Банк задач по математике

Задача 63.1

Какие из следующих числовых множеств образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения:

?

(а)

множество $\mathbb {Z}$ ;

(б)

множество $n \mathbb {Z}(n>1)$ ;

(в)

множество неотрицательных целых чисел;

(г)

множество $\mathbb {Q}$ ;

(д)

множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели делят фиксированное число $n \in \mathbb {N}$ ;

(е)

множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число $p$ ;

(ж)

множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели являются степенями фиксированного простого числа $p$ ;

(з)

множество вещественных чисел вида $x+y \sqrt{2}$ , где $x, y \in \mathbb {Q}$ ;

(и)

множество вещественных чисел вида $x+y \sqrt[3]{2}$ , где $x, y \in \mathbb {Q}$ ;

(к)

множество вещественных чисел вида $x+y \sqrt[3]{2}+z \sqrt[3]{4}$ , где $x, y$ , $z \in \mathbb {Q}$ ;

(л)

множество комплексных чисел вида $x+y i$ , где $x, y \in \mathbb {Z}$ ;

(м)

множество комплексных чисел вида $x+y i$ , где $x, y \in \mathbb {Q}$ ;

(н)

множество всевозможных сумм вида $a_{1} z_{1}+a_{2} z_{2}+\ldots +a_{n} z_{n}$ , где $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ — рациональные числа, $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — комплексные корни степени $n$ из 1 ;

(о)

множество комплексных чисел вида $\frac{x+y \sqrt{D}}{2}$ , где $D$ — фиксированное целое число, свободное от квадратов (не делящееся на квадрат простого числа), $x, y$ — целые числа одинаковой чётности?

Задача 63.2

Какие из указанных множеств матриц образуют кольцо относительно матричного сложения и умножения:

?

(а)

множество вещественных симметрических матриц порядка $n$ ;

(б)

множество вещественных ортогональных матриц порядка $n$ ;

(в)

множество верхних треугольных матриц порядка $n \geqslant 2$ ;

(г)

множество матриц порядка $n \geqslant 2$ , у которых две последние строки нулевые;

(д)

множество матриц вида $\left(\begin{array}{cc}x & y \\ D y & x\end{array}\right)$ , где $D$ — фиксированное целое число, $x, y \in \mathbb {Z}$ ;

(е)

множество матриц вида $\left(\begin{array}{cc}x & y \\ D y & x\end{array}\right)$ , где $D$ — фиксированный элемент некоторого кольца $K, x, y \in K$ ;

(ж)

множество матриц вида $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}x & y \\ D y & x\end{array}\right)$ , где $D$ — фиксированное целое число, свободное от квадратов, $x$ и $y$ — целые числа одинаковой чётности;

(з)

множество комплексных матриц вида $\left(\begin{array}{cc}z & w \\ -\bar{w} & \bar{z}\end{array}\right)$ ;

(и)

множество вещественных матриц вида

\left[\begin{smallmatrix} x & -y & -z & -t \\ y & x & -t & z \\ z & t & x & -y \\ t & -z & y & x \end{smallmatrix}\right]?

Задача 63.3

Какие из следующих множеств функций образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения функций:

?

(а)

множество функций вещественного переменного, непрерывных на отрезке $[a, b]$ ;

(б)

множество функций, имеющих вторую производную на интервале $(a, b)$ ;

(в)

множество целых рациональных функций вещественного переменного;

(г)

множество рациональных функций вещественного переменного;

(д)

множество функций вещественного переменного, обращающихся в 0 на некотором подмножестве $D \subseteq \mathbb {R}$ ;

(е)

множество тригонометрических многочленов

a_{0}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right)

с вещественными коэффициентами, где $n$ — произвольное натуральное число;

(ж)

множество тригонометрических многочленов вида

a_{0}+\sum _{k=1}^{n} \cos k x

с вещественными коэффициентами, где $n$ — произвольное натуральное число;

(з)

множество тригонометрических многочленов вида

a_{0}+\sum _{k=1}^{n} a_{k} \sin k x

с вещественными коэффициентами, где $n$ — произвольное натуральное число;

(и)

множество функций, определённых на некотором множестве $D$ и принимающих значение в некотором кольце $R$ ;

(к)

все степенные ряды от одной или нескольких переменных;

(л)

все лорановские степенные ряды от одной переменной?

