B

Компактные операторы и операторы Гильберта–Шмидта

[9/100%]
Показать
LaTeX
Задача B.1

Докажите теорему B.5.

Теорема B.5: Пусть X,Y,ZX, Y, Z — банаховы пространства, и пусть T:X→YT: X \rightarrow Y и S:Y→ZS: Y \rightarrow Z — линейные операторы.

?
(a)

Если TT компактен, то TT ограничен.

(b)

Если TT ограничен и имеет конечный ранг, то TT компактен.

(c)

Если Tn:X→YT_{n}: X \rightarrow Y — компактные операторы и ∥T−Tn∥→0\left\| T-T_{n}\right\| \rightarrow 0, то TT компактен.

(d)

Если TT компактен, а SS ограничен, или если TT ограничен, а SS компактен, то STS T компактен.

(e)

Если T:X→XT: X \rightarrow X компактен и λ∈F\lambda \in \mathbf{F}, то ker⁡(T−λI)\ker (T-\lambda I) конечномерно.

Задача B.2

Пусть H,KH, K — гильбертовы пространства. Покажите, что если T:H→KT: H \rightarrow K компактен и {en}\left\{ e_{n}\right\} — ортонормированная последовательность в HH, то Ten→0T e_{n} \rightarrow 0.

?
Задача B.3

Пусть {en}\left\{ e_{n}\right\} — ортонормированный базис для гильбертова пространства HH. Зафиксируем λ∈ℓ∞\lambda \in \ell^{\infty }, и пусть Mλ:H→HM_{\lambda }: H \rightarrow H — оператор, определённый в упражнении 1.66.

?
(a)

Покажите, что MλM_{\lambda } компактен тогда и только тогда, когда λ∈c0\lambda \in c_{0}.

(b)

Покажите, что если λ∈c0\lambda \in c_{0} и λn≠0\lambda_{n} \neq 0 при каждом nn, то {Mλx:∥x∥≤1}\left\{ M_{\lambda } x:\left\| x\right\| \leq 1\right\} не замкнуто в HH.

Задача B.4

Докажите теорему B.8.

Теорема B.8: Пусть H,KH, K — сепарабельные гильбертовы пространства.

?
(a)

Для T∈B(H,K)T \in \mathcal{B}(H, K) величина ∥T∥HS2=∑n∥Ten∥2\left\| T\right\|_{\mathrm{HS}}^{2} = \sum_{n}\left\| T e_{n}\right\|^{2} не зависит от выбора ортонормированного базиса {en}\left\{ e_{n}\right\} для HH (т.е. она либо конечна и одинакова для всех ортонормированных базисов, либо бесконечна для каждого ортонормированного базиса). Далее, ∥T∗∥HS=∥T∥HS\left\| T^{*}\right\|_{\mathrm{HS}} = \left\| T\right\|_{\mathrm{HS}} и ∥T∥≤∥T∥HS\left\| T\right\| \leq \left\| T\right\|_{\mathrm{HS}}.

(b)

∥⋅∥HS\left\| \cdot \right\|_{\mathrm{HS}} — норма на B2(H,K)\mathcal{B}_{2}(H, K), и B2(H,K)\mathcal{B}_{2}(H, K) полно относительно этой нормы. Далее, B2(H,K)\mathcal{B}_{2}(H, K) — гильбертово пространство относительно скалярного произведения ⟨T,U⟩HS=∑n⟨Ten,Uen⟩\left\langle T, U \right\rangle_{\mathrm{HS}} = \sum_{n} \left\langle T e_{n}, U e_{n} \right\rangle, T,U∈B2(H,K)T, U \in \mathcal{B}_{2}(H, K), где {en}\left\{ e_{n}\right\} — произвольный ортонормированный базис для HH.

