Банк задач по математике

Задача 18.1

Пусть $\mathbf{R}$ — матрица размера $n \times n$ , $\mathbf{S}$ — матрица размера $n \times m$ , $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times m$ , а $\mathbf{U}$ — матрица размера $m \times n$ . Выведите (для частного случая, когда $\mathbf{R}$ и $\mathbf{T}$ невырождены) формулу

\left|\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}\right| = \left|\mathbf{R}\right| \left|\mathbf{T} + \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}\mathbf{T}\right|/\left|\mathbf{T}\right|.

?

Примечание.

?

Сделайте это, дважды применив формулу

\begin{vmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf{W} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T} \end{vmatrix} = \left|\mathbf{T}\right| \left|\mathbf{W} - \mathbf{V}\mathbf{T}^{-1}\mathbf{U}\right|. \tag {*}

(где $\mathbf{V}$ — матрица размера $n \times m$ , а $\mathbf{W}$ — матрица размера $n \times n$ , и где предполагается, что $\mathbf{T}$ невырождена) к разбитой на блоки матрице $\begin{vmatrix} \mathbf{R} & -\mathbf{S}\mathbf{T} \\ \mathbf{T}\mathbf{U} & \mathbf{T} \end{vmatrix}$ — один раз с $\mathbf{W}$ , равным $\mathbf{R}$ , и другой раз с $\mathbf{T}$ , равным $\mathbf{R}$ .

Задача 18.2

Пусть $\mathbf{R}$ — матрица размера $n \times n$ , $\mathbf{S}$ — матрица размера $n \times m$ , $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times m$ , а $\mathbf{U}$ — матрица размера $m \times n$ . Покажите, что если $\mathbf{R}$ невырождена, то

\left|\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}\right| = \left|\mathbf{R}\right| \left|\mathbf{I}_{m} + \mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}\mathbf{T}\right| = \left|\mathbf{R}\right| \left|\mathbf{I}_{m} + \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}\right|.

?

Примечание.

?

Сделайте это, используя формулу

\left|\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}\right| = \left|\mathbf{R}\right| \left|\mathbf{T}\right| \left|\mathbf{T}^{-1} + \mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}\right|, \tag {*}

(где предполагается, что $\mathbf{R}$ и $\mathbf{T}$ невырождены), либо, в качестве альтернативы, формулу $\left|\mathbf{I}_{n} + \mathbf{S}\mathbf{U}\right| = \left|\mathbf{I}_{m} + \mathbf{U}\mathbf{S}\right|$ или формулу $\left|\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}\right| = \left|\mathbf{R}\right| \left|\mathbf{T} + \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}\mathbf{T}\right|/\left|\mathbf{T}\right|$ .

Задача 18.3

Пусть $\mathbf{A}$ — симметрическая неотрицательно определённая матрица размера $n \times n$ . Покажите, что если $\mathbf{I} - \mathbf{A}$ неотрицательно определена и $\left|\mathbf{A}\right| = 1$ , то $\mathbf{A} = \mathbf{I}$ .

?

Задача 18.4

Покажите, что для любой симметрической неотрицательно определённой матрицы $\mathbf{B}$ размера $n \times n$ и любой симметрической матрицы $\mathbf{C}$ размера $n \times n$ , такой что $\mathbf{C} - \mathbf{B}$ неотрицательно определена,

\left|\mathbf{C}\right| \geq \left|\mathbf{C} - \mathbf{B}\right|,

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\mathbf{C}$ вырождена или $\mathbf{B} = \mathbf{0}$ .

?

Задача 18.5

(a)(b)(c)

Пусть $\mathbf{A}$ — симметрическая неотрицательно определённая матрица, разбитая на блоки как

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{U}' & \mathbf{W} \end{pmatrix},

где $\mathbf{T}$ имеет размеры $m \times m$ , а $\mathbf{W}$ — размеры $n \times n$ (и где $\mathbf{U}$ имеет размеры $m \times n$ ). И определим $\mathbf{Q} = \mathbf{W} - \mathbf{U}'\mathbf{T}^{-}\mathbf{U}$ (это дополнение Шура матрицы $\mathbf{T}$ ).

?

