Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Факторгруппы, центр

Доказать, что подгруппа $H$ группы $G$ нормальна, если:

Будет ли нормальной подгруппой в группе $\mathbf{G L}_{n}(\mathbb {Z})$ множество всех матриц вида

где числа $a, d$ нечётны, а числа $b, c$ чётны?

Доказать, что любая подгруппа индекса 2 является нормальной.

Найти все нормальные подгруппы, отличные от единичной и от всей группы в группах:

На примере группы $\mathbf{A}_{4}$ показать, что нормальная подгруппа $K$ нормальной подгруппы $H$ группы $G$ не обязательно является нормальной в $G$.

Пусть $A$ и $B$ — нормальные подгруппы группы $G$ и $A \cap B$ единичная подгруппа. Доказать, что $x y=y x$ для любых $x \in A, y \in B$.

Пусть $H$ — подгруппа в $G$ индекса $2, C$ — класс сопряжённых в $G$ элементов и $C \subset H$. Доказать, что $C$ является либо классом сопряжённых в $H$ элементов, либо объединением двух классов сопряжённых в $H$ элементов, состоящих из одинакового числа элементов.

Доказать, что факторгруппа $\mathbb {R}^{*} / \mathbb {Q}^{*}$ не является циклической.

Найти число классов сопряжённости в группе $\mathbf{A}_{5}$ и число элементов в каждом из классов.

Доказать, что группа $\mathbf{A}_{5}$ является простой.

Найти все нормальные подгруппы в группе диэдра $\mathbf{D}_{n}$.

Пусть $F$ — поле и $G$ — подгруппа в $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(F)$, содержащая $\mathbf{S L}_{n}(F)$. Доказать, что $G$ нормальна в $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(F)$.

Сопоставим каждой матрице $\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right) \in \mathbf{G L}_{2}(\mathbb {C})$ дробнолинейное преобразование

Найти ядро этого гомоморфизма.

Доказать, что ядро любого гомоморфизма группы $\mathbb {C}^{*}$ в аддитивную группу $\mathbb {R}$ является бесконечной группой.

Пусть $n, m \geqslant 2$ — натуральные числа и $\mathbf{S L}_{n}(\mathbb {Z} ; m \mathbb {Z})$ подмножество в $\mathbf{S L}_{n}(\mathbb {Z})$, состоящее из матриц вида $E+X m$, где $X$ целочисленная квадратная матрица размера $n$. Доказать, что:

Доказать, что для любой группы $G$ множество всех внутренних автоморфизмов является нормальной подгруппой в группе Aut $G$ всех автоморфизмов группы $G$.

Доказать, что любая подгруппа, содержащая коммутант группы, нормальна.

Найти центр группы:

Пусть группа $G$ порождена элементами $a, b$, причём

Доказать, что элемент $(a b)^{2}$ лежит в центре группы $G$.

Доказать, что центр группы порядка $p^{n}$, где $p$ — простое число $(n \in \mathbb {N})$, содержит более одного элемента.

Пусть $G$ — множество верхних унитреугольных матриц порядка 3 с элементами из поля $\mathbf{Z}_{p}$.

Найти центр группы:

Найти центр:

Доказать, что группа $H$ является гомоморфным образом конечной циклической группы $G$ тогда и только тогда, когда $H$ также циклическая, и её порядок делит порядок группы $G$.

Доказать, если группа $G$ гомоморфно отображена на группу $H$, причём $a \mapsto a^{\prime }$, то:

Найти все гомоморфные отображения:

Доказать, что аддитивную группу рациональных чисел нельзя гомоморфно отобразить на аддитивную группу целых чисел.

Найти факторгруппы:

Пусть $F^{n}$ — аддитивная группа $n$-мерного линейного пространства над полем $F$ и $H$ — подгруппа векторов $k$-мерного подпространства. Доказать, что факторгруппа $F^{n} / H$ изоморфна $F^{n-k}$.

Пусть $H_{n}$ — множество чисел с аргументами вида $2 \pi k / n$ $(k \in \mathbb {Z})$. Доказать, что:

Пусть

Доказать, что:

Пусть $G$ — группа аффинных преобразований $n$-мерного пространства, $H$ — подгруппа параллельных переносов, $K$ — подгруппа преобразований, оставляющих неподвижной данную точку $O$. Доказать, что:

Доказать, что факторгруппа группы $\mathbf{S}_{4}$ по нормальной подгруппе $\left\{ e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\right\}$ изоморфна группе $\mathbf{S}_{3}$.

Доказать, что если $H$ — подгруппа индекса $k$ в группе $G$, то $H$ содержит некоторую нормальную в $G$ подгруппу, индекс которой в $G$ делит $k!$.

Доказать, что подгруппа, индекс которой является наименьшим простым делителем порядка группы, нормальна.

Доказать, что факторгруппа группы $\mathbf{G} \mathbf{L}_{2}\left(\mathbf{Z}_{3}\right)$ по её центру изоморфна группе $\mathbf{S}_{4}$.

Доказать, что в группе $\mathbb {Q} / \mathbb {Z}$ :

Доказать, что группа внутренних автоморфизмов группы $G$ изоморфна факторгруппе группы $G$ по её центру.

Доказать, что факторгруппа некоммутативной группы по её центру не может быть циклической.

Доказать, что группа порядка $p^{2}$, где $p$ — простое число, коммутативна.

Доказать, что группа всех автоморфизмов некоммутативной группы не может быть циклической.

Найти число классов сопряжённости и число элементов в каждом классе для некоммутативной группы порядка $p^{3}$, где $p$ простое число.

Подгруппа $H$ называется максимальной в группе $G$, если $H \neq G$ и любая подгруппа, содержащая $H$, совпадает с $H$ или $G$. Доказать, что:

Доказать, что факторгруппа $\mathbf{S L}_{2}\left(\mathbf{Z}_{5}\right)$ по её центру изоморфна $\mathbf{A}_{5}$.

Доказать, что всякая конечная подгруппа в $\mathrm{SL}_{2}(\mathbb {Q})$ является подгруппой одной из следующих групп: $\mathbf{D}_{3}, \mathbf{D}_{4}, \mathbf{D}_{6}$.

Пусть $F$ — поле, $n \geqslant 3$ и $G$ — нормальная подгруппа в $\mathbf{G L}_{n}(F)$. Доказать, что либо $G \supseteq \mathbf{S L}_{n}(F)$, либо $G$ состоит из скалярных матриц.

Пусть $F$ — поле, содержащее не менее четырех элементов и $G$ — нормальная подгруппа в $\mathbf{G} \mathbf{L}_{2}(F)$. Доказать, что либо $G \supseteq \mathbf{S L}_{2}(F)$, либо $G$ состоит из скалярных матриц.

Доказать, что $\mathbf{S L}_{2}(2) \simeq \mathbf{S}_{3}$.

Найти все нормальные подгруппы в $\mathbf{S L}_{2}(3)$.

Пусть $G$ — нормальная подгруппа конечного индекса в $\mathbf{S L}_{n}(\mathbb {Z}), n \geqslant 3$. Тогда существует такое натуральное число $m$, что $G \subseteq \mathbf{S L}_{n}(\mathbb {Z}, m \mathbb {Z})$.

Пусть $F$ — поле, $n \geqslant 3$ и $\varphi$ — автоморфизм группы $\mathbf{G L}_{n}(F)$. Доказать, что существует такой гомоморфизм групп $\tau : \mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(F) \rightarrow F^{*}$ и автоморфизм $\tau$ поля $F$, что либо

либо

где $g \in \mathbf{G L}_{n}(F)$.