Собственные значения и собственные векторы

Покажите, что кососимметрическая $n \times n$-матрица $\mathbf{A}$ не имеет ненулевых собственных значений.

Пусть $\mathbf{A}$ — $n \times n$-матрица, $\mathbf{B}$ — $k \times k$-матрица, а $\mathbf{X}$ — $n \times k$-матрица такая, что $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{X}\mathbf{B}$.

Пусть $p(\lambda )$ — характеристический полином $n \times n$-матрицы $\mathbf{A}$, и пусть $c_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n}$ — соответствующие коэффициенты характеристического полинома, так что

(для $\lambda \in \mathbb {R}$). Далее, пусть $\mathbf{P}$ — $n \times n$-матрица, полученная из $p(\lambda )$ формальной заменой скаляра $\lambda$ на $n \times n$-матрицу $\mathbf{A}$ (и полагая $\mathbf{A}^{0} = \mathbf{I}_{n}$). То есть пусть

Покажите, что $\mathbf{P} = \mathbf{0}$ (результат, известный как теорема Гамильтона — Кэли), выполнив следующие четыре шага.

Пусть $c_{0}, c_{1}, \ldots , c_{n-1}, c_{n}$ — соответствующие коэффициенты характеристического полинома $p(\lambda )$ $n \times n$-матрицы $\mathbf{A}$ [так что $p(\lambda ) = c_{0} + c_{1}\lambda + \cdots + c_{n-1}\lambda^{n-1} + c_{n}\lambda^{n}$ (для $\lambda \in \mathbb {R}$)]. Используя результат задачи 3 (теорему Гамильтона — Кэли), покажите, что если $\mathbf{A}$ невырожденна, то $c_{0} \neq 0$, и

Покажите, что если $n \times n$-матрица $\mathbf{B}$ подобна $n \times n$-матрице $\mathbf{A}$, то (1) $\mathbf{B}^{k}$ подобна $\mathbf{A}^{k}$ ($k = 2, 3, \ldots$) и (2) $\mathbf{B}'$ подобна $\mathbf{A}'$.

Покажите, что если $n \times n$-матрица $\mathbf{B}$ подобна ($n \times n$) идемпотентной матрице, то $\mathbf{B}$ идемпотентна.

Пусть $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ и $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Покажите, что $\mathbf{B}$ имеет тот же ранг, определитель, след и характеристический полином, что и $\mathbf{A}$, но что, тем не менее, $\mathbf{B}$ не подобна $\mathbf{A}$.

Разовьём результат задачи 7, показав (для произвольного натурального числа $n$), что для того, чтобы $n \times n$-матрица $\mathbf{B}$ была подобна $n \times n$-матрице $\mathbf{A}$, недостаточно, чтобы $\mathbf{B}$ имела тот же ранг, определитель, след и характеристический полином, что и $\mathbf{A}$.

Пусть $\mathbf{A}$ — $n \times n$-матрица, $\mathbf{B}$ — $k \times k$-матрица, а $\mathbf{X}$ — $n \times k$-матрица такая, что $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{X}\mathbf{B}$. Покажите, что если $\mathbf{X}$ имеет полный столбцовый ранг, то найдётся ортогональная матрица $\mathbf{Q}$ такая, что $\mathbf{Q}'\mathbf{A}\mathbf{Q} = \begin{pmatrix} \mathbf{T}_{11} & \mathbf{T}_{12} \\ \mathbf{0} & \mathbf{T}_{22} \end{pmatrix}$, где $\mathbf{T}_{11}$ — $k \times k$-матрица, подобная $\mathbf{B}$.

Покажите, что если $0$ является собственным значением $n \times n$-матрицы $\mathbf{A}$, то его алгебраическая кратность больше или равна $n - \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right)$.

Пусть $\mathbf{A}$ — $n \times n$-матрица. Покажите, что если скаляр $\lambda$ является собственным значением $\mathbf{A}$ алгебраической кратности $\gamma$, то $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}\right) \geq n - \gamma$.

Пусть $\gamma_{1}$ — алгебраическая, а $\nu_{1}$ — геометрическая кратность $0$, когда $0$ рассматривается как собственное значение $n \times n$ (вырожденной) матрицы $\mathbf{A}$. И пусть $\gamma_{2}$ — алгебраическая, а $\nu_{2}$ — геометрическая кратность $0$, когда $0$ рассматривается как собственное значение $\mathbf{A}^{2}$. Покажите, что если $\nu_{1} = \gamma_{1}$, то $\nu_{2} = \gamma_{2} = \nu_{1}$.

