Банк задач по математике

Задача 55.1

Какие из указанных числовых множеств с операциями являются группами:

?

(а)

$(A,+)$ , где $A$ — одно из множеств $\mathbb {N}, \mathbb {Z}, \mathbb {Q}, \mathbb {R}, \mathbb {C}$ ;

(б)

$(A, \cdot )$ , где $A$ — одно из множеств $\mathbb {N}, \mathbb {Z}, \mathbb {Q}, \mathbb {R}, \mathbb {C}$ ;

(в)

$\left(A_{0}, \cdot \right)$ , где $A$ — одно из множеств $\mathbb {N}, \mathbb {Z}, \mathbb {Q}, \mathbb {R}, \mathbb {C}$ , а $A_{0}=A \backslash \left\{ 0\right\}$ ;

(г)

$(n \mathbb {Z},+)$ , где $n$ — натуральное число;

(д)

$(\left\{ -1,1\right\} , \cdot )$ ;

(е)

множество степеней данного вещественного числа $a \neq 0$ с целыми показателями относительно умножения;

(ж)

множество всех комплексных корней фиксированной степени $n$ из 1 относительно умножения;

(з)

множество комплексных корней всех степеней из 1 относительно умножения;

(и)

множество комплексных чисел с фиксированным модулем $r$ относительно умножения;

(к)

множество ненулевых комплексных чисел с модулем, не превосходящим фиксированное число $r$ , относительно умножения;

(л)

множество ненулевых комплексных чисел, расположенных на лучах, выходящих из начала координат и образующих с лучом $O x$ углы $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots , \varphi_{n}$ , относительно умножения;

(м)

множество всех непрерывных отображений $\varphi :[0,1] \rightarrow [0,1]$ , для которых $\varphi (0)=0, \varphi (1)=1$ , и $x<y \Rightarrow \varphi (x)<\varphi (y)$ , относительно суперпозиции?

Задача 55.2

Доказать, что полуинтервал $[0,1)$ с операцией $\oplus$ , где $\alpha \oplus \beta$ — дробная часть числа $\alpha +\beta$ , является группой. Какой из групп из задачи 55.1 изоморфна эта группа? Доказать, что всякая её конечная подгруппа является циклической.

?

Задача 55.3

Доказать, что $2^{M}$ — группа относительно операции симметрической разности $\Delta$ (см. 1.4).

?

Задача 55.4

Пусть $G$ — группа относительно умножения. Зафиксируем в $G$ элемент $a$ и зададим в $G$ операцию $x \circ y=x \cdot a \cdot y$ . Доказать, что $G$ относительно новой операции о является группой, изоморфной $(G, \cdot )$ .

?

Задача 55.5

Какие из указанных ниже совокупностей отображений множества $M=\left\{ 1,2, \ldots , n\right\}$ в себя образуют группу относительно умножения:

?

(а)

множество всех отображений;

(б)

множество всех инъективных отображений;

(в)

множество всех сюръективных отображений;

(г)

множество всех биективных отображений;

(д)

множество всех чётных перестановок;

(е)

множество всех нечётных перестановок;

(ж)

множество всех транспозиций;

(з)

множество всех перестановок, оставляющих неподвижными элементы некоторого подмножества $S \subseteq M$ ;

(и)

множество всех перестановок, при которых образы всех элементов некоторого подмножества $S \subseteq M$ принадлежат этому подмножеству;

(к)

множество

\left\{ E,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\right\} ;

(л)

множество

\left\{ E,(13),(24),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432)\right\} ?

Задача 55.6

Какие из указанных множеств квадратных вещественных матриц фиксированного порядка образуют группу:

?

(а)

множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно сложения;

(б)

множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно умножения;

(в)

множество невырожденных матриц относительно сложения;

(г)

множество невырожденных матриц относительно умножения;

(д)

множество матриц с фиксированным определителем $d$ относительно умножения;

(е)

множество диагональных матриц относительно сложения;

(ж)

множество диагональных матриц относительно умножения;

(з)

множество диагональных матриц, все элементы диагоналей которых отличны от 0, относительно умножения;

(и)

множество верхних треугольных матриц относительно умножения;

(к)

множество верхних нильтреугольных матриц относительно умножения;

(л)

множество верхних нильтреугольных матриц относительно сложения;

(м)

множество верхних унитреугольных матриц относительно умножения;

(н)

множество всех ортогональных матриц относительно умножения;

(о)

множество матриц вида $f(A)$ , где $A$ — фиксированная нильпотентная матрица, $f(t)$ — произвольный многочлен со свободным членом, отличным от 0, относительно умножения;

(п)

множество верхних нильтреугольных матриц относительно операции $X \circ Y=X+Y-X Y$ ;

(р)

множество ненулевых матриц вида $\left(\begin{array}{rr}x & y \\ -y & x\end{array}\right)(x, y \in \mathbb {R})$ относительно умножения;

(с)

множество ненулевых матриц вида $\left(\begin{array}{cc}x & y \\ \lambda y & x\end{array}\right)(x, y \in \mathbb {R})$ , где $\lambda$ фиксированное вещественное число, относительно умножения;

(т)

множество матриц

\left\{ \pm \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \pm \left[\begin{smallmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{smallmatrix}\right], \quad \pm \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \quad \pm \left[\begin{smallmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{smallmatrix}\right]\right\}

относительно умножения?

