Банк задач по математике

Задача 62.1

(а)(б)(в)(г)

Найти коммутатор:

?

(а)

невырожденных матриц $\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{ll}x & y \\ 0 & z\end{array}\right)$ ;

(в)

двух транспозиций в симметрической группе $\mathbf{S}_{n}$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{cc}\beta & 0 \\ 0 & \beta^{-1}\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{ll}1 & \lambda \\ 0 & 1\end{array}\right)$ .

Задача 62.2

(а)(б)(в)

Доказать следующие свойства коммутанта $G^{\prime }$ групп:

?

(а)

$G^{\prime }$ — нормальная подгруппа в $G$ ;

(б)

факторгруппа $G / G^{\prime }$ коммутативна;

(в)

если $N$ нормальна в $G$ и $G / N$ коммутативна, то $G^{\prime } \subseteq N$ .

Задача 62.3

Доказать, что при сюръективном гомоморфизме $\varphi : G^{\prime } \rightarrow H$ выполнено равенство $\varphi (G)^{\prime }=H^{\prime }$ .

?

Задача 62.4

Установить биективное соответствие между гомоморфизмами группы в коммутативные группы и гомоморфизмами её факторгруппы по коммутанту.

?

Задача 62.5

Доказать, что коммутант группы $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(K)$ содержится в $\mathbf{S L}_{n}(K)$ .

?

Задача 62.6

Доказать, что коммутант прямого произведения есть прямое произведение коммутантов сомножителей.

?

Задача 62.7

(а)(б)(в)(г)

Найти коммутанты и порядки факторгрупп по коммутантам для групп:

?

(а)

$\mathbf{S}_{3}$ ;

(б)

$\mathbf{A}_{4}$ ;

(в)

$\mathbf{S}_{4}$ ;

(г)

$\mathbf{Q}_{8}$ .

Задача 62.8

(а)(б)

Найти коммутанты групп:

?

(а)

$\mathbf{S}_{n}$ ;

(б)

$\mathbf{D}_{n}$ .

Задача 62.9

Доказать, что коммутант нормальной подгруппы нормален во всей группе.

?

Задача 62.10

(а)(б)

Рядом коммутантов (или производным рядом) группы $G$ называется ряд подгрупп

G=G^{0} \supseteq G^{\prime } \supseteq G^{\prime \prime } \supseteq \ldots ,

где $G^{i+1}=\left(G^{i}\right)^{\prime }$ . Доказать, что:

?

(а)

все члены ряда коммутантов нормальны в $G$ ;

(б)

для всякого гомоморфизма $\varphi$ группы $G$ на группу $H$ $\varphi \left(G^{i}\right)=H^{i}$ .

Задача 62.11

(а)(б)(в)(г)

Доказать, что:

?

(а)

всякая подгруппа разрешимой группы разрешима;

(б)

всякая факторгруппа разрешимой группы разрешима;

(в)

если $A$ и $B$ — разрешимые группы, то группа $A \times B$ разрешима;

(г)

если $G / A \simeq B$ и $A, B$ — разрешимые группы, то $G$ разрешима.

Задача 62.12

Доказать разрешимость групп:

?

(а)

$S_{3}$ ;

(б)

$\mathbf{A}_{4}$ ;

(в)

$\mathbf{S}_{4}$ ;

(г)

$\mathbf{Q}_{8}$ ;

(д)

$\mathbf{D}_{n}$ .

Задача 62.13

(а)(б)(в)

Пусть $\mathbf{U T}_{n}(K)$ — группа верхних унитреугольных матриц. Доказать, что:

?

(а)

$\mathbf{U T}_{n}^{m}(K)$ (множество матриц из $\mathbf{U T}_{n}(K)$ с $m-1$ нулевыми диагоналями выше главной) — подгруппа в $\mathbf{U T}_{n}(K)$ ;

(б)

если $A \in \mathbf{U T}_{n}^{i}(K), B \in \mathbf{U T}_{n}^{j}(K)$ , то $[A, B] \in \mathbf{U T}_{n}^{(i+j)}(K)$ ;

(в)

группа $\mathbf{U T}_{n}(K)$ разрешима.

Задача 62.14

Доказать, что группа невырожденных верхних треугольных матриц разрешима.

?