(a)

Используя результат о том, что симметричность и неотрицательная определённость $\mathbf{A}$ влекут неотрицательную определённость $\mathbf{Q}$ , и результат упражнения 14.33 (или иным способом), покажите, что

\left|\mathbf{W}\right| \geq \left|\mathbf{U}'\mathbf{T}^{-}\mathbf{U}\right|,

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\mathbf{W}$ вырождена или $\mathbf{Q} = \mathbf{0}$ .

(b)

Предположим, что $n = m$ и что $\mathbf{T}$ невырождена. Покажите, что

\left|\mathbf{W}\right| \left|\mathbf{T}\right| \geq \left|\mathbf{U}\right|^{2},

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\mathbf{W}$ вырождена или $\operatorname {rank}(\mathbf{A}) = m$ .

(c)

Предположим, что $n = m$ и что $\mathbf{A}$ положительно определена. Покажите, что

\left|\mathbf{W}\right| \left|\mathbf{T}\right| > \left|\mathbf{U}\right|^{2}.

Задача 18.6

Покажите, что для любой матрицы $\mathbf{X}$ размера $n \times p$ и любой симметрической положительно определённой матрицы $\mathbf{W}$

\left|\mathbf{X}'\mathbf{W}\mathbf{X}\right| \, \left|\mathbf{X}'\mathbf{W}^{-1}\mathbf{X}\right| \geq \left|\mathbf{X}'\mathbf{X}\right|^{2}. \tag {E.1}

?

Примечание.

?

Начните с того, что покажите, что матрицы $\mathbf{X}'\mathbf{X}(\mathbf{X}'\mathbf{W}\mathbf{X})^{-}\mathbf{X}'\mathbf{X}$ и $\mathbf{X}'\mathbf{W}^{-1}\mathbf{X} - \mathbf{X}'\mathbf{X}(\mathbf{X}'\mathbf{W}\mathbf{X})^{-}\mathbf{X}'\mathbf{X}$ симметрические и неотрицательно определённые.

Задача 18.7

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что для любой кососимметрической матрицы $\mathbf{C}$ размера $n \times n$

\left|\mathbf{I}_{n} + \mathbf{C}\right| \geq 1,

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\mathbf{C} = \mathbf{0}$ .

(b)

Обобщите результат пункта (a), показав, что для любой симметрической положительно определённой матрицы $\mathbf{A}$ размера $n \times n$ и любой кососимметрической матрицы $\mathbf{B}$ размера $n \times n$

\left|\mathbf{A} + \mathbf{B}\right| \geq \left|\mathbf{A}\right|,

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\mathbf{B} = \mathbf{0}$ .

Задача 18.8

(a)(b)

?

(a)

Пусть $\mathbf{R}$ — невырожденная матрица размера $n \times n$ , а $\mathbf{B}$ — матрица ранга один размера $n \times n$ . Покажите, что $\mathbf{R} + \mathbf{B}$ невырождена тогда и только тогда, когда $\operatorname {tr}(\mathbf{R}^{-1}\mathbf{B}) \neq -1$ , и в этом случае

(\mathbf{R} + \mathbf{B})^{-1} = \mathbf{R}^{-1} - [1 + \operatorname {tr}(\mathbf{R}^{-1}\mathbf{B})]^{-1}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{R}^{-1}.

(b)

К чему упрощается результат пункта (a) в частном случае, когда $\mathbf{R} = \mathbf{I}_{n}$ ?

Задача 18.9

(a)(b)

Пусть $\mathbf{R}$ — матрица размера $n \times n$ , $\mathbf{S}$ — матрица размера $n \times m$ , $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times m$ , а $\mathbf{U}$ — матрица размера $m \times n$ . Предположим, что $\mathbf{R}$ невырождена. Покажите

?

(a)

что $\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}$ невырождена тогда и только тогда, когда $\mathbf{I}_{m} + \mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}\mathbf{T}$ невырождена, и в этом случае

(\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U})^{-1} = \mathbf{R}^{-1} - \mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}\mathbf{T}(\mathbf{I}_{m} + \mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}\mathbf{T})^{-1}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-1},

и

(b)

что $\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}$ невырождена тогда и только тогда, когда $\mathbf{I}_{m} + \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}$ невырождена, и в этом случае

(\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U})^{-1} = \mathbf{R}^{-1} - \mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}(\mathbf{I}_{m} + \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S})^{-1}\mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}.

