Линейные преобразования

Пусть $\mathcal{U}$ — подпространство линейного пространства $\mathcal{V}$, а $S$ — линейное преобразование из $\mathcal{U}$ в линейное пространство $\mathcal{W}$. Покажите, что найдётся линейное преобразование $T$ из $\mathcal{V}$ в $\mathcal{W}$ такое, что $S$ является сужением $T$ на $\mathcal{U}$.

Пусть $T$ — взаимно однозначное линейное преобразование из линейного пространства $\mathcal{V}$ в линейное пространство $\mathcal{W}$. И пусть $\mathbf{U} \cdot \mathbf{Y}$ обозначает скалярное произведение произвольных матриц $\mathbf{U}$ и $\mathbf{Y}$ из $\mathcal{W}$. Далее, определим $\mathbf{X} * \mathbf{Z} = T(\mathbf{X}) \cdot T(\mathbf{Z})$ для всех матриц $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Z}$ из $\mathcal{V}$. Покажите, что «$*$-операция» удовлетворяет четырём свойствам, требуемым от скалярного произведения на $\mathcal{V}$.

Пусть $T$ — линейное преобразование из линейного пространства $\mathcal{V}$ в линейное пространство $\mathcal{W}$, а $\mathcal{U}$ — произвольное подпространство $\mathcal{V}$ такое, что $\mathcal{U}$ и $N(T)$ существенно не пересекаются. Далее, пусть $\{ \mathbf{X}_{1}, \ldots , \mathbf{X}_{r}\}$ — линейно независимый набор из $r$ матриц из $\mathcal{U}$.

Пусть $T$ и $S$ — линейные преобразования из линейного пространства $\mathcal{V}$ в линейное пространство $\mathcal{W}$, а $k$ — произвольный скаляр.

Пусть $S$ — линейное преобразование из линейного пространства $\mathcal{U}$ в линейное пространство $\mathcal{V}$, а $T$ — линейное преобразование из $\mathcal{V}$ в линейное пространство $\mathcal{W}$. Покажите, что преобразование $TS$ линейно.

Пусть $T$ — линейное преобразование из линейного пространства $\mathcal{V}$ в линейное пространство $\mathcal{W}$, а $R$ — линейное преобразование из линейного пространства $\mathcal{U}$ в $\mathcal{W}$. Покажите, что если $T(\mathcal{V}) \subset R(\mathcal{U})$, то найдётся линейное преобразование $S$ из $\mathcal{V}$ в $\mathcal{U}$ такое, что $T = RS$.

Пусть $T$ — преобразование из линейного пространства $\mathcal{V}$ в линейное пространство $\mathcal{W}$, а $S$ и $R$ — преобразования из $\mathcal{W}$ в $\mathcal{V}$. И предположим, что $RT = I$ (где тождественное преобразование $I$ действует из $\mathcal{V}$ на $\mathcal{V}$) и что $TS = I$ (где тождественное преобразование $I$ действует из $\mathcal{W}$ на $\mathcal{W}$).

Пусть $T$ — обратимое преобразование из линейного пространства $\mathcal{V}$ в линейное пространство $\mathcal{W}$, пусть $S$ — обратимое преобразование из линейного пространства $\mathcal{U}$ в $\mathcal{V}$, а $k$ — произвольный скаляр. Используя результаты задачи 7 (или иным способом), покажите, что

Пусть $T$ — линейное преобразование из $n$-мерного линейного пространства $\mathcal{V}$ в $m$-мерное линейное пространство $\mathcal{W}$. И пусть $\mathbf{U} \cdot \mathbf{Y}$ обозначает скалярное произведение произвольных матриц $\mathbf{U}$ и $\mathbf{Y}$ из $\mathcal{W}$. Далее, пусть $B$ — набор матриц $\mathbf{V}_{1}, \ldots , \mathbf{V}_{n}$ (из $\mathcal{V}$), образующих базис $\mathcal{V}$, а $C$ — набор матриц $\mathbf{W}_{1}, \ldots , \mathbf{W}_{m}$ (из $\mathcal{W}$), образующих ортонормированный базис $\mathcal{W}$. Покажите, что матричное представление $T$ относительно $B$ и $C$ — это $m \times n$-матрица, $ij$-й элемент которой равен $T(\mathbf{V}_{j}) \cdot \mathbf{W}_{i}$.

