Обобщённые обратные матрицы

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$. Покажите, что любая матрица $X$ размера $n \times m$ такая, что $A'AX = A'$, является обобщённой обратной $A$, и аналогично, что любая матрица $Y$ размера $n \times m$ такая, что $AA'Y' = A$, является обобщённой обратной $A$.

Используя часть (a) вместе с результатом о том, что (для любой матрицы $A$) линейная система $A'AX = A'$ (относительно $X$) совместна, заключите, что каждая матрица имеет хотя бы одну обобщённую обратную.

Покажите, что матрица $R(B'B)^{-1}R'$ является обобщённой обратной матрицы $A'A$, а матрица $L'(TT')^{-1}L$ является обобщённой обратной матрицы $AA'$.

Покажите, что если $A$ симметрична, то матрица $R(TB)^{-1}L$ является обобщённой обратной матрицы $A^2$. (Если $A$ симметрична, то из результата упражнения 8.3 следует, что $TB$ невырождена.)

что матрица $G$ размера $n \times m$ является обобщённой обратной $A$ тогда и только тогда, когда $G$ выражается в виде

для некоторой матрицы $U$ размера $r \times (m-r)$, матрицы $V$ размера $(n-r) \times r$ и матрицы $W$ размера $(n-r) \times (m-r)$, и

что различные выборы $U$, $V$ и/или $W$ приводят к различным обобщённым обратным.

Покажите, что, если только $T$ и $W$ не являются обе невырожденными, существуют обобщённые обратные $\left(\begin{smallmatrix} T & 0 \\ 0 & W \end{smallmatrix}\right)$, не имеющие вида $\left(\begin{smallmatrix} T^- & 0 \\ 0 & W^- \end{smallmatrix}\right)$.

Пусть $U$ — матрица размера $m \times q$, а $V$ — матрица размера $n \times p$ такие, что $\mathcal{C}(U) \subset \mathcal{C}(T)$ и $\mathcal{R}(V) \subset \mathcal{R}(T)$, определим $Q = W - VT^-U$ и <<вспомним>>, что разбитая матрица

является обобщённой обратной матрицы $\left(\begin{smallmatrix} T & U \\ V & W \end{smallmatrix}\right)$. Обобщите результат части (a), показав, что, если только $T$ и $Q$ не являются обе невырожденными, существуют обобщённые обратные $\left(\begin{smallmatrix} T & U \\ V & W \end{smallmatrix}\right)$, не имеющие вида (*).

Покажите, что матрица

является обобщённой обратной матрицы $A$ тогда и только тогда, когда

Проверьте, что (вместе) условия $\mathcal{C}(U) \subset \mathcal{C}(T)$ и $\mathcal{R}(V) \subset \mathcal{R}(T)$ влекут условия (1)--(3) части (a).

Приведите пример матриц $T$, $U$, $V$ и $W$, которые (независимо от выбора обобщённых обратных $T^-$ и $Q^-$) удовлетворяют условиям (1)--(3) части (a), но не удовлетворяют (обоим) условиям $\mathcal{C}(U) \subset \mathcal{C}(T)$ и $\mathcal{R}(V) \subset \mathcal{R}(T)$.

Пусть матрица $A$ разбита как

и $\mathcal{C}(A_{12}) \subset \mathcal{C}(A_{11})$ и $\mathcal{R}(A_{21}) \subset \mathcal{R}(A_{11})$. Пусть $Q$ — дополнение по Шуру $A_{11}$ в $A$ относительно $A_{11}^-$, и разобьём $Q$ как

(где $Q_{11}$, $Q_{12}$, $Q_{21}$ и $Q_{22}$ имеют те же размеры, что и $A_{22}$, $A_{23}$, $A_{32}$ и $A_{33}$ соответственно), так что $Q_{11} = A_{22} - A_{21}A_{11}^-A_{12}$, $Q_{12} = A_{23} - A_{21}A_{11}^-A_{13}$, $Q_{21} = A_{32} - A_{31}A_{11}^-A_{12}$ и $Q_{22} = A_{33} - A_{31}A_{11}^-A_{13}$. Пусть

Определим $T = \left(\begin{smallmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{smallmatrix}\right)$, $U = \left(\begin{smallmatrix} A_{13} \\ A_{23} \end{smallmatrix}\right)$ и $V = (A_{31}, A_{32})$, или, что эквивалентно, определим $T$, $U$ и $V$ так, чтобы

