Банк задач по математике

Задача 8.1

(a)(b)

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ . Покажите, что

?

(a)

если $A$ имеет правую обратную, то $n \geq m$ , и

(b)

если $A$ имеет левую обратную, то $m \geq n$ .

Задача 8.2

(a)(b)

Матрица $A$ размера $n \times n$ называется инволютивной, если $A^2 = I$ , то есть если $A$ обратима и является обратной сама себе.

?

(a)

Покажите, что матрица $A$ размера $n \times n$ инволютивна тогда и только тогда, когда $(I-A)(I+A) = 0$ .

(b)

Покажите, что матрица $A = \left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)$ размера $2 \times 2$ инволютивна тогда и только тогда, когда (1) $a^2+bc = 1$ и $d = -a$ , или (2) $b = c = 0$ и $d = a = \pm 1$ .

Задача 8.3

Пусть $A$ — ненулевая симметрическая матрица размера $n \times n$ , пусть $B$ — матрица размера $n \times r$ полного столбцового ранга $r$ , а $T$ — матрица размера $r \times n$ полного строчного ранга $r$ такие, что $A = BT$ . Покажите, что матрица $TB$ размера $r \times r$ невырождена.

?

Примечание.

?

Заметьте, что $A'A = A^2 = BTBT$ .

Задача 8.4

(a)(b)

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ , и представим $A$ в разбитом виде как $A = (A_1, A_2)$ .

?

(a)

Покажите, что если $A$ обратима, а $A^{-1}$ разбита как $A^{-1} = \left(\begin{smallmatrix} B_1 \\ B_2 \end{smallmatrix}\right)$ (где $B_1$ имеет столько же строк, сколько $A_1$ столбцов), то

\begin{align} & B_1 A_1 = I, \quad B_1 A_2 = 0, \quad B_2 A_1 = 0, \quad B_2 A_2 = I, \tag {E.1} \\ & A_1 B_1 = I - A_2 B_2, \quad A_2 B_2 = I - A_1 B_1. \tag {E.2} \end{align}

(b)

Покажите, что если $A$ ортогональна, то

\begin{align} & A_1' A_1 = I, \quad A_1' A_2 = 0, \quad A_2' A_1 = 0, \quad A_2' A_2 = I, \tag {E.3} \\ & A_1 A_1' = I - A_2 A_2', \quad A_2 A_2' = I - A_1 A_1'. \tag {E.4} \end{align}

Задача 8.5

Пусть $A$ — ненулевая матрица размера $m \times n$ ранга $r$ . Покажите, что существует ортогональная матрица размера $m \times m$ , первые $r$ столбцов которой порождают $\mathcal{C}(A)$ .

?

Задача 8.6

Пусть $T$ — треугольная матрица размера $n \times n$ . Покажите, что $\mathrm{rank}(T)$ больше либо равен числу ненулевых диагональных элементов $T$ .

?

Задача 8.7

(a)(b)

Пусть

A = \left(\begin{smallmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1r} \\ 0 & A_{22} & \cdots & A_{2r} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_{rr} \end{smallmatrix}\right), \qquad B = \left(\begin{smallmatrix} B_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ B_{21} & B_{22} & & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ B_{r1} & B_{r2} & \cdots & B_{rr} \end{smallmatrix}\right)

— соответственно верхняя блочно-треугольная матрица размера $n \times n$ , чей блок $A_{ij}$ имеет размеры $n_i \times n_j$ ( $j \geq i = 1, \ldots , r$ ), и нижняя блочно-треугольная матрица размера $n \times n$ , чей блок $B_{ij}$ имеет размеры $n_i \times n_j$ ( $j \leq i = 1, \ldots , r$ ).

?

(a)

Пусть $A$ и $B$ обратимы, и <<вспомним>>, что

A^{-1} = \left(\begin{smallmatrix} F_{11} & F_{12} & \cdots & F_{1r} \\ 0 & F_{22} & \cdots & F_{2r} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & F_{rr} \end{smallmatrix}\right), \qquad B^{-1} = \left(\begin{smallmatrix} G_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ G_{21} & G_{22} & & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ G_{r1} & G_{r2} & \cdots & G_{rr} \end{smallmatrix}\right),

где

\begin{align} F_{ii} & = A_{ii}^{-1}, \quad F_{ij} = -A_{ii}^{-1} \sum _{k=i+1}^{j} A_{ik} F_{kj} \quad (j > i = 1, \ldots , r), \tag {*} \\ G_{ii} & = B_{ii}^{-1}, \quad G_{ij} = -B_{ii}^{-1} \sum _{k=j}^{i-1} B_{ik} G_{kj} \quad (j < i = 1, \ldots , r). \tag {**} \end{align}

Покажите, что подматрицы $F_{ij}$ ( $j \geq i = 1, \ldots , r$ ) и $G_{ij}$ ( $j \leq i = 1, \ldots , r$ ) также выражаются как

\begin{align} F_{jj} & = A_{jj}^{-1}, \quad F_{ij} = -\left( \sum _{k=i}^{j-1} F_{ik} A_{kj} \right) A_{jj}^{-1} \quad (i < j = 1, \ldots , r), \tag {E.5} \\ G_{jj} & = B_{jj}^{-1}, \quad G_{ij} = -\left( \sum _{k=j+1}^{i} G_{ik} B_{kj} \right) B_{jj}^{-1} \quad (i > j = 1, \ldots , r). \tag {E.6} \end{align}

Сделайте это, применив результаты (**) и (*) к $A'$ и $B'$ соответственно.

(b)

Формулы () образуют основу алгоритма вычисления $A^{-1}$ за $r$ шагов: первый шаг — вычислить матрицу $F_{rr} = A_{rr}^{-1}$ ; $(r-i+1)$ -й шаг — вычислить матрицы $F_{ii}, F_{i,i+1}, \ldots , F_{ir}$ по формулам () ( $i = r-1, r-2, \ldots , 1$ ). Аналогично, формулы () образуют основу алгоритма вычисления $B^{-1}$ за $r$ шагов: первый шаг — вычислить матрицу $G_{11} = B_{11}^{-1}$ ; $i$ -й шаг — вычислить матрицы $G_{i1}, G_{i2}, \ldots , G_{ii}$ по формулам () ( $i = 2, \ldots , r$ ). Опишите, как формулы (E.5) и (E.6) из части (a) можно использовать для построения $r$ -шаговых алгоритмов вычисления $A^{-1}$ и $B^{-1}$ , и укажите, чем эти алгоритмы отличаются от алгоритмов, основанных на формулах (*) и (**).

Обратные матрицы