(c)

Если T∈B2(H,K)T \in \mathcal{B}_{2}(H, K), A∈B(H)A \in \mathcal{B}(H), и B∈B(K)B \in \mathcal{B}(K), то BT,TA∈B2(H,K)B T, T A \in \mathcal{B}_{2}(H, K), и ∥BT∥HS≤∥B∥∥T∥HS\left\| B T\right\|_{\mathrm{HS}} \leq \left\| B\right\| \left\| T\right\|_{\mathrm{HS}}, ∥TA∥HS≤∥A∥∥T∥HS\left\| T A\right\|_{\mathrm{HS}} \leq \left\| A\right\| \left\| T\right\|_{\mathrm{HS}}.

(d)

Все ограниченные линейные операторы конечного ранга на HH являются операторами Гильберта-Шмидта, и все операторы Гильберта-Шмидта компактны. Более того, B00(H,K)={L∈B(H,K):L имеет конечный ранг}\mathcal{B}_{00}(H, K) = \left\{ L \in \mathcal{B}(H, K): L \text{ имеет конечный ранг}\right\} плотно в B2(H,K)\mathcal{B}_{2}(H, K) относительно ∥⋅∥HS\left\| \cdot \right\|_{\mathrm{HS}}.

Задача B.5

Завершите доказательство теоремы B.10.

Теорема B.10: Пусть H,KH, K — сепарабельные гильбертовы пространства.

?
(a)

T∈B(H,K)T \in \mathcal{B}(H, K) имеет ранг один тогда и только тогда, когда T=x⊗yT = x \otimes y для некоторых x∈H,y∈Kx \in H, y \in K, не равных нулю одновременно.

(b)

T∈B(H,K)T \in \mathcal{B}(H, K) имеет конечный ранг тогда и только тогда, когда T=∑k=1Nxk⊗ykT = \sum_{k = 1}^{N} x_{k} \otimes y_{k} для некоторого N∈NN \in \mathbb {N}, xk∈Hx_{k} \in H, и yk∈Ky_{k} \in K.

(c)

{x⊗y:x∈H,y∈K}\left\{ x \otimes y: x \in H, y \in K\right\} полно в B2(H,K)\mathcal{B}_{2}(H, K).

(d)

Если x1,x2∈Hx_{1}, x_{2} \in H и y1,y2∈Ky_{1}, y_{2} \in K, то ⟨x1⊗y1,x2⊗y2⟩HS=⟨x2,x1⟩H⟨y1,y2⟩K\left\langle x_{1} \otimes y_{1}, x_{2} \otimes y_{2} \right\rangle_{\mathrm{HS}} = \left\langle x_{2}, x_{1} \right\rangle_{H} \left\langle y_{1}, y_{2} \right\rangle_{K}.

(e)

Если {en}\left\{ e_{n}\right\} — ортонормированный базис для HH, а {fn}\left\{ f_{n}\right\} — ортонормированный базис для KK, то {em⊗fn}m,n∈N\left\{ e_{m} \otimes f_{n}\right\}_{m, n \in \mathbb {N}} — ортонормированный базис для B2(H,K)\mathcal{B}_{2}(H, K).

(f)

Если T∈B(H,K)T \in \mathcal{B}(H, K), то ⟨T,em⊗fn⟩=⟨Tem,fn⟩\left\langle T, e_{m} \otimes f_{n} \right\rangle = \left\langle T e_{m}, f_{n} \right\rangle для каждых m,n∈Nm, n \in \mathbb {N}.

Примечание.
?

В основном тексте книги уже доказан пункт (e) теоремы B.10; это упражнение просит доказать остальные пункты.

Задача B.6

Пусть H,KH, K — сепарабельные гильбертовы пространства. Докажите следующие факты о тензорных произведениях.

?
(a)

∥x⊗y∥HS=∥x∥H∥y∥K\left\| x \otimes y\right\|_{\mathrm{HS}} = \left\| x\right\|_{H}\left\| y\right\|_{K}.

(b)

(ax)⊗y=aˉ(x⊗y)(a x) \otimes y = \bar{a}(x \otimes y) и x⊗(by)=b(x⊗y)x \otimes (b y) = b(x \otimes y).