Покажите, что (1) $G$ является обобщённой обратной $T$; (2) дополнение по Шуру $Q_{22} - Q_{21}Q_{11}^-Q_{12}$ матрицы $Q_{11}$ в $Q$ относительно $Q_{11}^-$ равно дополнению по Шуру $A_{33} - VGU$ матрицы $T$ в $A$ относительно $G$; и (3)

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ (где $n \geq 2$), пусть $n_1, \ldots , n_k$ — положительные целые числа такие, что $n_1 + \cdots + n_k = n$ (где $k \geq 2$), и (при $i = 1, \ldots , k$) пусть $n_i^* = n_1 + \cdots + n_i$. Определим (при $i = 1, \ldots , k$) $A_i$ как главную ведущую подматрицу $A$ порядка $n_i^*$ и определим (при $i = 1, \ldots , k-1$) $U_i$ как матрицу размера $n_i^* \times (n-n_i^*)$, полученную вычёркиванием всех строк и столбцов $A$, кроме первых $n_i^*$ строк и последних $n-n_i^*$ столбцов, $V_i$ как матрицу размера $(n-n_i^*) \times n_i^*$, полученную вычёркиванием всех строк и столбцов $A$, кроме последних $n-n_i^*$ строк и первых $n_i^*$ столбцов, и $W_i$ как подматрицу размера $(n-n_i^*) \times (n-n_i^*)$, полученную вычёркиванием всех строк и столбцов $A$, кроме последних $n-n_i^*$ строк и столбцов, так что (при $i = 1, \ldots , k-1$)

Пусть (при $i = 1, \ldots , k-1$) $\mathcal{C}(U_i) \subset \mathcal{C}(A_i)$ и $\mathcal{R}(V_i) \subset \mathcal{R}(A_i)$. Пусть

($i = 1, \ldots , k-1$) и $B^{(k)} = B_{11}^{(k)}$, где $B_{11}^{(1)} = A_1^-$, $B_{12}^{(1)} = A_1^-U_1$, $B_{21}^{(1)} = V_1A_1^-$ и $B_{22}^{(1)} = W_1 - V_1A_1^-U_1$, а (при $i \geq 2$) $B_{11}^{(i)}$, $B_{12}^{(i)}$, $B_{21}^{(i)}$ и $B_{22}^{(i)}$ определяются рекурсивно разбиением $B_{12}^{(i-1)}$, $B_{21}^{(i-1)}$ и $B_{22}^{(i-1)}$ как

(таким образом, что $X_1^{(i-1)}$ имеет $n_i$ столбцов, $Y_1^{(i-1)}$ имеет $n_i$ строк, а $Q_{11}^{(i-1)}$ имеет размеры $n_i \times n_i$) и (используя $Q_{11}^{-(i-1)}$ для обозначения обобщённой обратной $Q_{11}^{(i-1)}$), полагая

Покажите, что (1) $B_{11}^{(i)}$ является обобщённой обратной $A_i$ ($i = 1, \ldots , k$); (2) $B_{22}^{(i)}$ есть дополнение по Шуру $A_i$ в $A$ относительно $B_{11}^{(i)}$ ($i = 1, \ldots , k-1$); (3) $B_{12}^{(i)} = B_{11}^{(i)}U_i$ и $B_{21}^{(i)} = V_iB_{11}^{(i)}$ ($i = 1, \ldots , k-1$).

Определим $Q = W - VT^-U$, и пусть $G = \left(\begin{smallmatrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{smallmatrix}\right)$, где $G_{11} = T^- + T^-UQ^-VT^-$, $G_{12} = -T^-UQ^-$, $G_{21} = -Q^-VT^-$ и $G_{22} = Q^-$. Покажите, что матрица

является обобщённой обратной $T$.

Покажите на примере, что для некоторых значений $T$, $U$, $V$ и $W$ существует обобщённая обратная $G = \left(\begin{smallmatrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{smallmatrix}\right)$ матрицы $A$ (где $G_{11}$ имеет размеры $p \times m$, $G_{12}$ — размеры $p \times n$, $G_{21}$ — размеры $q \times m$, а $G_{22}$ — размеры $q \times n$) такая, что матрица

не является обобщённой обратной $T$.