Линейная зависимость и независимость

[2/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 3.1

При каких значениях скаляра $k$ три вектора-строки $(k, 1, 0)$ , $(1, k, 1)$ и $(0, 1, k)$ линейно зависимы, а при каких — линейно независимы? Опишите ваши рассуждения.

Задача 3.2

Пусть $A$ , $B$ и $C$ — три линейно независимые матрицы размера $m \times n$ . Определите, являются ли три попарные суммы $A+B$ , $A+C$ и $B+C$ линейно независимыми.

Примечание.

Воспользуйтесь следующим общим результатом о линейной зависимости или независимости линейных комбинаций: пусть $A_1, A_2, \ldots , A_k$ — матрицы размера $m \times n$ , и при $j = 1, \ldots , r$ положим $C_j = x_{1j}A_1 + x_{2j}A_2 + \cdots + x_{kj}A_k$ (где $x_{1j}, x_{2j}, \ldots , x_{kj}$ — скаляры), и пусть $\overrightarrow {x}_j = (x_{1j}, x_{2j}, \ldots , x_{kj})'$ ; тогда линейные комбинации $C_1, C_2, \ldots , C_r$ линейно независимы, если $A_1, A_2, \ldots , A_k$ линейно независимы и $\overrightarrow {x}_1, \overrightarrow {x}_2, \ldots , \overrightarrow {x}_r$ линейно независимы, и линейно зависимы, если $\overrightarrow {x}_1, \overrightarrow {x}_2, \ldots , \overrightarrow {x}_r$ линейно зависимы.