ли относительно сложения и операции $D_{1} \circ D_{2}=D_{1} D_{2}-D_{2} D_{1}$.

$\mathbb {Z}_{p}$ — кольцо без делителей нуля, содержащее $\mathbb {Z}$;

элемент $\sum_{i \geqslant 0} a_{i} p^{i}$ обратим в $\mathbb {Z}_{p}$ тогда и только тогда, когда $a_{0}=1,2, \ldots , p-1$;

естественный гомоморфизм групп обратимых элементов $\mathbb {Z}_{p}^{*} \rightarrow \mathbf{Z}_{p^{n}}^{*}$ сюръективен при любом $n ;$

каждый идеал в $\mathbb {Z}_{p}$ главный и имеет вид $\left(p^{n}\right), n \geqslant 0 ;$

найти все простые элементы в $\mathbb {Z}_{p}$.

Доказать, что поле $p$-адических чисел $\mathbb {Q}_{p}$, т.е. поле частных $\mathbb {Z}_{p}$, состоит из элементов вида $p^{m} h$, где $m \in \mathbb {Z}, h \in \mathbb {Z}_{p}$.

Показать, что $\mathbb {Q}$ содержится в $\mathbb {Q}_{p}$ в качестве подполя.

Доказать, что элемент $p^{m}\left(\sum_{i \geqslant 0} a_{i} p^{i}\right)$ из $\mathbb {Q}_{p}$, где $0 \leqslant a_{i} \leqslant p-1$, лежит в $\mathbb {Q}$ тогда и только тогда, когда, начиная с некоторого $N$, элементы $a_{i}, i \geqslant N$, образуют периодическую последовательность.

Найти в $\mathbb {Q}_{5}$ образы элементов $2 / 7$ и $1 / 3$.