Пусть $\mathbf{x}_{1}$ и $\mathbf{x}_{2}$ — собственные векторы $n \times n$-матрицы $\mathbf{A}$, а $c_{1}$ и $c_{2}$ — ненулевые скаляры. При каких условиях вектор $\mathbf{x} = c_{1}\mathbf{x}_{1} + c_{2}\mathbf{x}_{2}$ является собственным вектором $\mathbf{A}$?

Пусть $\mathbf{A}$ — $n \times n$-матрица, и предположим, что найдётся невырожденная $n \times n$-матрица $\mathbf{Q}$ такая, что $\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q} = \mathbf{D}$ для некоторой диагональной матрицы $\mathbf{D} = \{ d_{i}\}$. Далее, для $i = 1, \ldots , n$ пусть $\mathbf{r}_{i}'$ — $i$-я строка $\mathbf{Q}^{-1}$. Покажите

Покажите, что если невырожденная $n \times n$-матрица $\mathbf{A}$ диагонализируется невырожденной $n \times n$-матрицей $\mathbf{Q}$, то $\mathbf{A}^{-1}$ также диагонализируется $\mathbf{Q}$.

Пусть $\mathbf{A}$ — $n \times n$-матрица, спектр которой состоит из $k$ собственных значений $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k}$ с алгебраическими кратностями $\gamma_{1}, \ldots , \gamma_{k}$ соответственно, суммирующимися к $n$. Покажите, что $\mathbf{A}$ диагонализируема тогда и только тогда, когда для $i = 1, \ldots , k$ выполняется $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A} - \lambda_{i}\mathbf{I}\right) = n - \gamma_{i}$.

Пусть $\mathbf{A}$ — симметрическая $n \times n$-матрица с не обязательно различными собственными значениями $d_{1}, \ldots , d_{n}$, упорядоченными так, что $d_{1} \leq d_{2} \leq \cdots \leq d_{n}$. И пусть $\mathbf{Q}$ — ортогональная $n \times n$-матрица такая, что $\mathbf{Q}'\mathbf{A}\mathbf{Q} = \diag (d_{1}, \ldots , d_{n})$ — существование которой гарантировано. Далее, для $m = 2, \ldots , n-1$ определим $S_{m} = \{ \mathbf{x} \in \mathbb {R}^{n \times 1} : \mathbf{x} \neq \mathbf{0}, \mathbf{Q}_{m}'\mathbf{x} = \mathbf{0}\}$ и $T_{m} = \{ \mathbf{x} \in \mathbb {R}^{n \times 1} : \mathbf{x} \neq \mathbf{0}, \mathbf{P}_{m}'\mathbf{x} = \mathbf{0}\}$, где $\mathbf{Q}_{m} = (\mathbf{q}_{1}, \ldots , \mathbf{q}_{m-1})$ и $\mathbf{P}_{m} = (\mathbf{q}_{m+1}, \ldots , \mathbf{q}_{n})$. Покажите, что для $m = 2, \ldots , n-1$

Пусть $\mathbf{A}$ — симметрическая $n \times n$-матрица, и примем следующие обозначения: $d_{1}, \ldots , d_{n}$ — не обязательно различные собственные значения $\mathbf{A}$, $\mathbf{q}_{1}, \ldots , \mathbf{q}_{n}$ — ортонормированные собственные векторы, соответствующие $d_{1}, \ldots , d_{n}$ соответственно, $\mathbf{Q} = (\mathbf{q}_{1}, \ldots , \mathbf{q}_{n})$, $\{ \lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k}\}$ — спектр $\mathbf{A}$; и, для $j = 1, \ldots , k$, $S_{j} = \{ i : d_{i} = \lambda_{j}\}$, $\mathbf{E}_{j} = \sum_{i \in S_{j}} \mathbf{q}_{i}\mathbf{q}_{i}'$, и $\mathbf{Q}_{j} = (\mathbf{q}_{i_{1}}, \ldots , \mathbf{q}_{i_{\nu_{j}}})$, где $i_{1}, \ldots , i_{\nu_{j}}$ обозначают элементы $S_{j}$.

