Подгруппы, порядок элемента группы. Смежные классы

пересечение любого набора подгрупп является подгруппой;

объединение двух подгрупп является подгруппой тогда и только тогда, когда одна из подгрупп содержится в другой;

если подгруппа $C$ содержится в объединении подгрупп $A$ и $B$, то либо $C \subseteq A$, либо $C \subseteq B$.

$\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right) \in \mathbf{S}_{5}$;

$\left(\begin{array}{llllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 6\end{array}\right) \in \mathbf{S}_{6}$;

$\frac{-\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i \in \mathbb {C}^{*}$;

$\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} i \in \mathbb {C}^{*}$;

$\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \in \mathbf{G L}_{4}(\mathbb {R})$;

$\left(\begin{array}{ll}0 & i \\ 1 & 0\end{array}\right) \in \mathbf{G L}_{2}(\mathbb {C})$;

$\left(\begin{array}{rr}-1 & a \\ 0 & 1\end{array}\right) \in \mathbf{G L}_{2}(\mathbb {C})$;

$\left(\begin{array}{ll}0 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right) \in \mathbf{G L}_{2}(\mathbb {C})$;

$\left(\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & * & \ldots & * \\ 0 & \lambda_{2} & * & \ldots \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & 0 & \lambda_{n}\end{array}\right) \in \mathbf{G L}_{n}(\mathbb {C})$, где $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — различные корни $k$-й степени из 1.

элемент $\frac{3}{5}+\frac{4}{5} i$ группы $\mathbb {C}^{*}$ имеет бесконечный порядок;

число $\frac{1}{\pi } \operatorname {arctg} \frac{4}{3}$ иррационально.

$\mathbb {C}^{*}$;

$\mathbf{D}_{2}(\mathbb {C})$;

$\mathbf{S}_{5}$;

$\mathbf{A}_{5}$?

элементы $x$ и $y x y^{-1}$ имеют одинаковый порядок;

элементы $a b$ и $b a$ имеют одинаковый порядок;

элементы $x y z$ и $z y x$ могут иметь разные порядки.

Доказать, что если порядки элементов $x$ и $y$ взаимно просты, то порядок произведения $x y$ равен произведению их порядков.

Доказать, что существуют показатели $k$ и $l$ такие, что порядок произведения $x^{k} y^{l}$ равен наименьшему общему кратному порядков $x$ и $y$.

Верны ли эти утверждения для некоммутирующих элементов $x$ и $y$?

если элемент $x$ группы $G$ имеет бесконечный порядок, то $x^{k}=x^{l}$ тогда и только тогда, когда $k=l$;

если элемент $x$ группы $G$ имеет порядок $n$, то $x^{k}=x^{l}$ тогда и только тогда, когда $n \mid (k-l)$;

если элемент $x$ группы $G$ имеет порядок $n$, то $x^{k}=e$ тогда и только тогда, когда $n \mid k$.

порядок нечётной перестановки является чётным числом;

порядок любой перестановки является наименьшим общим кратным длин независимых циклов, входящих в её разложение.

элементы $a^{k}$ и $a^{l}$ имеют одинаковые порядки тогда и только тогда, когда НОД $(k, n)=$ НОД $(l, n)$;

элемент $a^{k}$ является порождающим элементом $G$ тогда и только тогда, когда $k$ и $n$ взаимно просты;

всякая подгруппа $H \subseteq G$ порождается элементом вида $a^{d}$, где $d \mid n$;

для всякого делителя $d$ числа $n$ существует единственная подгруппа $H \subseteq G$ порядка $d$.

$n=24, \quad k=6$;

$n=24, \quad k=4$;

$n=100, \quad k=20$;

$n=100, \quad k=5$;

$n=360, \quad k=30$;

$n=360, \quad k=12$;

$n=360, \quad k=7$.

24 ;

100 ;

360 ;

125 ;

$p^{n} \quad$ ($p$ — простое число)

период $d(G)$ делит $\left|G\right|$ и равен наименьшему общему кратному порядков элементов группы $G$;

если группа $G$ коммутативна, то существует элемент $g \in G$ порядка $d(G)$;

конечная коммутативная группа является циклической тогда и только тогда, когда $d(G)=\left|G\right|$.