Примечание.

?

Сделайте это, используя результат — применимый, когда $\mathbf{T}$ (а также $\mathbf{R}$ ) невырождена, — о том, что $\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}$ невырождена тогда и только тогда, когда $\mathbf{T}^{-1} + \mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}$ невырождена, или, что равносильно, тогда и только тогда, когда $\mathbf{T} + \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}\mathbf{T}$ невырождена, и в этом случае

\begin{aligned} (\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U})^{-1} & = \mathbf{R}^{-1} - \mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}(\mathbf{T}^{-1} + \mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S})^{-1}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-1} \\ & = \mathbf{R}^{-1} - \mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}\mathbf{T}(\mathbf{T} + \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{S}\mathbf{T})^{-1}\mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-1}. \end{aligned}

Задача 18.10

Пусть $\mathbf{R}$ — матрица размера $n \times q$ , $\mathbf{S}$ — матрица размера $n \times m$ , $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times p$ , а $\mathbf{U}$ — матрица размера $p \times q$ . Расширьте результаты упражнения 9, показав, что если $\mathcal{R}(\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{R})$ и $C(\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}) \subset C(\mathbf{R})$ , то матрица

\mathbf{R}^{-} - \mathbf{R}^{-}\mathbf{S}\mathbf{T}(\mathbf{I}_{p} + \mathbf{U}\mathbf{R}^{-}\mathbf{S}\mathbf{T})^{-}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-}

и матрица

\mathbf{R}^{-} - \mathbf{R}^{-}\mathbf{S}(\mathbf{I}_{m} + \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-}\mathbf{S})^{-}\mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-}

обе являются обобщёнными обратными для матрицы $\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}$ .

?

Задача 18.11

(a)(b)(c)

Пусть $\mathbf{R}$ — матрица размера $n \times q$ , $\mathbf{S}$ — матрица размера $n \times m$ , $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times p$ , а $\mathbf{U}$ — матрица размера $p \times q$ .

?

(a)

Пусть $\mathbf{G}$ — обобщённая обратная разбитой на блоки матрицы $\begin{pmatrix} \mathbf{R} & -\mathbf{S}\mathbf{T} \\ \mathbf{T}\mathbf{U} & \mathbf{T} \end{pmatrix}$ , и разобьём $\mathbf{G}$ как $\mathbf{G} = \begin{pmatrix} \mathbf{G}_{11} & \mathbf{G}_{12} \\ \mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22} \end{pmatrix}$ (где $\mathbf{G}_{11}$ имеет размеры $q \times n$ ). Покажите, что $\mathbf{G}_{11}$ является обобщённой обратной для матрицы $\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}$ . Сделайте это, используя результат о том, что для любой разбитой на блоки матрицы $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \end{pmatrix}$ , такой что $C(\mathbf{A}_{21}) \subset C(\mathbf{A}_{22})$ и $\mathcal{R}(\mathbf{A}_{12}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A}_{22})$ , и для любой обобщённой обратной $\begin{pmatrix} \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12} \\ \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22} \end{pmatrix}$ матрицы $\mathbf{A}$ (где $\mathbf{C}_{11}$ имеет те же размеры, что и $\mathbf{A}_{11}'$ ), $\mathbf{C}_{11}$ является обобщённой обратной для матрицы $\mathbf{A}_{11} - \mathbf{A}_{12}\mathbf{A}_{22}^{-}\mathbf{A}_{21}$ .

(b)

Пусть $\mathbf{E}_{\mathbf{R}} = \mathbf{I} - \mathbf{R}\mathbf{R}^{-}$ , $\mathbf{F}_{\mathbf{R}} = \mathbf{I} - \mathbf{R}^{-}\mathbf{R}$ , $\mathbf{X} = \mathbf{E}_{\mathbf{R}}\mathbf{S}\mathbf{T}$ , $\mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{F}_{\mathbf{R}}$ , $\mathbf{E}_{\mathbf{Y}} = \mathbf{I} - \mathbf{Y}\mathbf{Y}^{-}$ , $\mathbf{F}_{\mathbf{X}} = \mathbf{I} - \mathbf{X}^{-}\mathbf{X}$ , $\mathbf{Q} = \mathbf{T} + \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-}\mathbf{S}\mathbf{T}$ , $\mathbf{Z} = \mathbf{E}_{\mathbf{Y}}\mathbf{Q}\mathbf{F}_{\mathbf{X}}$ и $\mathbf{Q}^{*} = \mathbf{F}_{\mathbf{X}}\mathbf{Z}^{-}\mathbf{E}_{\mathbf{Y}}$ . Используя результат пункта (a) упражнения 10.10, покажите, что матрица

