Банк задач по математике

Задача 6.1

Используя неравенство Шварца, покажите, что для любых двух матриц $A$ и $B$ линейного пространства $\mathcal{V}$

\left\| A+B\right\| \leq \left\| A\right\| + \left\| B\right\| ,

причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда $B = 0$ или $A = kB$ для некоторого неотрицательного скаляра $k$ . (Это неравенство известно как неравенство треугольника.)

?

Задача 6.2

(a)(b)(c)(d)

Пусть $A$ , $B$ и $C$ — произвольные матрицы линейного пространства $\mathcal{V}$ ; покажите, что

?

(a)

$\delta (B,A) = \delta (A,B)$ , то есть расстояние между $B$ и $A$ такое же, как между $A$ и $B$ ;

(b)

\delta (A,B) > 0, \quad \text{если } A \neq B, \qquad = 0, \quad \text{если } A = B,

то есть расстояние между любыми двумя матрицами больше нуля, если только эти две матрицы не совпадают, в каковом случае расстояние между ними равно нулю;

(c)

$\delta (A,B) \leq \delta (A,C) + \delta (C,B)$ , то есть расстояние между $A$ и $B$ не превосходит суммы расстояний между $A$ и $C$ и между $C$ и $B$ ;

(d)

$\delta (A,B) = \delta (A+C, B+C)$ , то есть расстояние не меняется при переносе <<осей>>.

Примечание.

?

Для части (c) используйте результат упражнения 6.1, то есть неравенство треугольника.

Задача 6.3

(a)(b)

Пусть $\overrightarrow {w}_1'$ , $\overrightarrow {w}_2'$ и $\overrightarrow {w}_3'$ — три линейно независимых 4-мерных вектора-строки $(6,0,-2,3)$ , $(-2,4,4,2)$ и $(0,5,-1,2)$ соответственно в линейном пространстве $\mathbb {R}^{4}$ , и примем обычное определение скалярного произведения.

?

(a)

Используя ортогонализацию Грама--Шмидта, найдите ортонормированный базис линейного пространства $\mathrm{sp}(\overrightarrow {w}_1', \overrightarrow {w}_2', \overrightarrow {w}_3')$ .

(b)

Найдите ортонормированный базис $\mathbb {R}^{4}$ , включающий три ортонормированных вектора из части (a). Сделайте это, распространив результаты ортогонализации Грама--Шмидта [из части (a)] на четвёртый линейно независимый вектор-строку, такой как $(0,1,0,0)$ .

Задача 6.4

(a)(b)

Пусть $\left\{ A_1, \ldots , A_k\right\}$ — непустое (возможно, линейно зависимое) множество матриц линейного пространства $\mathcal{V}$ .

?

(a)

Обобщите результаты, лежащие в основе ортогонализации Грама--Шмидта (которые относятся к частному случаю, когда множество $\left\{ A_1, \ldots , A_k\right\}$ линейно независимо), показав (1) что существуют скаляры $x_{ij}$ ( $i < j = 1, \ldots , k$ ) такие, что множество, состоящее из $k$ матриц

\begin{align} B_1 & = A_1, \\ B_2 & = A_2 - x_{12}B_1, \\ & \; \vdots \\ B_j & = A_j - x_{j-1,j}B_{j-1} - \cdots - x_{1j}B_1, \\ & \; \vdots \\ B_k & = A_k - x_{k-1,k}B_{k-1} - \cdots - x_{1k}B_1 \end{align}

ортогонально; (2) что при $j = 1, \ldots , k$ и для тех $i < j$ , для которых $B_i$ ненулевая, $x_{ij}$ однозначно задаётся формулой

x_{ij} = \frac{A_j \bullet B_i}{B_i \bullet B_i};

и (3) что число ненулевых матриц среди $B_1, \ldots , B_k$ равно $\dim [\mathrm{sp}(A_1, \ldots , A_k)]$ .

(b)

Опишите процедуру построения ортонормированного базиса $\mathrm{sp}(A_1, \ldots , A_k)$ .

Задача 6.5

Пусть $A$ — матрица размера $m \times k$ ранга $r$ (где $r$ , возможно, меньше $k$ ). Обобщите так называемое QR-разложение $A$ , которое относится к частному случаю $r = k$ и получается применением ортогонализации Грама--Шмидта к столбцам $A$ . Сделайте это, используя результаты упражнения 6.4, чтобы получить разложение вида $A = QR_1$ , где $Q$ — матрица размера $m \times r$ с ортонормированными столбцами, а $R_1$ — подматрица размера $r \times k$ , строки которой являются $r$ ненулевыми строками верхнетреугольной матрицы $R$ размера $k \times k$ , имеющей $r$ положительных диагональных элементов и $k-r$ нулевых строк.

?

Геометрические соображения