Банк задач по математике

Задача 61.1

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

группа $\mathbf{S}_{n}$ порождается транспозицией (12) и циклом $(12 \ldots n)$ ;

(б)

группа $\mathbf{A}_{n}$ порождается тройными циклами.

Задача 61.2

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

группа $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(K)$ над полем $K$ порождается матрицами вида $E+a E_{i j}$ , где $a \in K, 1 \leqslant i \neq j \leqslant n$ , и матрицами $E+b E_{11}$ , где $b \in K$ , $b \neq -1$ ;

(б)

группа $\mathbf{U T}_{n}(K)$ порождается матрицами $E+a E_{i j}$ , где $a \in K$ , $1 \leqslant i<j \leqslant n$ .

Задача 61.3

Доказать, что специальная линейная группа $\mathbf{S L}_{n}(K)$ над полем $K$ порождается трансвекииями, т.е. элементарными матрицами вида $E+\alpha E_{i j}(i \neq j)$ .

?

Задача 61.4

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

любую целочисленную матрицу с единичным определителем можно привести к единичному виду только элементарными преобразованиями, заключающимися в том, что к одной строке прибавляется другая строка, умноженная на $\pm 1$ ;

(б)

группа $\mathbf{S L}_{n}(\mathbb {Z})$ конечно порождена.

Задача 61.5

Пусть $\mathbb {F}_{q}$ — поле из $q \neq 9$ элементов и $a$ — образующий циклической группы $\mathbb {F}_{q}^{*}$ . Доказать, что $\mathbf{S L}_{2}\left(\mathbb {F}_{q}\right)$ порождается двумя матрицами

\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{smallmatrix}\right]

?

Задача 61.6

(а)(б)(в)

?

(а)

Доказать, что $\mathbf{A}_{5}$ порождается двумя подстановками, $(254)$ и (12345).

(б)

Доказать, что $\mathbf{A}_{n}$ при чётном $n \geqslant 4$ порождается двумя элементами: $a=(12)(n-1, n), \quad b=(1,2, \ldots , n-1)$ .

(в)

Доказать, что $\mathbf{A}_{n}$ при нечётном $n \geqslant 5$ порождается двумя элементами: $a=(1, n)(2, n-1), \quad b=(1,2, \ldots , n-2)$ .

Задача 61.7

Найти все двухэлементные множества, порождающие группы:

?

(а)

$\mathbf{Z}_{6}$ ;

(б)

$S_{3}$ ;

(в)

$\mathbf{Q}_{8}$ ;

(г)

$\mathbf{D}_{4}$ ;

(д)

$\langle a\rangle_{2} \oplus \langle b\rangle_{2}$ .

Задача 61.8

Доказать, что если $d$ — минимальное число порождающих конечной абелевой группы $A$ , то для группы $A \oplus A$ аналогичное число равно $2 d$ .

?

Задача 61.9

Доказать, что группа $\mathbf{S}_{2} \times \mathbf{S}_{3}$ порождается двумя элементами.

?

Задача 61.10

Доказать, что если группа имеет конечную систему порождающих, то из любой системы порождающих можно выбрать конечную подсистему, порождающую всю группу.

?

Задача 61.11

Будет ли конечно порождённым нормальное замыкание матрицы $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ в группе $G$ , порождённой матрицами $A$ и $B=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ?

?

Задача 61.12

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

каждое слово в свободной группе эквивалентно единственному несократимому слову;

(б)

"свободная группа" действительно является группой.

Задача 61.13

Пусть $F$ — свободная группа со свободными порождающими $x_{1}, \ldots , x_{n}, G$ — произвольная группа. Доказать, что для любых элементов $g_{1}, \ldots , g_{n} \in G$ существует единственный гомоморфизм $\varphi : F \rightarrow G$ такой, что $\varphi \left(x_{1}\right)=g_{1}, \ldots , \varphi \left(x_{n}\right)=g_{n}$ . Вывести отсюда, что любая конечно порожденная группа изоморфна факторгруппе подходящей свободной группы конечного ранга.

?

Задача 61.14

Доказать, что в свободной группе нет элементов конечного порядка, отличных от единицы.

?

Задача 61.15

Доказать, что два коммутирующих элемента свободной группы лежат в одной циклической подгруппе.

?

Задача 61.16

Доказать, что слово $w$ лежит в коммутанте свободной группы с системой свободный порождающих $x_{1}, \ldots , x_{n}$ тогда и только тогда, когда для каждого $i=1, \ldots , n$ сумма показателей у всех вхождений $x_{i}$ в $w$ равна 0.

?

Задача 61.17

В свободной группе описать все слова, сопряжённые слову $w$ .

?

Задача 61.18

Доказать, что факторгруппа свободной группы по её коммутанту — свободная абелева группа.

?

Задача 61.19

Доказать, что свободные группы рангов $m$ и $n$ изоморфны тогда и только тогда, когда $m=n$ .

?

Задача 61.20

Сколько подгрупп индекса 2 в свободной группе ранга 2?

?

Задача 61.21

(а)(б)

?

(а)

Доказать, что в свободной группе $F$ ранга $k$ все слова, в которых сумма показателей при каждой переменной делится на $n$ , образуют нормальную подгруппу $N$ .

(б)

Доказать, что $F / N=\overbrace{\mathbf{Z}_{n} \oplus \ldots \oplus \mathbf{Z}_{n}}^{k \text{ раз }}$

Задача 61.22

Доказать, что все сюръективные гомоморфизмы свободной группы ранга 2 на группу $\mathbf{Z}_{n} \oplus \mathbf{Z}_{n}$ имеют одно и то же ядро.

?

