Банк задач по математике

Задача 5.1

Покажите, что для любой матрицы $A$ размера $m \times n$ , матрицы $B$ размера $n \times p$ и матрицы $C$ размера $p \times q$

\mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(B'A'C') = \mathrm{tr}(A'C'B').

?

Задача 5.2

(a)(b)

Пусть $A$ , $B$ и $C$ — матрицы размера $n \times n$ .

?

(a)

Используя результат упражнения 5.1 (или иначе), покажите, что если $A$ , $B$ и $C$ симметричны, то $\mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(BAC)$ .

(b)

Покажите, что [помимо особых случаев, подобных рассмотренному в части (a)] $\mathrm{tr}(BAC)$ не обязательно равно $\mathrm{tr}(ABC)$ .

Задача 5.3

(a)(b)

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ такая, что $A'A = A^2$ .

?

(a)

Покажите, что $\mathrm{tr}[(A-A')'(A-A')] = 0$ .

(b)

Покажите, что $A$ симметрична.

След (квадратной) матрицы