Псевдообратная матрица Мура — Пенроуза

Покажите, что для любой $m \times n$-матрицы $\mathbf{B}$ полного столбцового ранга и любой $n \times p$-матрицы $\mathbf{C}$ полного строчного ранга

Покажите, что для любой $m \times n$-матрицы $\mathbf{A}$ равенство $\mathbf{A}^{+} = \mathbf{A}'$ выполняется тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}'\mathbf{A}$ идемпотентна.

Пусть $\mathbf{T}$ — $m \times p$-матрица, $\mathbf{U}$ — $m \times q$-матрица, $\mathbf{V}$ — $n \times p$-матрица, а $\mathbf{W}$ — $n \times q$-матрица, и пусть $\mathbf{Q} = \mathbf{W} - \mathbf{V}\mathbf{T}^{-}\mathbf{U}$. Если $C(\mathbf{U}) \subset C(\mathbf{T})$ и $R(\mathbf{V}) \subset R(\mathbf{T})$, то

является обобщённой обратной матрицей блочной матрицы $\begin{pmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W} \end{pmatrix}$, а

— обобщённой обратной матрицей $\begin{pmatrix} \mathbf{W} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T} \end{pmatrix}$. Покажите, что если обобщённые обратные матрицы $\mathbf{T}^{-}$ и $\mathbf{Q}^{-}$ (к $\mathbf{T}$ и $\mathbf{Q}$ соответственно) обе рефлексивны [и если $C(\mathbf{U}) \subset C(\mathbf{T})$ и $R(\mathbf{V}) \subset R(\mathbf{T})$], то обобщённые обратные матрицы $(*)$ и $(**)$ также рефлексивны.

Определите, какие из условий Пенроуза (1)--(4) [также известных как условия Мура — Пенроуза (1)--(4)] обязательно выполняются для левой обратной матрицы $m \times n$-матрицы $\mathbf{A}$ (когда левая обратная существует). Какие из условий Пенроуза обязательно выполняются для правой обратной матрицы $m \times n$-матрицы $\mathbf{A}$ (когда правая обратная существует)?

Пусть $\mathbf{A}$ — $m \times n$-матрица, а $\mathbf{G}$ — $n \times m$-матрица.

Покажите, что для любой $m \times n$-матрицы $\mathbf{A}$ выполняется $(\mathbf{A}^{+}\mathbf{A})^{+} = \mathbf{A}^{+}\mathbf{A}$ и $(\mathbf{A}\mathbf{A}^{+})^{+} = \mathbf{A}\mathbf{A}^{+}$.

Покажите, что для любой симметрической $n \times n$-матрицы $\mathbf{A}$ выполняется $\mathbf{A}\mathbf{A}^{+} = \mathbf{A}^{+}\mathbf{A}$.

Пусть $\mathbf{V}$ — симметрическая неотрицательно определённая $n \times n$-матрица, $\mathbf{X}$ — $n \times p$-матрица, а $\mathbf{d}$ — $p \times 1$-вектор. Используя результаты задач 8 и 19.11 (или иным способом), покажите, что для того, чтобы вектор $\mathbf{X}(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-}\mathbf{d}$ был решением, для каждого $\mathbf{d} \in C(\mathbf{X}')$, задачи минимизации квадратичной формы $\mathbf{a}'\mathbf{V}\mathbf{a}$ (относительно $\mathbf{a}$) при ограничении $\mathbf{X}'\mathbf{a} = \mathbf{d}$, необходимо и достаточно, чтобы $C(\mathbf{V}^{+}\mathbf{X}) \subset C(\mathbf{X})$.

Пусть $\mathbf{A}$ — $n \times n$-матрица. Покажите, что если $\mathbf{A}$ симметрична и положительно полуопределена, то $\mathbf{A}^{+}$ симметрична и положительно полуопределена, и что если $\mathbf{A}$ симметрична и положительно определена, то $\mathbf{A}^{+}$ симметрична и положительно определена. Сделайте это, воспользовавшись результатом о том, что если $\mathbf{A}$ симметрична и неотрицательно определена (и ненулевая), то $\mathbf{A}^{+} = \mathbf{T}^{+}(\mathbf{T}^{+})'$ для любой матрицы $\mathbf{T}$ полного строчного ранга (с $n$ столбцами) такой, что $\mathbf{A} = \mathbf{T}'\mathbf{T}$.

