Силовские подгруппы. Группы малых порядков

Найти порядок групп:

Изоморфны ли:

Найти все силовские 2 -подгруппы и 3 -подгруппы в группах:

Указать сопрягающие элементы для силовских 2 -подгрупп и силовских 3-подгрупп в группах:

Доказать, что любая силовская 2 -подгруппа группы $\mathbf{S}_{4}$ изоморфна группе диэдра $\mathbf{D}_{4}$.

В каких силовских 2-подгруппах группы $\mathbf{S}_{4}$ содержатся перестановки:

Доказать, что существуют в точности две некоммутативные неизоморфные группы порядка 8 — группа кватернионов $\mathbf{Q}_{8}$ и группа диэдра $\mathbf{D}_{4}$.

Доказать, что силовская 2 -подгруппа группы $\mathbf{S L}_{2}\left(\mathbb {Z}_{3}\right)$ :

Сколько различных силовских $p$-подгрупп в группе $\mathbf{A}_{5}$, где:

Найти порядок силовской $p$-подгруппы в группе $\mathbf{S}_{n}$.

Сколько различных силовских $p$-подгрупп в группе $\mathbf{S}_{p}$, где $p$ — простое число?

Доказать, что силовская $p$-подгруппа в группе $G$ единственна тогда и только тогда, когда она нормальна в $G$.

Пусть

Доказать, что подгруппа верхних унитреугольных матриц является силовской $p$-подгруппой в $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}\left(\mathbf{Z}_{p}\right)$.

В группе диэдра $\mathbf{D}_{n}$ для каждого простого делителя $p$ числа $2 n$ :

Доказать, что образ силовской $p$-подгруппы конечной группы $G$ при гомоморфизме группы $G$ на группу $H$ является силовской подгруппой в $H$.

Доказать, что любая силовская $p$-подгруппа прямого произведения конечных групп $A$ и $B$ является произведением силовских $p$-подгрупп сомножителей $A$ и $B$.

Пусть $P$ — силовская $p$-подгруппа конечной группы $G$, $H$ — нормальная в $G$ подгруппа.

Доказать, что все силовские подгруппы группы порядка 100 коммутативны.

Доказать, что любая группа порядка:

Сколько различных силовских 2 -подгрупп и силовских 5 -подгрупп в некоммутативной группе порядка 20?

Доказать, что не существует простых групп порядка:

Пусть $p$ и $q$ — простые числа, $p<q$. Доказать, что:

Сколько элементов порядка 7 в простой группе порядка 168?

Пусть $K$ — нормальная подгруппа в $p$-группе $G$. Доказать, что $K \cap Z(G) \neq 1$.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем $F$ характеристики $p$ и $G-p$-группа линейных невырожденных операторов в $V$. Доказать, что существует такой ненулевой вектор $x \in V$, что $g x=x$ для всех $g \in G$.

Пусть $P$ — силовская $p$-подгруппа в конечной группе $G$ и $H$ — подгруппа в $G$, содержащая нормализатор $N_{G}(P)$. Доказать, что $N_{G}(H)=H$.