\begin{aligned} & \mathbf{R}^{-} - \mathbf{R}^{-}\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{Q}^{*}\mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-} - \mathbf{R}^{-}\mathbf{S}\mathbf{T}(\mathbf{I} - \mathbf{Q}^{*}\mathbf{Q})\mathbf{X}^{-}\mathbf{E}_{\mathbf{R}} \\ & \qquad - \mathbf{F}_{\mathbf{R}}\mathbf{Y}^{-}(\mathbf{I} - \mathbf{Q}\mathbf{Q}^{*})\mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-} + \mathbf{F}_{\mathbf{R}}\mathbf{Y}^{-}(\mathbf{I} - \mathbf{Q}\mathbf{Q}^{*})\mathbf{Q}\mathbf{X}^{-}\mathbf{E}_{\mathbf{R}} \end{aligned} \tag {E.2}

является обобщённой обратной для матрицы $\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}$ .

(c)

Покажите, что если $\mathcal{R}(\mathbf{T}\mathbf{U}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{R})$ и $C(\mathbf{S}\mathbf{T}) \subset C(\mathbf{R})$ , то формулу

\mathbf{R}^{-} - \mathbf{R}^{-}\mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{Q}^{-}\mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-} \tag {*}

для обобщённой обратной матрицы $\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}$ можно получить как частный случай формулы (E.2).

Задача 18.12

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \ldots$ — последовательность матриц размера $m \times n$ , и пусть $\mathbf{A}$ — другая матрица размера $m \times n$ .

?

(a)

Используя результат упражнения 6.1 (то есть неравенство треугольника), покажите, что если $\left\| \mathbf{A}_{k} - \mathbf{A}\right\| \to 0$ , то $\left\| \mathbf{A}_{k}\right\| \to \left\| \mathbf{A}\right\|$ .

(b)

Покажите, что если $\mathbf{A}_{k} \to \mathbf{A}$ , то $\left\| \mathbf{A}_{k}\right\| \to \left\| \mathbf{A}\right\|$ (где нормы — обычные нормы).

Задача 18.13

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $n \times n$ . Используя результаты упражнения 6.1 и пункта (b) упражнения 12, покажите, что если $\left\| \mathbf{A}\right\| < 1$ , то (для $k = 0, 1, 2, \ldots$ )

\left\| (\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} - (\mathbf{I} + \mathbf{A} + \mathbf{A}^{2} + \cdots + \mathbf{A}^{k})\right\| \leq \left\| \mathbf{A}\right\| ^{k+1}/(1 - \left\| \mathbf{A}\right\| )

(где нормы — обычные нормы). (Замечание. Если $\left\| \mathbf{A}\right\| < 1$ , то $\mathbf{I} - \mathbf{A}$ невырождена.)

?

Задача 18.14

Пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что $\mathbf{B}$ невырождена, и определим $\mathbf{F} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}$ . Используя результат упражнения 13, покажите, что если $\left\| \mathbf{F}\right\| < 1$ , то (для $k = 0, 1, 2, \ldots$ )

\left\| (\mathbf{B} - \mathbf{A})^{-1} - (\mathbf{B}^{-1} + \mathbf{F}\mathbf{B}^{-1} + \mathbf{F}^{2}\mathbf{B}^{-1} + \cdots + \mathbf{F}^{k}\mathbf{B}^{-1})\right\| \leq \left\| \mathbf{B}^{-1}\right\| \left\| \mathbf{F}\right\| ^{k+1}/(1 - \left\| \mathbf{F}\right\| )

(где нормы — обычные нормы). (Замечание. Если $\left\| \mathbf{F}\right\| < 1$ , то $\mathbf{B} - \mathbf{A}$ невырождена.)

?