Задача 63.4

Во множестве многочленов от переменного $t$ с обычным сложением рассматривается операция умножения, заданная правилом

(f \circ g)(t)=f(g(t))

Является ли это множество кольцом относительно заданного умножения и обычного сложения?

?

Задача 63.5

Образует ли кольцо множество всех подмножеств некоторого множества относительно симметрической разности и пересечения, рассматриваемых как сложение и умножение соответственно?

?

Задача 63.6

(а)(б)

Доказать изоморфизм колец из задач:

?

(а)

63.1, о) и 63.2, ж);

(б)

63.2, з) и 63.2, и).

Задача 63.7

Какие из колец, указанных в задачах 63.1-63.5, содержат делители нуля?

?

Задача 63.8

Найти обратимые элементы в кольцах с единицей из задач 63.1-63.5.

?

Задача 63.9

Доказать, что одно из колец задач 63.3, д) и 63.3, е) изоморфно, а другое не изоморфно кольцу многочленов $\mathbb {R}\left[x\right]$ .

?

Задача 63.10

Доказать, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют группу относительно умножения.

?

Задача 63.11

Найти все обратимые элементы, все делители нуля и все нильпотентные элементы в кольцах:

?

(а)

$\mathbf{Z}_{n}$ ;

(б)

$\mathbf{Z}_{p^{n}}$ , где $p$ — простое число;

(в)

$K[x] /(f K[x])$ , где $K$ — поле;

(г)

верхних треугольных матриц над полем;

(д)

$\mathbf{M}_{2}(\mathbb {R})$ ;

(е)

всех функций, определённых на некотором множестве $S$ и принимающих значения в поле $K$ ;

(ж)

всех степенных рядов от одной переменной;

(з)

$\mathbb {Z}$ ;

(и)

$\mathbb {Z}\left[i\right]$ .

Задача 63.12

Доказать, что группа обратимых элементов $\mathbb {Z}\left[\sqrt{3}\right]^{*}$ бесконечна.

?

Задача 63.13

(а)(б)(в)

Пусть $R$ — конечное кольцо. Доказать, что:

?

(а)

если $R$ не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы;

(б)

если $R$ имеет единицу, то каждый его элемент, имеющий односторонний обратный, обратим;

(в)

если $R$ имеет единицу, то всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля.

Задача 63.14

Доказать, что в кольце с единицей и без делителей нуля каждый элемент, имеющий односторонний обратный, является обратимым.

?

Задача 63.15

(а)(б)(в)(г)

Пусть $R$ — кольцо с единицей, $x, y \in R$ . Доказать, что:

?

(а)

если произведения $x y$ и $y x$ обратимы, то элементы $x$ и $y$ также обратимы;

(б)

если $R$ без делителей нуля и произведение $x y$ обратимо, то $x$ и $y$ обратимы;

(в)

без дополнительных предположений о кольце $R$ из обратимости произведения $x y$ не следует обратимость элементов $x$ и $y$ ;

(г)

если обратим элемент $1+a b$ , то обратим и элемент $1+b a$ .

Задача 63.16

(а)(б)

Пусть $R$ — прямая сумма колец $R_{1}, \ldots , R_{k}$ .

?

(а)

При каких условиях $R$ коммутативно; имеет единицу; не имеет делителей нуля?

(б)

Найти в $R$ все обратимые элементы; все делители нуля; все нильпотентные элементы.

Задача 63.17

(а)(б)(в)

Доказать, что:

?

(а)

если числа $k$ и $l$ взаимно просты, то $\mathbf{Z}_{k l}=\mathbf{Z}_{k} \oplus \mathbf{Z}_{l}$ ;

(б)

если $n=p_{1}^{k_{1}} \ldots p_{s}^{k_{s}}$ , где $p_{1}, \ldots , p_{s}$ — различные простые числа, то

\mathbf{Z}_{n}=\mathbf{Z}_{p_{1}^{k_{1}}} \oplus \ldots \oplus \mathbf{Z}_{p_{s}^{k_{s}}}

(в)

если числа $k$ и $l$ взаимно просты, то $\varphi (k l)=\varphi (k) \varphi (l)$ , где $\varphi$ функция Эйлера.

Задача 63.18

Найти все делители нуля в $\mathbb {C} \oplus \mathbb {C}$ .

?