Задача 61.23

(а)(б)

Сколько существует гомоморфизмов свободной группы ранга 2 в группу:

?

(а)

$\mathbf{Z}_{2} \oplus \mathbf{Z}_{2}$ ;

(б)

$\mathbf{S}_{3}$ ?

Задача 61.24

Доказать, что в $\mathrm{SL}_{2}(\mathbb {Z})$ множество матриц $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ , где $a \equiv d \equiv 1(\bmod 4), b \equiv c \equiv 0(\bmod 2)$ , образует группу с двумя порождающими

\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix}\right]

?

Задача 61.25

Доказать, что если группа $G$ с порождающими элементами $x_{1}, \ldots , x_{n}$ задана определяющими соотношениями $R_{i}\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)=1$ $(i \in I)$ и в какой-либо группе $H$ для элементов $h_{1}, \ldots , h_{n} \in H$

R_{i}\left(h_{1}, \ldots , h_{n}\right)=1

то существует единственный гомоморфизм $\varphi : G \rightarrow H$ такой, что $\varphi \left(x_{1}\right)=h_{1}, \ldots , \varphi \left(x_{n}\right)=h_{n}$ .

?

Задача 61.26

Доказать, что если между элементами $a$ и $b$ группы выполнены соотношения

a^{5}=b^{3}=1, \quad b^{-1} a b=a^{2}

то $a=1$ .

?

Задача 61.27

Показать, что группа, порожденная элементами $a, b$ с соотношениями $a^{2}=b^{7}=1, a^{-1} b a=b^{-1}$ , конечна.

?

Задача 61.28

(а)(б)

Доказать, что группа, заданная порождающими элементами $x_{1}, x_{2}$ с соотношениями:

?

(а)

$x_{1}^{2}=x_{2}^{3}=\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}=1$ ;

(б)

$x_{1}^{2}=x_{2}^{3}=1, \quad x_{1}^{-1} x_{2} x_{1}=x_{2}^{2}$ ; изоморфна $\mathbf{S}_{3}$ .

Задача 61.29

Доказать, что группа, заданная порождающими элементами $x_{1}, x_{2}$ и определяющими соотношениями

x_{1}^{2}=x_{2}^{n}=1, \quad x_{1}^{-1} x_{2} x_{1}=x_{2}^{-1}

изоморфна группе диэдра $\mathbf{D}_{n}$ .

?

Задача 61.30

Доказать, что группа, заданная порождающими элементами $x_{1}, x_{2}$ и определяющими соотношениями

x_{1}^{4}=1, \quad x_{1}^{2}=x_{2}^{2}, \quad x_{2}^{-1} x_{1} x_{2}=x_{1}^{3},

изоморфна группе кватернионов $\mathbf{Q}_{8}$ .

?

Задача 61.31

Доказать, что группа, заданная порождающими элементами $x_{1}, x_{2}$ и определяющими соотношениями $x_{1}^{2}=x_{2}^{2}=1$ , изоморфна группе матриц

\left\{ \left.\left[\begin{smallmatrix} \pm 1 & n \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \right\rvert \, n \in \mathbb {Z}\right\}

?

Задача 61.32

Доказать, что группа, заданная порождающими элементами $x_{1}, x_{2}$ и определяющими соотношениями $x_{1}^{2}=x_{2}^{2}=\left(x_{1} x_{2}\right)^{n}=1$ , изоморфна группе матриц

\left\{ \left.\left[\begin{smallmatrix} \pm 1 & k \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \right\rvert \, k \in \mathbf{Z}_{n}\right\}

?

Задача 61.33

(а)(б)

Найти порядок группы, заданной образующими $a, b$ и определяющими соотношениями:

?

(а)

$a^{3}=b^{2}=(a b)^{3}=1 ;$

(б)

$a^{4}=b^{2}=1, \quad a b^{2}=b^{3} a, \quad b a^{3}=a^{2} b$ .

Задача 61.34

(а)(б)

Пусть $G$ — группа, порожденная элементами $x_{i j}, 1 \leqslant i<j \leqslant n$ , с определяющими соотношениями

\begin{gathered} x_{i j} x_{k l}=x_{k l} x_{i j}, \quad 1 \leqslant i<j \neq k<l \neq i \leqslant n ; \\ x_{i j} x_{j l} x_{i j}^{-1} x_{j l}^{-1}=x_{i l}, \quad 1 \leqslant i<j<l \leqslant n. \end{gathered}

Доказать, что:

?

(а)

каждый элемент группы $G$ представляется в виде

x_{12}^{m_{12}} x_{13}^{m_{12}} \ldots x_{1 n}^{m_{1 n}} x_{23}^{m_{23}} \ldots x_{2 n}^{m_{2 n}} \ldots x_{n-1, n}^{m_{n-1, n}}

где $m_{i j} \in \mathbb {Z}$ ;

(б)

$G \simeq \mathbf{U T}_{n}(\mathbb {Z})$ .

Задача 61.35

Доказать, что если $G / H=\langle g H\rangle$ — бесконечная циклическая группа, то $G=\langle g\rangle H,\langle g\rangle \cap H=\left\{ e\right\}$ .

?

Задача 61.36

Описать в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений группы, у которых имеется бесконечная циклическая нормальная подгруппа с бесконечной циклической факторгруппой.

?

Задача 61.37

Пусть группа $G$ задана порождающими элементами $x_{1}, x_{2}$ и определяющим соотношением $x_{1} x_{2} x_{1}^{-1}=x_{2}^{2}$ . Найти наименьшую подгруппу, порождённую в $G$ элементом $x_{2}$ . Является ли эта подгруппа нормальной?

?

Порождающие элементы и определяющие соотношения