Банк задач по математике

Задача 4.1

Какое из следующих двух множеств является линейным пространством: (a) множество всех верхнетреугольных матриц размера $n \times n$ ; (b) множество всех несимметрических матриц размера $n \times n$ ?

?

Задача 4.2

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ , а $B$ — матрица размера $m \times p$ ; проверьте, что (1) $\mathcal{C}(A) \subset \mathcal{C}(B)$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{R}(A') \subset \mathcal{R}(B')$ , и (2) $\mathcal{C}(A) = \mathcal{C}(B)$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{R}(A') = \mathcal{R}(B')$ .

?

Задача 4.3

Пусть $\mathcal{U}$ и $\mathcal{W}$ — подпространства линейного пространства $\mathcal{V}$ . Покажите, что если каждая матрица из $\mathcal{V}$ принадлежит $\mathcal{U}$ или $\mathcal{W}$ , то $\mathcal{U} = \mathcal{V}$ или $\mathcal{W} = \mathcal{V}$ .

?

Задача 4.4

Пусть $A$ , $B$ и $C$ — три матрицы (одинаковых размеров) такие, что $A+B+C = 0$ . Покажите, что $\mathrm{sp}(A,B) = \mathrm{sp}(A,C)$ .

?

Задача 4.5

Пусть $A_1, \ldots , A_k$ — любые матрицы линейного пространства $\mathcal{V}$ . Покажите, что $\mathrm{sp}(A_1, \ldots , A_k)$ является подпространством $\mathcal{V}$ и что среди всех подпространств $\mathcal{V}$ , содержащих $A_1, \ldots , A_k$ , оно наименьшее [в том смысле, что для любого подпространства $\mathcal{U}$ (пространства $\mathcal{V}$ ), содержащего $A_1, \ldots , A_k$ , выполняется $\mathrm{sp}(A_1, \ldots , A_k) \subset \mathcal{U}$ ].

?

Задача 4.6

Пусть $A_1, \ldots , A_p$ и $B_1, \ldots , B_q$ — матрицы линейного пространства $\mathcal{V}$ . Покажите, что если множество $\left\{ A_1, \ldots , A_p\right\}$ порождает $\mathcal{V}$ , то и множество $\left\{ A_1, \ldots , A_p, B_1, \ldots , B_q\right\}$ также порождает $\mathcal{V}$ . Покажите также, что если множество $\left\{ A_1, \ldots , A_p, B_1, \ldots , B_q\right\}$ порождает $\mathcal{V}$ , и если $B_1, \ldots , B_q$ выражаются как линейные комбинации $A_1, \ldots , A_p$ , то множество $\left\{ A_1, \ldots , A_p\right\}$ порождает $\mathcal{V}$ .

?

Задача 4.7

Пусть $\left\{ A_1, \ldots , A_k\right\}$ — множество матриц, порождающее линейное пространство $\mathcal{V}$ , но не являющееся базисом $\mathcal{V}$ . Покажите, что для любой матрицы $A$ из $\mathcal{V}$ представление $A$ через $A_1, \ldots , A_k$ неединственно.

?

Задача 4.8

(a)(b)(c)(d)

Пусть

A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -2 & 0 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & -4 & -2 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right).

?

(a)

Покажите, что каждый из двух векторов-столбцов $(2,-1,3,-4)'$ и $(0,9,-3,12)'$ выражается как линейная комбинация столбцов $A$ [а значит принадлежит $\mathcal{C}(A)$ ].

(b)

Базис, скажем $S^*$ , линейного пространства $\mathcal{V}$ можно получить из любого конечного множества $S$ , порождающего $\mathcal{V}$ , последовательно применяя к каждой матрице из $S$ следующий алгоритм: включить матрицу в $S^*$ , если она ненулевая и не выражается как линейная комбинация матриц, уже включённых в $S^*$ . Используйте этот алгоритм, чтобы найти базис $\mathcal{C}(A)$ . (Применяя алгоритм, возьмите в качестве порождающего множества $S$ множество столбцов $A$ .)

(c)

Чему равно $\mathrm{rank}(A)$ ? Объясните ваши рассуждения.

(d)

Базис линейного пространства $\mathcal{V}$ , включающий заданное множество, скажем $T$ , из $r$ линейно независимых матриц из $\mathcal{V}$ , можно получить, применив алгоритм из части (b) к множеству $S$ , первые $r$ элементов которого — элементы $T$ , а оставшиеся элементы — элементы любого конечного множества $U$ , порождающего $\mathcal{V}$ . Используйте это обобщение процедуры из части (b), чтобы найти базис $\mathcal{C}(A)$ , включающий два вектора-столбца из части (a). (Применяя обобщённую процедуру, возьмите в качестве порождающего множества $U$ множество столбцов $A$ .)

Задача 4.9

(a)(b)

Пусть $A$ — матрица размера $q \times p$ , $B$ — матрица размера $p \times n$ , а $C$ — матрица размера $m \times q$ . Покажите, что

?

(a)

если $\mathrm{rank}(CAB) = \mathrm{rank}(C)$ , то $\mathrm{rank}(CA) = \mathrm{rank}(C)$ , и

(b)

если $\mathrm{rank}(CAB) = \mathrm{rank}(B)$ , то $\mathrm{rank}(AB) = \mathrm{rank}(B)$ .

Задача 4.10

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ ранга $r$ . Покажите, что $A$ можно представить как сумму $r$ матриц ранга 1.

?

Задача 4.11

(a)(b)

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ , а $C$ — матрица размера $q \times n$ .

?

(a)

Подтвердите, что

\mathcal{R}(C) = \mathcal{R}\! \left(\left(\begin{smallmatrix} A \\ C \end{smallmatrix}\right)\right) \Leftrightarrow \mathcal{R}(A) \subset \mathcal{R}(C).

(b)

Подтвердите, что $\mathrm{rank}(C) \leq \mathrm{rank}\! \left(\left(\begin{smallmatrix} A \\ C \end{smallmatrix}\right)\right)$ , причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда $\mathcal{R}(A) \subset \mathcal{R}(C)$ .

Линейные пространства: пространства строк и столбцов