Задача 18.15

Пусть $\mathbf{A}$ — симметрическая неотрицательно определённая матрица размера $n \times n$ , а $\mathbf{B}$ — матрица размера $n \times n$ . Покажите, что если $\mathbf{B} - \mathbf{A}$ неотрицательно определена (в этом случае $\mathbf{B}$ также неотрицательно определена), то $\mathcal{R}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{B})$ и $C(\mathbf{A}) \subset C(\mathbf{B})$ .

?

Задача 18.16

Пусть $\mathbf{A}$ — симметрическая идемпотентная матрица размера $n \times n$ , а $\mathbf{B}$ — симметрическая неотрицательно определённая матрица размера $n \times n$ . Покажите, что если $\mathbf{I} - \mathbf{A} - \mathbf{B}$ неотрицательно определена, то $\mathbf{B}\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0}$ .

?

Примечание.

?

Покажите, что $\mathbf{A}'(\mathbf{I} - \mathbf{A} - \mathbf{B})\mathbf{A} = -\mathbf{A}'\mathbf{B}\mathbf{A}$ , а затем рассмотрите следствия этого равенства.

Задача 18.17

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ — симметрические матрицы размера $n \times n$ , и определим $\mathbf{A} = \mathbf{A}_{1} + \cdots + \mathbf{A}_{k}$ . Предположим, что $\mathbf{A}$ идемпотентна. Предположим далее, что $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k-1}$ идемпотентны и что $\mathbf{A}_{k}$ неотрицательно определена. Используя результат упражнения 16 (или иным способом), покажите, что $\mathbf{A}_{i}\mathbf{A}_{j} = \mathbf{0}$ (для $j \neq i = 1, \ldots , k$ ), что $\mathbf{A}_{k}$ идемпотентна и что $\operatorname {rank}(\mathbf{A}_{k}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}) - \sum_{i=1}^{k-1} \operatorname {rank}(\mathbf{A}_{i})$ .

?

Задача 18.18

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ — симметрические матрицы размера $n \times n$ , и определим $\mathbf{A} = \mathbf{A}_{1} + \cdots + \mathbf{A}_{k}$ . Предположим, что $\mathbf{A}$ идемпотентна. Покажите, что если $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ неотрицательно определены и если $\operatorname {tr}(\mathbf{A}) \leq \sum_{i=1}^{k} \operatorname {tr}(\mathbf{A}_{i})$ , то $\mathbf{A}_{i}\mathbf{A}_{j} = \mathbf{0}$ (для $j \neq i = 1, \ldots , k$ ) и $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ идемпотентны.

?

Примечание.

?

Покажите, что $\sum_{i, j \neq i} \operatorname {tr}(\mathbf{A}_{i}\mathbf{A}_{j}) \leq 0$ , а затем используйте результат о том, что для любых двух симметрических неотрицательно определённых матриц $\mathbf{B}$ и $\mathbf{C}$ (одного порядка) $\operatorname {tr}(\mathbf{B}\mathbf{C}) \geq 0$ , причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\mathbf{B}\mathbf{C} = \mathbf{0}$ .

Задача 18.19

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ — симметрические матрицы размера $n \times n$ , такие что $\mathbf{A}_{1} + \cdots + \mathbf{A}_{k} = \mathbf{I}$ . Покажите, что если $\operatorname {rank}(\mathbf{A}_{1}) + \cdots + \operatorname {rank}(\mathbf{A}_{k}) = n$ , то для любых (строго) положительных скаляров $c_{1}, \ldots , c_{k}$ матрица $c_{1}\mathbf{A}_{1} + \cdots + c_{k}\mathbf{A}_{k}$ положительно определена.

?

Задача 18.20

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ — симметрические идемпотентные матрицы размера $n \times n$ , такие что $\mathbf{A}_{i}\mathbf{A}_{j} = \mathbf{0}$ при $j \neq i = 1, \ldots , k$ . Покажите, что для любого (строго) положительного скаляра $c_{0}$ и любых неотрицательных скаляров $c_{1}, \ldots , c_{k}$ матрица $c_{0}\mathbf{I} + \sum_{i=1}^{k} c_{i}\mathbf{A}_{i}$ положительно определена (а значит, невырождена), и

\left(c_{0}\mathbf{I} + \sum _{i=1}^{k} c_{i}\mathbf{A}_{i}\right)^{-1} = d_{0}\mathbf{I} + \sum _{i=1}^{k} d_{i}\mathbf{A}_{i},

где $d_{0} = 1/c_{0}$ и (для $i = 1, \ldots , k$ ) $d_{i} = -c_{i}/[c_{0}(c_{0}+c_{i})]$ .

