54

Алгебраические операции. Полугруппы

[9/67%]
Показать
LaTeX
Задача 54.1

Ассоциативна ли операция * на множестве MM, если

?
(а)

M=N,x∗y=xyM=\mathbb {N}, \quad x * y=x^{y};

(б)

M=N,x∗y=M=\mathbb {N}, \quad x * y= НОД (x,y)(x, y);

(в)

M=N,x∗y=2xyM=\mathbb {N}, \quad x * y=2 x y;

(г)

M=Z,x∗y=x−yM=\mathbb {Z}, \quad x * y=x-y;

(д)

M=Z,x∗y=x2+y2M=\mathbb {Z}, \quad x * y=x^{2}+y^{2};

(е)

M=R,x∗y=sin⁡x⋅sin⁡y;\quad M=\mathbb {R}, \quad x * y=\sin x \cdot \sin y ;

(ж)

M=R∗,x∗y=x⋅yx/∣x∣M=\mathbb {R}^{*}, \quad x * y=x \cdot y^{x /\left|x\right|}?

Задача 54.2

Пусть SS — полугруппа матриц (xy00)\left(\begin{array}{ll}x & y \\ 0 & 0\end{array}\right), где x,y∈Rx, y \in \mathbb {R}, с операцией умножения. Найти в этой полугруппе левые и правые нейтральные элементы, элементы, обратимые слева или справа относительно этих нейтральных.

?
Задача 54.3

На множестве MM определена операция o по правилу x∘y=xx \circ y=x. Доказать, что (M,∘)(M, \circ ) — полугруппа. Что можно сказать о нейтральных и обратимых элементах этой полугруппы? В каких случаях она является группой?

?
Задача 54.4

На множестве M2M^{2}, где MM — некоторое множество, определена операция о по правилу (x,y)∘(z,t)=(x,t)(x, y) \circ (z, t)=(x, t). Является ли M2M^{2} полугруппой относительно этой операции? Существует ли в M2M^{2} нейтральный элемент?

?
Задача 54.5
?
(а)

Сколько элементов содержит полугруппа, состоящая из всех степеней матрицы

[−100001000] \left[\begin{smallmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]
(б)

Является ли эта полугруппа группой?

Задача 54.6

Доказать, что полугруппы (2M,∪)\left(2^{M}, \cup \right) и (2M,∩)\left(2^{M}, \cap \right) изоморфны.

?
Задача 54.7

Сколько существует неизоморфных между собой полугрупп порядка 2?

?
Задача 54.8

Доказать, что во всякой конечной полугруппе найдется идемпотент.

?
Задача 54.9

Полугруппа называется моногенной, если она состоит из положительных степеней одного из своих элементов (такой элемент является порождающим).

Доказать, что:

?
(а)

моногенная полугруппа конечна тогда и только тогда, когда содержит идемпотент;

(б)

конечная моногенная полугруппа либо является группой, либо имеет только один порождающий элемент;

(в)

любые две бесконечные моногенные полугруппы изоморфны;

(г)

всякая конечная моногенная полугруппа изоморфна полугруппе вида S(n,k)S(n, k), определенной на множестве {a1,…,an}\left\{ a_{1}, \ldots , a_{n}\right\} следующим образом:

ai+aj={ai+j, если i+j⩽n,ak+l+1, если i+j>n, a_{i}+a_{j}= \begin{cases} a_{i+j}, & \text{ если } i+j \leqslant n, \\ a_{k+l+1}, & \text{ если } i+j>n, \end{cases}

где ll — остаток от деления числа i+j−n−1i+j-n-1 на n−kn-k.