Верны ли утверждения б) и в) для некоммутативной группы?

Доказать, что периодическая часть коммутативной группы является подгруппой.

Верно ли утверждение а) для некоммутативной группы?

Найти периодическую часть групп $\mathbb {C}^{*}$ и $\mathbf{D}_{n}(\mathbb {C})^{*}$.

Доказать, что если в коммутативной группе $G$ есть элементы бесконечного порядка и все они содержатся в подгруппе $H$, то $H$ совпадает с $G$.

Доказать, что подгруппы циклической группы порядка $p^{n}$, где $p$ — простое число, образуют цепь.

Найти все конечные группы, в которых подгруппы образуют цепь.

Найти все группы, у которых подгруппы образуют цепь.

$G=\mathbb {C}^{*}, \quad g=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} i ;$

$G=\mathbf{G L}_{2}(\mathbb {C}), \quad g=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ i & 0\end{array}\right)$;

$G=\mathbf{S}_{6}, \quad g=(32651)$;

$G=\mathbb {C}^{*}, \quad g=2-i$;

$G=\mathbb {R}^{*}, \quad g=10$;

$G=\mathbb {C}^{*}, \quad g=\cos \frac{6 \pi }{5}+i \sin \frac{6 \pi }{5}$;

$G=\mathbb {Z}, \quad g=3$?

в мультипликативной группе поля для любого натурального числа $n$ существует не более одной подгруппы порядка $n$;

всякая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической;

мультипликативная группа конечного поля является циклической.

$\mathbf{S}_{3}$;

$\mathbf{D}_{4}$;

$\mathbf{Q}_{8}$;

$\mathbf{A}_{4}$.

$G=\mathbf{S}_{4}, \quad g=(12)(34)$;

$G=\mathbf{S L}_{2}(\mathbb {R}), \quad g=\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & b\end{array}\right)$;

$G=\mathbf{S}_{n}, \quad g=(123 \ldots n)$.

$f=x_{1} x_{2}+x_{3} x_{4}$;

$f=x_{1} x_{2} x_{3}$;

$f=x_{1}+x_{2}$;

$f=x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$;

$f=\prod_{1 \leqslant j<i \leqslant 4}\left(x_{i}-x_{j}\right)$.

аддитивной группы $\mathbb {Z}$ по подгруппе $n \mathbb {Z}, n$ — натуральное число;

аддитивной группы $\mathbb {C}$ по подгруппе $\mathbb {Z}\left[i\right]$ целых гауссовых чисел, т.е. чисел $a+b i$ с целыми $a, b$;

аддитивной группы $\mathbb {R}$ по подгруппе $\mathbb {Z}$;

аддитивной группы $\mathbb {C}$ по подгруппе $\mathbb {R}$;

мультипликативной группы $\mathbb {C}^{*}$ по подгруппе $\mathbf{U}$ чисел с модулем 1;

мультипликативной группы $\mathbb {C}^{*}$ по подгруппе $\mathbb {R}^{*}$;

мультипликативной группы $\mathbb {C}^{*}$ по подгруппе положительных вещественных чисел;

группы подстановок $\mathbf{S}_{n}$ по стационарной подгруппе элемента $n$;

аддитивной группы вещественных $(3 \times 2)$-матриц по подгруппе всех матриц $\left(a_{i j}\right)$ с условием $a_{31}=a_{32}=a_{22}=0$;

аддитивной группы всех многочленов степени не выше 5 с комплексными коэффициентами по подгруппе многочленов степени не выше 3;

циклической группы $\langle a\rangle_{6}$ по подгруппе $\left\langle a^{4}\right\rangle$.

$g_{1} H_{1} \subseteq g_{2} H_{2}$;

$H_{1} \subseteq H_{2} \quad$ и $\quad g_{2}^{-1} g_{1} \in H_{2}$.