Пусть $\mathbf{C}$ — $m \times n$-матрица. Покажите, что для любой идемпотентной $m \times m$-матрицы $\mathbf{A}$ выполняется $(\mathbf{A}\mathbf{C})^{+}\mathbf{A}' = (\mathbf{A}\mathbf{C})^{+}$, а для любой идемпотентной $n \times n$-матрицы $\mathbf{B}$ выполняется $\mathbf{B}'(\mathbf{C}\mathbf{B})^{+} = (\mathbf{C}\mathbf{B})^{+}$.

Пусть $\mathbf{a}$ — $n \times 1$-вектор переменных, на который наложено ограничение $\mathbf{X}'\mathbf{a} = \mathbf{d}$, где $\mathbf{X}$ — $n \times p$-матрица, а $\mathbf{d}$ — $p \times 1$-вектор такой, что $\mathbf{d} \in C(\mathbf{X}')$. И пусть $f(\mathbf{a}) = \mathbf{a}'\mathbf{V}\mathbf{a} - 2\mathbf{b}'\mathbf{a}$, где $\mathbf{V}$ — симметрическая неотрицательно определённая $n \times n$-матрица, а $\mathbf{b}$ — $n \times 1$-вектор такой, что $\mathbf{b} \in C(\mathbf{V}, \mathbf{X})$. Далее, пусть $\mathbf{R}$ — произвольная матрица такая, что $\mathbf{V} = \mathbf{R}'\mathbf{R}$, пусть $\mathbf{a}_{0}$ — произвольный $n \times 1$-вектор такой, что $\mathbf{X}'\mathbf{a}_{0} = \mathbf{d}$, и пусть $\mathbf{s}$ — произвольный $n \times 1$-вектор такой, что $\mathbf{b} = \mathbf{V}\mathbf{s} + \mathbf{X}\mathbf{t}$ для некоторого $p \times 1$-вектора $\mathbf{t}$. Покажите, что $f(\mathbf{a})$ достигает своего минимального значения (при ограничении $\mathbf{X}'\mathbf{a} = \mathbf{d}$) в точке $\mathbf{a}_{*}$ тогда и только тогда, когда

для некоторого $n \times 1$-вектора $\mathbf{w}$. Сделайте это, например, используя результаты задачи 11 в сочетании с результатом о том, что для любой $n \times k$-матрицы $\mathbf{Z}$, столбцы которой порождают $N(\mathbf{X}')$, $f(\mathbf{a})$ достигает своего минимального значения (при ограничении $\mathbf{X}'\mathbf{a} = \mathbf{d}$) в точке $\mathbf{a}_{*}$ тогда и только тогда, когда

для некоторого $k \times 1$-вектора $\mathbf{w}$.

Пусть $\mathbf{A}$ — симметрическая неотрицательно определённая $n \times n$-матрица, а $\mathbf{B}$ — $n \times n$-матрица. Предположим, что $\mathbf{B} - \mathbf{A}$ симметрична и неотрицательно определена (в этом случае $\mathbf{B}$ также симметрична и неотрицательно определена). Покажите, что $\mathbf{A}^{+} - \mathbf{B}^{+}$ неотрицательно определена тогда и только тогда, когда $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) = \operatorname {rk}\left(\mathbf{B}\right)$. Сделайте это, например, используя результаты задач 1 и 18.15, результат о том, что $\mathbf{W}^{-1} - \mathbf{V}^{-1}$ неотрицательно определена для любых симметрических положительно определённых $m \times m$-матриц $\mathbf{W}$ и $\mathbf{V}$ таких, что $\mathbf{V} - \mathbf{W}$ неотрицательно определена, и результат о том, что псевдообратная матрица Мура — Пенроуза $\mathbf{H}^{+}$ симметрической неотрицательно определённой $k \times k$-матрицы $\mathbf{H}$ равна $\mathbf{T}^{+}(\mathbf{T}^{+})'$, где $\mathbf{T}$ — произвольная матрица полного строчного ранга (с $k$ столбцами) такая, что $\mathbf{H} = \mathbf{T}'\mathbf{T}$.