Задача 62.15

Доказать, что конечная группа $G$ разрешима тогда и только тогда, когда в ней имеется ряд подгрупп

G=H_{0} \supseteq H_{1} \supseteq \ldots \supseteq H_{k}=\left\{ e\right\}

такой, что $H_{i+1}$ нормальна в $H_{i}$ и $H_{i} / H_{i+1}$ - (циклическая) группа простого порядка.

?

Задача 62.16

Доказать, что конечная $p$ -группа разрешима.

?

Задача 62.17

Доказать разрешимость группы порядка $p q$ , где $p, q$ различные простые числа.

?

Задача 62.18

Доказать разрешимость группы порядка:

?

(а)

$20 ; \quad$

(б)

12 ;

(в)

$p^{2} q$ , где $p, q$ — различные простые числа;

(г)

42 ;

(д)

100 ;

(е)

$n<60$ .

Задача 62.19

Доказать для трансвекций $t_{i j}(\alpha )=E+\alpha E_{i j}$ формулу

\left[t_{i k}(\alpha ), t_{k j}(\beta )\right]=t_{i j}(\alpha \beta )

при различных $i, j, k$ .

?

Задача 62.20

(а)(б)

Пусть $F$ — поле и $n \geqslant 3$ . Доказать, что:

?

(а)

$\mathbf{S L}_{n}^{\prime }(F)=\mathbf{G L}_{n}^{\prime }(F)=\mathbf{S L}_{n}(F)$ ;

(б)

группы $\mathbf{S L}_{n}(F)$ и $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(F)$ не являются разрешимыми.

Задача 62.21

(а)(б)

Пусть $F$ — поле, содержащее не менее четырех элементов. Доказать, что:

?

(а)

$\mathbf{S L}_{2}^{\prime }(F)=\mathbf{G L}_{2}^{\prime }(F)=\mathbf{S L}_{2}(F)$ ;

(б)

группы $\mathbf{S L}_{2}(F)$ и $\mathbf{G} \mathbf{L}_{2}(F)$ не являются разрешимыми.

Задача 62.22

Пусть $p, q, r$ — различные простые числа. Доказать, что любая группа порядка $p q r$ разрешима.

?

Задача 62.23

Пусть $p, q, r$ — различные простые числа. Доказать, что неразрешимая группа порядка $p^{2} q r$ изоморфна $\mathbf{A}_{5}$ .

?

Задача 62.24

Если порядок конечной группы является произведением различных простых чисел, то $G$ — разрешимая группа, обладающая такой циклической нормальной подгруппой $N$ , что $G / N$ — циклическая группа.

?

Задача 62.25

Пусть $G$ — конечная группа, причём $G=G^{\prime }$ , центр $G$ имеет порядок 2 и факторгруппа по центру изоморфна $\mathbf{A}_{5}$ . Доказать, что $G \simeq \mathbf{S L}_{2}\left(\mathbf{Z}_{5}\right)$ .

?

Задача 62.26

(а)(б)(в)

Пусть $F$ — поле, $V$ - $n$ -мерное векторное пространство над $F$ и $G$ — группа невырожденных линейных операторов в $V$ , причём, если $g \in G$ , то $g=1+h$ , где $h^{n}=0$ . Доказать, что:

?

(а)

в $V$ существует такой вектор $x \neq 0$ , что $g x=x$ для всех $g \in G$ ;

(б)

в $V$ существует такой базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ , что матрицы всех операторов $g, g \in G$ в этом базисе верхнетреугольные;

(в)

группа $G$ разрешима.

Задача 62.27

(а)(б)

Пусть $p, q$ — простые числа, причём $p$ делит $q-1$ . Доказать, что:

?

(а)

существует целое $r \not\equiv 1(\bmod q)$ такое, что $r^{p} \equiv 1(\bmod q)$ ;

(б)

существует (с точностью до изоморфизма) ровно одна некоммутативная группа порядка $p q$ .

Задача 62.28

(а)(б)(в)

Доказать, что:

?

(а)

если в коммутативной группе элементы $a, b$ связаны соотношениями $a^{3}=b^{5}=(a b)^{7}=e$ , то $a=b=e$ ;

(б)

подгруппа, порожденная в $\mathbf{S}_{7}$ перестановками (123) и (14567), не является разрешимой;

(в)

группа с порождающими элементами $x_{1}, x_{2}$ и определяющими соотношениями $x_{1}^{3}=x_{2}^{5}=\left(x_{1} x_{2}\right)^{7}=e$ не является разрешимой.

Задача 62.29

Разрешима ли свободная группа?

?

Разрешимые группы