Линейные системы: совместность

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$, $C$ — матрица размера $n \times q$, а $B$ — матрица размера $q \times p$. Покажите, что если $\mathrm{rank}(AC) = \mathrm{rank}(C)$, то

и что если $\mathrm{rank}(CB) = \mathrm{rank}(C)$, то

Пусть $A$ и $B$ — матрицы размера $m \times n$. (1) Покажите, что если $C$ — матрица размера $r \times q$, а $D$ — матрица размера $q \times m$ такая, что $\mathrm{rank}(CD) = \mathrm{rank}(D)$, то из $CDA = CDB$ следует $DA = DB$.

(2) Аналогично, покажите, что если $C$ — матрица размера $n \times q$, а $D$ — матрица размера $q \times p$ такая, что $\mathrm{rank}(CD) = \mathrm{rank}(C)$, то из $ACD = BCD$ следует $AC = BC$.