Задача 63.19

(а)(б)(в)

Доказать, что:

?

(а)

делитель нуля в произвольной (ассоциативной) алгебре не является обратимым;

(б)

в конечномерной алгебре с единицей всякий элемент, не являющийся делителем нуля, обратим;

(в)

конечномерная алгебра без делителей нуля является телом (алгеброй с делением).

Задача 63.20

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

конечномерная алгебра с единицей и без делителей нуля над полем $\mathbb {C}$ изоморфна $\mathbb {C}$ ;

(б)

над полем $\mathbb {C}$ не существует конечномерных алгебр с делением, отличных от $\mathbb {C}$ .

Задача 63.21

(а)(б)

Перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные двумерные алгебры над $\mathbb {C}$ :

?

(а)

с единицей;

(б)

не обязательно с единицей.

Задача 63.22

(а)(б)

Перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные двумерные алгебры над $\mathbb {R}$ :

?

(а)

с единицей;

(б)

не обязательно с единицей.

Задача 63.23

(а)(б)(в)(г)

Пусть $\mathbb {H}$ — тело кватернионов.

?

(а)

Является ли $\mathbb {H}$ алгеброй над полем $\mathbb {C}$ , если умножение на скаляр $\alpha \in \mathbb {C}$ понимать как левое умножение на $\alpha \in \mathbb {H}$ ?

(б)

Доказать, что отображения

1 \mapsto \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \quad i \mapsto \left[\begin{smallmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{smallmatrix}\right], \quad j \mapsto \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \quad k \mapsto \left[\begin{smallmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{smallmatrix}\right]

являются изоморфизмами $\mathbb {H}$ как алгебры над полем $\mathbb {R}$ на некоторую подалгебру в алгебре матриц $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {C})$ над $\mathbb {R}$ .

(в)

Доказать, что отображение $z \mapsto \left(\begin{array}{cc}z & 0 \\ 0 & \bar{z}\end{array}\right)$ является изоморфным вложением поля $\mathbb {C}$ в алгебру $\mathbb {H}$ , реализованную в виде подалгебры алгебры $\mathrm{M}_{2}(\mathbb {C})$ над $\mathbb {R}($ см. б)).

(г)

Решить в $\mathbb {H}$ уравнение $x^{2}=-1$ .

Задача 63.24

(а)(б)

Тензорной алаеброй $\mathbb {T}(V)$ векторного пространства $V$ над полем $K$ называется (бесконечномерное) векторное пространство

\mathbb {T}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty } \mathbb {T}_{k}(V)

где $\mathbb {T}_{0}(V)=K, \mathbb {T}_{k}(V)=\underbrace{V \otimes \ldots \otimes V}_{k \text{ раз }}$ при $k>0$ , с умножением

f \cdot g=f \otimes g, \quad \text{ где } \quad f \in T_{k}(V), \quad g \in T_{m}(V).

Доказать, что:

?

(а)

$\mathbb {T}(V)$ — ассоциативная алгебра с единицей над полем $K$ ;

(б)

в $\mathbb {T}(V)$ нет делителей нуля.

Задача 63.25

(а)(б)(в)

Алаеброй Грассмана $\Lambda (V)$ векторного пространства $V$ над полем $K$ называется векторное пространство

\Lambda (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty } \Lambda ^{k}(V)

где $\Lambda^{0}(V)=K$ , с умножением

f \cdot g=f \wedge g, \quad \text{ где } \quad f \in \Lambda ^{k}(V), \quad g \in \Lambda ^{m}(V)

для любых $k, m>0$ . Доказать, что:

?

(а)

$\Lambda (V)$ является ассоциативной алгеброй с единицей над полем $K$ ;

(б)

каждый элемент из $I=\bigoplus_{k \geqslant 1} \Lambda^{k}(V)$ является нильпотентным;

(в)

каждый элемент из $\Lambda (V)$ , не лежащий в $I$ , обратим.

Задача 63.26

(а)(б)

Симметрической алгеброй $S(V)$ векторного пространства $V$ над полем $K$ называется векторное пространство

S(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty } S^{k}(V)

где $S^{0}(V)=k$ , с умножением

f \cdot g=\operatorname {Sym}(f \otimes g), \quad \text{ где } \quad f \in S^{k}(V), \quad g \in S^{m}(V)

для любых $k, m>0$ . Доказать, что:

?