Пусть $T$ — линейное преобразование из $\mathbb {R}^{m \times n}$ в $\mathbb {R}^{n \times m}$, заданное как $T(\mathbf{X}) = \mathbf{X}'$. И пусть $C$ — естественный базис $\mathbb {R}^{m \times n}$, состоящий из $mn$ матриц $\mathbf{U}_{11}, \mathbf{U}_{21}, \ldots , \mathbf{U}_{m1}, \ldots , \mathbf{U}_{1n}, \mathbf{U}_{2n}, \ldots , \mathbf{U}_{mn}$, где (для $i = 1, \ldots , m$ и $j = 1, \ldots , n$) $\mathbf{U}_{ij}$ — $m \times n$-матрица, $ij$-й элемент которой равен 1, а остальные $mn-1$ элементов равны 0; и аналогично пусть $D$ — естественный базис $\mathbb {R}^{n \times m}$. Покажите, что матричное представление $T$ относительно базисов $C$ и $D$ — это $\mathrm{vec}$-перестановочная матрица $\mathbf{K}_{mn}$.

Пусть $\mathcal{W}$ — линейное пространство всех симметрических $p \times p$-матриц, а $T$ — линейное преобразование из $\mathbb {R}^{m \times n}$ в $\mathcal{W}$. Далее, пусть $B$ — естественный базис $\mathbb {R}^{m \times n}$, состоящий из $mn$ матриц $\mathbf{U}_{11}, \mathbf{U}_{21}, \ldots , \mathbf{U}_{m1}, \ldots , \mathbf{U}_{1n}, \ldots , \mathbf{U}_{mn}$, где (для $i = 1, \ldots , m$ и $j = 1, \ldots , n$) $\mathbf{U}_{ij}$ — $m \times n$-матрица, $ij$-й элемент которой равен 1, а остальные $mn-1$ элементов равны 0. И пусть $C$ — обычный базис $\mathcal{W}$.

Пусть $\mathcal{V}$ — $n$-мерное линейное пространство. Далее, пусть $B = \{ \mathbf{V}_{1}, \mathbf{V}_{2}, \ldots , \mathbf{V}_{n}\}$ — базис $\mathcal{V}$, а $\mathbf{A}$ — невырожденная $n \times n$-матрица. И, для $j = 1, \ldots , n$, пусть

где (для $i = 1, \ldots , n$) $f_{ij}$ — $ij$-й элемент $\mathbf{A}^{-1}$. Покажите, что набор $C$, состоящий из матриц $\mathbf{W}_{1}, \mathbf{W}_{2}, \ldots , \mathbf{W}_{n}$, является базисом $\mathcal{V}$ и что $\mathbf{A}$ является матричным представлением тождественного преобразования $I$ (из $\mathcal{V}$ на $\mathcal{V}$) относительно $B$ и $C$.

Пусть $T$ — линейное преобразование из $\mathbb {R}^{4 \times 1}$ в $\mathbb {R}^{3 \times 1}$, заданное как

где $\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})'$. Далее, пусть $B$ — естественный базис $\mathbb {R}^{4 \times 1}$ (состоящий из столбцов $\mathbf{I}_{4}$), а $E$ — базис (для $\mathbb {R}^{4 \times 1}$), состоящий из четырёх векторов $(1,-1,0,-1)'$, $(0,0,1,1)'$, $(0,0,0,1)'$ и $(1,1,0,0)'$. И пусть $C$ — естественный базис $\mathbb {R}^{3 \times 1}$ (состоящий из столбцов $\mathbf{I}_{3}$), а $F$ — базис (для $\mathbb {R}^{3 \times 1}$), состоящий из трёх векторов $(1,0,1)'$, $(1,1,0)'$ и $(-1,0,0)'$.