Пусть $\mathbf{A}$ — симметрическая $n \times n$-матрица, и пусть $d_{1}, \ldots , d_{n}$ — (не обязательно различные) собственные значения $\mathbf{A}$. Покажите, что $\lim_{k \rightarrow \infty } \mathbf{A}^{k} = \mathbf{0}$ тогда и только тогда, когда для $i = 1, \ldots , n$ выполняется $\left|d_{i}\right| < 1$.

Покажите, что для любого натурального числа $n$, делящегося на 2, найдётся ортогональная $n \times n$-матрица, не имеющая собственных значений.

Пусть $\mathbf{Q}$ — ортогональная $n \times n$-матрица, а $p(\lambda )$ — характеристический полином $\mathbf{Q}$. Покажите, что (для $\lambda \neq 0$)

Пусть $\mathbf{A}$ — $n \times n$-матрица, и предположим, что скаляр 1 является собственным значением $\mathbf{A}$ геометрической кратности $\nu$. Покажите, что $\nu \leq \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right)$ и что если $\nu = \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right)$, то $\mathbf{A}$ идемпотентна.

Пусть $\mathbf{A}$ — невырожденная $n \times n$-матрица. И пусть $\lambda$ — собственное значение $\mathbf{A}$, а $\mathbf{x}$ — собственный вектор $\mathbf{A}$, соответствующий $\lambda$. Покажите, что $\left|\mathbf{A}\right|/\lambda$ является собственным значением $\operatorname {adj}(\mathbf{A})$, а $\mathbf{x}$ является собственным вектором $\operatorname {adj}(\mathbf{A})$, соответствующим $\left|\mathbf{A}\right|/\lambda$.

Пусть $\mathbf{A}$ — $n \times n$-матрица, а $p(\lambda )$ — характеристический полином $\mathbf{A}$. И пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k}$ — различные собственные значения $\mathbf{A}$, а $\gamma_{1}, \ldots , \gamma_{k}$ — их соответствующие алгебраические кратности, так что (для всех $\lambda$)

для некоторого полинома $q(\lambda )$ (степени $n - \sum_{j=1}^{k} \gamma_{j}$), не имеющего вещественных корней. Далее, определим $\mathbf{B} = \mathbf{A} - \lambda_{1}\mathbf{U}\mathbf{V}'$, где $\mathbf{U} = (\mathbf{u}_{1}, \ldots , \mathbf{u}_{\gamma_{1}})$ — $n \times \gamma_{1}$-матрица, столбцы которой $\mathbf{u}_{1}, \ldots , \mathbf{u}_{\gamma_{1}}$ являются (не обязательно линейно независимыми) собственными векторами $\mathbf{A}$, соответствующими $\lambda_{1}$, а $\mathbf{V} = (\mathbf{v}_{1}, \ldots , \mathbf{v}_{\gamma_{1}})$ — $n \times \gamma_{1}$-матрица такая, что $\mathbf{V}'\mathbf{U}$ диагональна.

Пусть $\mathbf{A}$ — $m \times n$-матрица ранга $r$. И пусть $\mathbf{P}$ — произвольная ортогональная $m \times m$-матрица, а $\mathbf{D}_{1}$ — произвольная невырожденная диагональная $r \times r$-матрица такие, что

Далее, разобьём $\mathbf{P}$ на блоки $\mathbf{P} = (\mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2})$, где $\mathbf{P}_{1}$ имеет $r$ столбцов, и пусть $\mathbf{Q} = (\mathbf{Q}_{1}, \mathbf{Q}_{2})$, где $\mathbf{Q}_{1} = \mathbf{A}'\mathbf{P}_{1}\mathbf{D}_{1}^{-1}$, а $\mathbf{Q}_{2}$ — произвольная $n \times (n-r)$-матрица такая, что $\mathbf{Q}_{1}'\mathbf{Q}_{2} = \mathbf{0}$. Покажите, что