Задача 55.7

Показать, что множество $\mathbf{O}_{n}(\mathbb {Z})$ всех целочисленных ортогональных матриц размера $n$ образует группу относительно умножения. Найти порядок этой группы.

?

Задача 55.8

Доказать, что множество верхних нильтреугольных матриц порядка 3 является группой относительно операции

X \circ Y=X+Y+\frac{1}{2}[X, Y].

?

Задача 55.9

Пусть $X$ — множество точек кривой $y=x^{3}, l$ — прямая, проходящая через точки $a, b \in X$ (касательная к $X$ при $a=b$ ), $c$ её третья точка пересечения с $X$ и $m$ — прямая, проходящая через начало координат $O$ и точку $c$ (касательная к $X$ при $c=0$ ).

Положим $a \oplus b=d$ , где $d$ — третья точка пересечения $m$ и $X$ или $O$ , если $m$ касается $X$ в точке $O$ . Доказать, что $(X, \oplus )$ — коммутативная группа.

?

Задача 55.10

Доказать, что множество функций вида

y=\frac{a x+b}{c x+d},

где $a, b, c, d \in \mathbb {R}$ и $a d-b c \neq 0$ , является группой относительно операции композиции функций.

?

Задача 55.11

(а)(б)(в)

Доказать, что коммутатор

[x, y]=x y x^{-1} y^{-1}

элементов $x, y$ группы $G$ обладает свойствами:

?

(а)

$[x, y]^{-1}=[y, x]$ ;

(б)

$[x y, z]=x[y, z] x^{-1}[x, z]$ ;

(в)

$[z, x y]=[z, x] x[z, y] x^{-1}$ .

Задача 55.12

Пусть задано разложение подстановки $\sigma$ в произведение независимых циклов

\sigma =\left(i_{1}, \ldots , i_{k}\right)\left(j_{1}, \ldots , j_{m}\right) \ldots

Найти разложение подстановки $\sigma^{-1}$ в произведение независимых циклов.

?

Задача 55.13

(а)(б)(в)

Какие из следующих равенств тождественно выполняются в группе $\mathbf{S}_{3}$ :

?

(а)

$x^{6}=1$ ;

(б)

$[[x, y], z]=1$ ;

(в)

$\left[x^{2}, y^{2}\right]=1$ ?

Задача 55.14

Доказать, что в группе верхних унитреугольных матриц порядка 3 выполняется тождество

(x y)^{n}=x^{n} y^{n}[x, y]^{-n(n-1) / 2}, \quad n \in \mathbb {N}

?

Задача 55.15

Доказать, что если в группе $G$ выполняется тождество $[[x, y], z]=1$ , то в $G$ выполняются тождества

[x, y z]=[x, y][x, z], \quad [x y, z]=[x, z][y, z].

?

Задача 55.16

Доказать, что если в группе $G$ выполняется тождество $x^{2}=1$ , то $G$ коммутативна.

?

Задача 55.17

Какие из отображений групп $f: \mathbb {C}^{*} \mapsto \mathbb {R}^{*}$ являются гомоморфизмами:

?

(а)

$f(z)=\left|z\right|$ ;

(б)

$f(z)=2\left|z\right|$ ;

(в)

$f(z)=\frac{1}{\left|z\right|}$ ;

(г)

$f(z)=1+\left|z\right|$ ;

(д)

$f(z)=|z|^{2}$ ;

(е)

$f(z)=1$ ;

(ж)

$f(z)=2$ ?

Задача 55.18

(а)(б)

Для каких групп $G$ отображение $f: G \mapsto G$ , определенное правилом:

?

(а)

$f(x)=x^{2}$ ,

(б)

$f(x)=x^{-1}$ , является гомоморфизмом? При каком условии эти отображения являются изоморфизмами?

Задача 55.19

Сопоставим каждой матрице $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbf{G L}(2, \mathbb {C})$ функцию $y=\frac{a x+b}{c x+d}$ (см. задачу 55.10). Будет ли это отображение гомоморфизмом?

?

Задача 55.20

Разбить на классы попарно изоморфных групп следующий набор групп:

\mathbb {Z}, \quad n \mathbb {Z}, \quad \mathbb {Q}, \quad \mathbb {R}, \quad \mathbb {Q}^{*}, \quad \mathbb {R}^{*}, \quad \mathbb {C}^{*}, \quad \mathbf{U T}_{2}(A),

где $A$ — одно из колец $\mathbb {Z}, \mathbb {Q}, \mathbb {R}, \mathbb {C}$ .

?