Пусть $T$ — линейное преобразование ранга $k$ (где $k > 0$) из $n$-мерного линейного пространства $\mathcal{V}$ в $m$-мерное линейное пространство $\mathcal{W}$. Покажите, что найдётся базис $E$ для $\mathcal{V}$ и базис $F$ для $\mathcal{W}$ такие, что матричное представление $T$ относительно $E$ и $F$ имеет вид $\begin{pmatrix} \mathbf{I}_{k} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{pmatrix}$.

Пусть $T$ — линейное преобразование из $n$-мерного линейного пространства $\mathcal{V}$ в $m$-мерное линейное пространство $\mathcal{W}$, а $\mathbf{A}$ — матричное представление $T$ относительно базисов $B$ и $C$ (для $\mathcal{V}$ и $\mathcal{W}$ соответственно). Используя результат о том, что $n \times 1$-вектор $\mathbf{x}$ лежит в $N(\mathbf{A})$ тогда и только тогда, когда соответствующая матрица $L_{B}(\mathbf{x})$ лежит в $N(T)$ [или, что то же самое, что матрица $\mathbf{X}$ (из $\mathcal{V}$) лежит в $N(T)$ тогда и только тогда, когда соответствующий вектор $L_{B}^{-1}(\mathbf{X})$ лежит в $N(\mathbf{A})$], постройте «прямое» доказательство того, что $\dim [N(T)] = \dim [N(\mathbf{A})]$ (в противоположность выведению этого равенства как следствия результата о том, что $\operatorname {rk} T = \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right)$).

Пусть $T$ — линейное преобразование из $n$-мерного линейного пространства $\mathcal{V}$ в $\mathcal{V}$.

Пусть $\mathcal{V}$, $\mathcal{W}$ и $\mathcal{U}$ — линейные пространства.

Пусть $S$ — двойственное преобразование линейного преобразования $T$ из $n$-мерного линейного пространства $\mathcal{V}$ в $m$-мерное линейное пространство $\mathcal{W}$. И пусть $\mathbf{A} = \{ a_{ij}\}$ — матричное представление $T$ относительно ортонормированных базисов $C$ и $D$, а $\mathbf{B} = \{ b_{ij}\}$ — матричное представление $S$ относительно $D$ и $C$. Используя результат задачи 9 (или иным способом), покажите, что $\mathbf{B} = \mathbf{A}'$.

Пусть $\mathbf{A}$ — $m \times n$-матрица, пусть $\mathbf{V}$ — симметрическая положительно определённая $n \times n$-матрица, а $\mathbf{W}$ — симметрическая положительно определённая $m \times m$-матрица. И пусть $S$ — двойственное преобразование линейного преобразования $T$ из $\mathbb {R}^{n \times 1}$ в $\mathbb {R}^{m \times 1}$, заданного как $T(\mathbf{x}) = \mathbf{A}\mathbf{x}$ (где $\mathbf{x}$ — произвольный $n \times 1$-вектор). Приняв скалярное произведение произвольных векторов $\mathbf{x}$ и $\mathbf{z}$ из $\mathbb {R}^{n \times 1}$ равным $\mathbf{x}'\mathbf{V}\mathbf{z}$, а скалярное произведение произвольных векторов $\mathbf{u}$ и $\mathbf{y}$ из $\mathbb {R}^{m \times 1}$ равным $\mathbf{u}'\mathbf{W}\mathbf{y}$, получите формулу для $S(\mathbf{y})$, обобщающую формулу $S(\mathbf{y}) = \mathbf{A}'\mathbf{y}$ ($\mathbf{y} \in \mathbb {R}^{m \times 1}$), полученную в частном случае обычных скалярных произведений (то есть в частном случае, когда $\mathbf{V} = \mathbf{I}_{n}$ и $\mathbf{W} = \mathbf{I}_{m}$).

Пусть $S$ — двойственное преобразование линейного преобразования $T$ из линейного пространства $\mathcal{V}$ в линейное пространство $\mathcal{W}$.