(c)

(x+w)⊗y=(x⊗y)+(w⊗y)(x+w) \otimes y = (x \otimes y)+(w \otimes y) и x⊗(y+z)=(x⊗y)+(x⊗z)x \otimes (y+z) = (x \otimes y)+(x \otimes z).

(d)

∥x⊗y−w⊗z∥HS≤∥x−w∥H∥y∥K+∥w∥H∥y−z∥K\left\| x \otimes y-w \otimes z\right\|_{\mathrm{HS}} \leq \left\| x-w\right\|_{H}\left\| y\right\|_{K}+\left\| w\right\|_{H}\left\| y-z\right\|_{K}.

Задача B.7
?
(a)

Пусть xk∈Hx_{k} \in H и yk∈Ky_{k} \in K; покажите, что сопряжённый оператор к T=∑k=1Mxk⊗ykT = \sum_{k = 1}^{M} x_{k} \otimes y_{k} равен T∗=∑k=1Myk⊗xkT^{*} = \sum_{k = 1}^{M} y_{k} \otimes x_{k}

(b)

Пусть T∈B(H,K)T \in \mathcal{B}(H, K); покажите, что TT компактен тогда и только тогда, когда T∗T^{*} компактен.

Задача B.8

Пусть E,FE, F — измеримые подмножества R\mathbb {R}, и пусть {em}m∈N\left\{ e_{m}\right\}_{m \in \mathbb {N}} и {fn}n∈N\left\{ f_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}} — ортонормированные базисы для L2(E)L^{2}(E) и L2(F)L^{2}(F) соответственно. Пусть em⊗ene_{m} \otimes e_{n} обозначает функцию тензорного произведения, определённую в уравнении (B.3), и покажите, что семейство {em⊗fn}m,n∈N\left\{ e_{m} \otimes f_{n}\right\}_{m, n \in \mathbb {N}} является ортонормированным базисом для L2(E×F)L^{2}(E \times F).

?
Задача B.9

Пусть H,KH, K — сепарабельные гильбертовы пространства. Зафиксируем U∈B(H)U \in \mathcal{B}(H) и V∈B(K)V \in \mathcal{B}(K) и докажите следующие утверждения.

?
(a)

Если x∈Hx \in H и y∈Ky \in K, то V(x⊗y)U∗=Ux⊗VyV(x \otimes y) U^{*} = U x \otimes V y.

(b)

Существует единственный ограниченный оператор T∈B(H⊗K)T \in \mathcal{B}(H \otimes K) такой, что ∥T∥≤∥U∥∥V∥\left\| T\right\| \leq \left\| U\right\| \left\| V\right\| и T(g⊗h)=Tg⊗ThT(g \otimes h) = T g \otimes T h для всех g∈Hg \in H и h∈Kh \in K. Мы называем TT тензорным произведением UU и VV и пишем T=U⊗VT = U \otimes V.

(c)

(U1⊗V1)(U2⊗V2)=U1U2⊗V1V2\left(U_{1} \otimes V_{1}\right)\left(U_{2} \otimes V_{2}\right) = U_{1} U_{2} \otimes V_{1} V_{2}.

(d)

Если UU и VV — топологические изоморфизмы, то и T=U⊗VT = U \otimes V — топологический изоморфизм.

(e)

Специализируйтесь на случае H=L2(E)H = L^{2}(E) и K=L2(F)K = L^{2}(F). В частности, покажите, что если U∈B(L2(E))U \in \mathcal{B}\left(L^{2}(E)\right) и V∈B(L2(R))V \in \mathcal{B}\left(L^{2}(R)\right), то существует единственный оператор U⊗V∈B(L2(E×F))U \otimes V \in \mathcal{B}\left(L^{2}(E \times F)\right) такой, что (U⊗V)(g⊗h)=Ug⊗Vh(U \otimes V)(g \otimes h) = U g \otimes V h, где g⊗hg \otimes h и Ug⊗VhU g \otimes V h — функции, определённые уравнением (B.3).