Пусть $\mathbf{A}$ — $m \times n$-матрица. И пусть $\mathbf{P}$ — ортогональная $m \times m$-матрица, $\mathbf{Q}$ — ортогональная $n \times n$-матрица, а $\mathbf{D}_{1} = \{ s_{i}\}$ — $r \times r$ диагональная матрица со строго положительными диагональными элементами такая, что $\mathbf{P}'\mathbf{A}\mathbf{Q} = \begin{pmatrix} \mathbf{D}_{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{pmatrix}$; обозначим через $\mathbf{p}_{1}, \ldots , \mathbf{p}_{r}$ первые $r$ столбцов $\mathbf{P}$, а через $\mathbf{q}_{1}, \ldots , \mathbf{q}_{r}$ — первые $r$ столбцов $\mathbf{Q}$; и пусть $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{k}$ — различные значения среди $s_{1}, \ldots , s_{r}$. Тогда сингулярное разложение $\mathbf{A}$ имеет вид $\mathbf{A} = \sum_{j=1}^{k} \alpha_{j}\mathbf{U}_{j}$, где (для $j = 1, \ldots , k$) $\mathbf{U}_{j} = \sum_{i \in L_{j}} \mathbf{p}_{i}\mathbf{q}_{i}'$ при $L_{j} = \{ i : s_{i} = \alpha_{j}\}$. Покажите, что матрицы $\mathbf{U}_{1}, \ldots , \mathbf{U}_{k}$, входящие в сингулярное разложение, таковы, что $\mathbf{U}_{j}\mathbf{U}_{j}'\mathbf{U}_{j} = \mathbf{U}_{j}$ (для $j = 1, \ldots , k$) и $\mathbf{U}_{t}'\mathbf{U}_{j} = \mathbf{0}$ и $\mathbf{U}_{t}\mathbf{U}_{j}' = \mathbf{0}$ (для $t \neq j = 1, \ldots , k$).

Пусть $\mathbf{A}$ — $m \times n$-матрица. И, как в задаче 27, пусть $\mathbf{P}$ — ортогональная $m \times m$-матрица, $\mathbf{Q}$ — ортогональная $n \times n$-матрица, а $\mathbf{D}_{1}$ — невырожденная диагональная $r \times r$-матрица такие, что $\mathbf{P}'\mathbf{A}\mathbf{Q} = \begin{pmatrix} \mathbf{D}_{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{pmatrix}$. Далее, разобьём $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ на блоки $\mathbf{P} = (\mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2})$ и $\mathbf{Q} = (\mathbf{Q}_{1}, \mathbf{Q}_{2})$, где каждая из матриц $\mathbf{P}_{1}$ и $\mathbf{Q}_{1}$ имеет $r$ столбцов. Покажите, что $C(\mathbf{A}) = C(\mathbf{P}_{1})$ и что $N(\mathbf{A}) = C(\mathbf{Q}_{2})$.

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ — не обязательно симметрические $n \times n$-матрицы, каждая из которых диагонализируема. Покажите, что если $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ попарно коммутируют, то $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ одновременно диагонализируемы.

Пусть $\mathbf{V}$ — симметрическая неотрицательно определённая $n \times n$-матрица, $\mathbf{X}$ — $n \times p$-матрица ранга $r$, а $\mathbf{d}$ — $p \times 1$-вектор. Используя результаты задачи 19.11 (или иным способом), покажите, что каждое из следующих трёх условий необходимо и достаточно для того, чтобы вектор $\mathbf{X}(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-}\mathbf{d}$ был решением, для каждого $\mathbf{d} \in C(\mathbf{X}')$, задачи минимизации квадратичной формы $\mathbf{a}'\mathbf{V}\mathbf{a}$ (относительно $\mathbf{a}$) при ограничении $\mathbf{X}'\mathbf{a} = \mathbf{d}$:

Пусть $\mathbf{A}$ — симметрическая $n \times n$-матрица, а $\mathbf{B}$ — симметрическая положительно определённая $n \times n$-матрица. И пусть $\lambda_{\max }$ и $\lambda_{\min }$ — соответственно наибольший и наименьший корни $\left|\mathbf{A} - \lambda \mathbf{B}\right|$. Покажите, что

для любого ненулевого вектора $\mathbf{x}$ из $\mathbb {R}^{n}$.

Пусть $\mathbf{A}$ — симметрическая $n \times n$-матрица, а $\mathbf{B}$ — симметрическая положительно определённая $n \times n$-матрица. Покажите, что $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ неотрицательно определена тогда и только тогда, когда все $n$ (не обязательно различных) корней $\left|\mathbf{A} - \lambda \mathbf{B}\right|$ больше или равны 1, и положительно определена тогда и только тогда, когда все $n$ корней (строго) больше 1.