(а)

$S(V)$ является ассоциативной, коммутативной алгеброй над $K$ ;

(б)

если $x_{1}, \ldots , x_{n}$ — базис пространства $V$ , то $S(V)$ изоморфно алгебре многочленов от $x_{1}, \ldots , x_{n}$ .

Задача 63.27

Пусть $A$ и $B$ — алгебры над полем $K$ . Тензорное произведение алгебр $C=A \otimes_{K} B$ определяется как тензорное произведение векторных пространств $A$ и $B$ над $K$ с умножением

\left(a^{\prime } \otimes b^{\prime }\right) \cdot \left(a^{\prime \prime } \otimes b^{\prime \prime }\right)=a^{\prime } a^{\prime \prime } \otimes b^{\prime } b^{\prime \prime }

Доказать изоморфизм алгебр над полем $K$ :

?

(а)

$\mathbb {C} \otimes_{K} \mathbb {C} \simeq \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \quad (K=\mathbb {R})$ ;

(б)

$\mathbf{M}_{n}(K) \otimes_{K} \mathbf{M}_{m}(K) \simeq \mathbf{M}_{m n}(K)$ ;

(в)

$\mathbf{M}_{n}(K) \otimes_{K} A \simeq \mathbf{M}_{n}(A)$ , где $A$ — произвольная ассоциативная алгебра над $K$ ;

(г)

$K\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right] \otimes_{K} K\left[Y_{1}, \ldots , Y_{m}\right] \simeq K\left[X_{1}, \ldots , X_{n}, Y_{1}, \ldots , Y_{m}\right] ;$

(д)

$\mathbb {H} \otimes_{\mathbb {R}} \mathbb {C} \simeq \mathbf{M}_{2}(\mathbb {C})$ ;

(е)

$\mathbf{S}(V) \otimes_{K} \Lambda (V) \simeq \mathbb {T}(V)$ при $\operatorname {dim} V=2$ ;

(ж)

$\mathbb {Q}(\sqrt{p}) \otimes \mathbb {Q}(\sqrt{q}) \simeq \mathbb {Q}(\sqrt{p}+\sqrt{q})$ , где $p$ и $q$ — различные простые числа.

Задача 63.28

(а)(б)

Пусть $K$ — поле характеристики нуль, $R=K\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right]$ кольцо многочленов и $p_{i}, q_{i}$ — линейные операторы на $R$ как векторном пространстве над $K$ , причём для $f \in R$

p_{i}(f)=x_{i} f, \quad q_{i}(f)=\frac{\partial }{\partial x_{i}} f

Обозначим через $A_{n}(K)$ подалгебру в алгебре линейных операторов в $R$ , порождённую $p_{1}, \ldots , p_{n}, q_{1}, \ldots , q_{n}$ . Она называется алаеброй Вейля или алгеброй дифференциальных операторов.

Доказать, что:

?

(а)

$q_{j} p_{i}-p_{i} q_{j}=\delta_{i j}, \quad p_{i} p_{j}=p_{j} p_{i}, \quad q_{i} q_{j}=q_{j} q_{i}$ ;

(б)

базис $A_{n}(K)$ как векторного пространства образуют одночлены

p_{1}^{l_{1}} \ldots p_{n}^{l_{n}} q_{1}^{t_{1}} \ldots q_{n}^{t_{n}}, \quad l_{i}, t_{j} \geqslant 0

Задача 63.29

Пусть $f=f\left(p_{1}, \ldots , p_{n}, q_{1}, \ldots , q_{n}\right)$ — элемент алгебры Вейля $A_{n}(K)$ (см. задачу 63.28.) Доказать, что

p_{i} f=f p_{i}+\frac{\partial f}{\partial q_{i}}, \quad q_{i} f=f q_{i}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}

?

Задача 63.30

Доказать, что алгебра верхних нильтреугольных матриц порядка $n$ является нильпотентной алгеброй индекса $n$ .

?

Задача 63.31

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

в кольце всех функций на отрезке $[0,1]$ делителями нуля являются функции, принимающие нулевое значение, и только они;

(б)

в кольце непрерывных функций на отрезке $[0,1]$ делителями нуля являются ненулевые функции, принимающие нулевое значение на некотором отрезке $[a, b]$ , где $0 \leqslant a<b \leqslant 1$ .

Кольца и алгебры