Задача 55.21

Найти все изоморфизмы между группами $(\mathbf{Z}_{4},+)$ и $(\mathbf{Z}_{5}^{*}, \cdot )$ .

?

Задача 55.22

Доказать, что группа порядка 6 либо коммутативна, либо изоморфна группе $\mathbf{S}_{3}$ .

?

Задача 55.23

Доказать, что если рациональное число $a$ не равно нулю, то отображение $\varphi : x \mapsto a x$ является автоморфизмом группы $\mathbb {Q}$ . Найти все автоморфизмы группы $\mathbb {Q}$ .

?

Задача 55.24

Пусть $G$ — ненулевая аддитивная группа, состоящая из вещественных чисел, такая, что в каждом ограниченном промежутке содержится лишь конечное число её элементов. Доказать, что $G \simeq \mathbb {Z}$ .

?

Задача 55.25

(а)(б)(в)(г)

Привести примеры плоских геометрических фигур, группы движения которых изоморфны:

?

(а)

$\mathbf{Z}_{2}$ ;

(б)

$\mathbf{Z}_{3}$ ;

(в)

$S_{3}$ ;

(г)

$\mathbf{V}_{4}$ .

Задача 55.26

Какие из следующих групп изоморфны между собой: группа $\mathbf{D}_{4}$ движений квадрата; группа кватернионов $\mathbf{Q}_{8}$ ; группа из задачи 55.5, л); группа из задачи $55.5, \mathrm{r}$ )?

?

Задача 55.27

Доказать, что группы собственных движений тетраэдра, куба и октаэдра изоморфны соответственно группам $\mathbf{A}_{4}, \mathbf{S}_{4}, \mathbf{S}_{4}$ .

?

Задача 55.28

Пусть $G$ — множество всех пар элементов $(a, b), \quad a \neq 0$ , из поля $k$ относительно операции $(a, c) \circ (c, d)=(a c, a d+b)$ . Доказать, что $G$ является группой, изоморфной группе всех линейных функций $x \mapsto a x+b$ относительно суперпозиции.

?

Задача 55.29

Пусть $G$ — множество всех вещественных чисел, отличных от -1. Доказать, что $G$ является группой относительно умножения

x \cdot y=x+y+x y

?

Задача 55.30

(а)(б)(в)

Доказать, что:

?

(а)

множество всех автоморфизмов произвольной группы является группой относительно композиции;

(б)

отображение

\sigma : x \mapsto a x a^{-1},

где $a$ — фиксированный элемент группы $G$ , является автоморфизмом группы $G$ (внутренним автоморфизмом);

(в)

множество всех внутренних автоморфизмов произвольной группы является группой относительно композиции.

Задача 55.31

Найти группы автоморфизмов групп:

?

(а)

$\mathbb {Z}$ ;

(б)

$\mathbf{Z}_{p}$ ;

(в)

$S_{3}$ ;

(г)

$\mathbf{V}_{4}$ ;

(д)

$\mathbf{D}_{4}$ ;

(е)

$\mathbf{Q}_{8}$ .

Задача 55.32

Доказать, что отображение $a \mapsto \sigma$ , сопоставляющее каждому элементу $a$ группы $G$ перестановку $\sigma : x \mapsto a x$ множества $G$ , является инъективным гомоморфизмом группы $G$ в группу $S_{G}$ .

?

Задача 55.33

(а)(б)(в)

Найти в соответствующих группах $\mathbf{S}_{n}$ подгруппы, изоморфные группам:

?

(а)

$\mathbf{Z}_{3}$ ;

(б)

$\mathbf{D}_{4}$ ;

(в)

$\mathbf{Q}_{8}$ .

Задача 55.34

Пусть $\sigma$ — перестановка степени $n$ и $A_{\sigma }=\left(\delta_{i \sigma (j)}\right)$ — квадратная матрица порядка $n$ . Доказать, что если $G$ — некоторая группа перестановок степени $n$ , то множество матриц $A_{\sigma }$ , где $\sigma \in G$ , образует группу, изоморфную группе $G$ .

?

Задача 55.35

(а)(б)(в)

Найти в соответствующих группах матриц $\mathbf{G L}_{n}(\mathbb {C})$ подгруппы, изоморфные группам:

?

(а)

$\mathbf{Z}_{3}$ ;

(б)

$\mathbf{D}_{4}$ ;

(в)

$\mathbf{Q}_{8}$ .

Задача 55.36

Найти в группе вещественных матриц порядка 4 подгруппу, изоморфную группе $\mathbf{Q}_{8}$ .

?

Задача 55.37

Доказать, что группу $\mathbf{U}_{p \infty }$ нельзя отобразить гомоморфно на конечную группу, отличную от единичной.

?

Задача 55.38

(а)(б)(в)

Будут ли изоморфны группы

?

(а)

$\mathbf{S L}_{2}(3)$ ;

(б)

$S_{4}$ ;

(в)

$\mathbf{A}_{5}$ ?

Понятие группы. Изоморфизм групп