Подматрицы и разбиение матриц на блоки

Пусть $A_*$ — подматрица размера $r \times s$ матрицы $A$ размера $m \times n$, полученная вычёркиванием строк $i_1, \ldots , i_{m-r}$ и столбцов $j_1, \ldots , j_{n-s}$ (из $A$), а $B_*$ — подматрица $A'$ размера $s \times r$, полученная вычёркиванием строк $j_1, \ldots , j_{n-s}$ и столбцов $i_1, \ldots , i_{m-r}$ (из $A'$). Проверьте, что

Проверьте,

Пусть

— верхняя блочно-треугольная матрица размера $n \times n$, чей блок $A_{ij}$ имеет размеры $n_i \times n_j$ ($j \geq i = 1, \ldots , r$). Покажите, что $A$ верхнетреугольна тогда и только тогда, когда каждый из её диагональных блоков $A_{11}, A_{22}, \ldots , A_{rr}$ верхнетреугольный.

Пусть

— разбитая на блоки матрица размера $m \times n$, чей блок $A_{ij}$ имеет размеры $m_i \times n_j$. Проверьте, что

другими словами, проверьте, что $A'$ можно представить как разбитую на блоки матрицу, состоящую из $c$ строк и $r$ столбцов блоков, блок $ij$ которой есть транспонированный блок $A_{ji}'$ блока $A_{ji}$ матрицы $A$. И, полагая

— разбитая на блоки матрица размера $p \times q$, чей блок $B_{ij}$ имеет размеры $p_i \times q_j$, проверьте также, что если $c = u$ и $n_k = p_k$ ($k = 1, \ldots , c$) [в этом случае все произведения $A_{ik}B_{kj}$ ($i = 1, \ldots , r$; $j = 1, \ldots , v$; $k = 1, \ldots , c$), как и произведение $AB$, существуют], то

где $F_{ij} = \sum_{k=1}^{c} A_{ik}B_{kj} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j} + \cdots + A_{ic}B_{cj}$.