Действие группы на множестве. Отношение сопряжённости

$G$ — группа всех невырожденных линейных операторов;

$G$ — группа ортогональных операторов;

$G$ — группа операторов, матрицы которых в базисе $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ диагональны;

$G$ — группа операторов, матрицы которых в базисе $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ верхние треугольные.

$G$ — группа из 57.1, в);

$G-$ группа из 57.1, г).

$G$ — группа всех ортогональных операторов в трехмерном евклидовом пространстве;

$G$ — группа всех собственных ортогональных операторов в двумерном евклидовом пространстве.

Найти орбиты группы $G$ в $X$.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — такой базис в $V$, что $e_{1}, \ldots , e_{k}$ — базис некоторого подпространства $U$. Найти в базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$ матрицы операторов из стационарной подгруппы $G_{U}$.

Найти орбиты $G$ в $F$.

Пусть $e_{i} \in V_{i} \backslash V_{i-1}, i=1, \ldots , n$. Доказать, что $e_{1}, \ldots , e_{n}$ базис $V$.

В базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$ найти матрицы операторов из стационарной подгруппы $G_{f}$.

Найти орбиты действия $G$ в $X$ и $Y$.

Найти стационарную подгруппу $G_{a}$ разложимого $q$-вектора $a$ (вектора из $S^{q}(V)$).

Доказать, что задано действие $G$ в $B$.

Описать орбиты $G$ в $B$. Найти их число.

Описать стационарную подгруппу $G_{b}$ положительно определённой функции $b$.

Доказать, что задано действие $G$ в $L(V)$.

Описать орбиты $G$ в $L(V)$.

$g=\left(\begin{array}{cccccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5 & 8 & 3 & 9 & 4 & 10 & 6 & 2 & 1 & 7\end{array}\right) \in \mathbf{S}_{10}$;

$g=\left(\begin{array}{llllllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 8 & 3 & 2 & 9 & 5 & 10\end{array}\right) \in \mathbf{S}_{10}$;

$g=(169)(210)(34578) \in \mathbf{S}_{10}$.

Найти матрицы ортогональных преобразований плоскости, переводящих ромб в себя.

Доказать, что эти матрицы образуют относительно умножения группу $G$, изоморфную группе $\mathbf{V}_{4}$.

Найти орбиты действия группы $G$ на множестве вершин ромба и их стационарные подгруппы.

группы вращений куба;

группы вращений тетраэдра;

группы вращений додекаэдра.

группа вращений икосаэдра изоморфна группе $\mathbf{A}_{5}$;

группа движений тетраэдра изоморфна $\mathbf{S}_{4}$.

октаэдра;

икосаэдра;

тетраэдра;

куба;

диэдра.

Найти орбиты $G$ в $Y$.

Найти стационарную подгруппу $G_{a}$ набора $a \in Y$.

Доказать, что задано действие $G$ в $Q$.

Описать орбиты $G$ в $Q$.

Описать стационарную подгруппу $G_{h}$ невырожденной функции $h \in Q$.

стационарную подгруппу точки $O$;

орбиту точки $O$;

пересечение стационарных подгрупп двух различных точек единичного круга.

отображение $\sigma_{a}: g H \mapsto a g H$ есть перестановка на множестве $M$ всех левых смежных классов группы $G$ по подгруппе $H$;

отображение $f: a \mapsto \sigma_{a}$ определяет действие группы $G$ на $M$;

$\sigma_{a}$ является тождественной перестановкой тогда и только тогда, когда $a$ принадлежит пересечению всех подгрупп, сопряжённых с $H$ в группе $G$.

$G=\mathbf{Z}_{4}, H-$ единичная подгруппа;

$G=\mathbf{D}_{4}, H$ — подгруппа, состоящая из тождественного преобразования и некоторой осевой симметрии квадрата.

сопряжение определяет действие

группы $G$ на множестве $G$;

стационарная подгруппа точки $m$ (централизатор элемента $m$) совпадает со множеством элементов группы $G$, перестановочных с $m$.

перестановки (12)(34) в группе $\mathbf{S}_{4}$;

перестановки $(123 \ldots n)$ в группе $\mathbf{S}_{n}$.

$\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)$;

$\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)$;

$\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$;

$\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$.

все элементы диагонали различны;

$\lambda_{1}=\ldots =\lambda_{k}=a, \lambda_{k+1}=\ldots =\lambda_{n}=b$ и $a \neq b$.

централизатор $C_{i j}$ элементарной матрицы $E+E_{i j}$ при $1 \leqslant i \neq j \leqslant n$;

пересечение $C_{i j}$ при всех $i, j$, где $1 \leqslant i \neq j \leqslant n$;

класс сопряжённых элементов, содержащих $E+E_{i j}$.

Доказать, что любые две элементарные матрицы $E+\alpha E_{i j}$ и $E+\beta E_{p q}$, где $1 \leqslant i \neq j, p \neq q \leqslant n$ и $\alpha , \beta \in F^{*}$, сопряжены.

централизатор оператора поворота на угол $q \neq k \pi$;

централизатор симметрии относительно оси $O X$.

$S_{3}$;

$\mathbf{A}_{4}$;

$\mathbf{D}_{4}$.

1 ;

2 ;

перестановки (12)(34);

перестановки (124).

$\mathbf{S}_{4}$;

$S_{5}$;

$\mathbf{S}_{6}$;

$\mathbf{D}_{4}$.

если $H$ и $K$ — сопряжённые подгруппы конечной группы и $K \subseteq H$, то $K=H$;

подгруппы

сопряжены в группе $\mathbf{G L}_{2}(\mathbb {R})$, и $K \subset H$.

$G=\mathbf{G L}_{2}(\mathbb {R}), H$ — подгруппа диагональных матриц;

$G=\mathbf{G L}_{2}(\mathbb {R}), H$ — подгруппа матриц вида

$G=\mathbf{S}_{4}, H=\langle (1234)\rangle$.

группы $\mathbf{Z}_{5}$;

группы $\mathbf{Z}_{6}$.

Aut $\mathbf{S}_{3} \simeq \mathbf{S}_{3}$, причём все автоморфизмы группы $\mathbf{S}_{3}$ внутренние;

$\mathrm{Aut} \mathbf{V}_{4} \simeq \mathbf{S}_{3}$, причём внутренним для $\mathbf{V}_{4}$ является лишь тождественный автоморфизм.

группы $\mathbf{Z}_{9}$;

группы $\mathbf{Z}_{8}$?