?

Задача 18.21

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ — симметрические идемпотентные матрицы размера $n \times n$ , такие что (для $j \neq i = 1, \ldots , k$ ) $\mathbf{A}_{i}\mathbf{A}_{j} = \mathbf{0}$ , и пусть $\mathbf{A}$ — симметрическая идемпотентная матрица размера $n \times n$ , такая что (для $i = 1, \ldots , k$ ) $C(\mathbf{A}_{i}) \subset C(\mathbf{A})$ . Покажите, что если $\operatorname {rank}(\mathbf{A}_{1}) + \cdots + \operatorname {rank}(\mathbf{A}_{k}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A})$ , то $\mathbf{A}_{1} + \cdots + \mathbf{A}_{k} = \mathbf{A}$ .

?

Задача 18.22

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times n$ , а $\mathbf{B}$ — матрица размера $n \times m$ . Если $\mathbf{B}$ является обобщённой обратной для $\mathbf{A}$ , то $\operatorname {rank}(\mathbf{I} - \mathbf{B}\mathbf{A}) = n - \operatorname {rank}(\mathbf{A})$ . Покажите, что обратное также верно; то есть покажите, что если $\operatorname {rank}(\mathbf{I} - \mathbf{B}\mathbf{A}) = n - \operatorname {rank}(\mathbf{A})$ , то $\mathbf{B}$ является обобщённой обратной для $\mathbf{A}$ .

?

Задача 18.23

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица проектирования ( $n \times n$ ) на подпространство $\mathcal{U}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ вдоль подпространства $\mathcal{V}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ (где $\mathcal{U} \oplus \mathcal{V} = \mathbb {R}^{n \times 1}$ ), а $\mathbf{B}$ — матрица проектирования ( $n \times n$ ) на подпространство $\mathcal{W}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ вдоль подпространства $\mathcal{X}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ (где $\mathcal{W} \oplus \mathcal{X} = \mathbb {R}^{n \times 1}$ ).

?

(a)

Покажите, что $\mathbf{A} + \mathbf{B}$ является матрицей проектирования на некоторое подпространство $\mathcal{C}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ вдоль некоторого подпространства $\mathcal{M}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ (где $\mathcal{C} \oplus \mathcal{M} = \mathbb {R}^{n \times 1}$ ) тогда и только тогда, когда $\mathbf{B}\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0}$ , и в этом случае $\mathcal{C} = \mathcal{U} \oplus \mathcal{W}$ и $\mathcal{M} = \mathcal{V} \cap \mathcal{X}$ .

(b)

Покажите, что $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ является матрицей проектирования на некоторое подпространство $\mathcal{C}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ вдоль некоторого подпространства $\mathcal{M}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ (где $\mathcal{C} \oplus \mathcal{M} = \mathbb {R}^{n \times 1}$ ) тогда и только тогда, когда $\mathbf{B}\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}$ , и в этом случае $\mathcal{C} = \mathcal{U} \cap \mathcal{X}$ и $\mathcal{M} = \mathcal{V} \oplus \mathcal{W}$ .

Примечание.

?

для пункта (b). Заметьте (в свете результата о том, что матрица является матрицей проектирования на одно подпространство вдоль другого тогда и только тогда, когда она идемпотентна, и результата о том, что матрица, скажем $\mathbf{K}$ , идемпотентна тогда и только тогда, когда $\mathbf{I} - \mathbf{K}$ идемпотентна), что $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ является матрицей проектирования на некоторое подпространство $\mathcal{C}$ вдоль некоторого подпространства $\mathcal{M}$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{I} - (\mathbf{A} - \mathbf{B}) = (\mathbf{I} - \mathbf{A}) + \mathbf{B}$ является матрицей проектирования на некоторое подпространство $\mathcal{C}^{*}$ вдоль некоторого подпространства $\mathcal{M}^{*}$ , а затем используйте пункт (a) и результат о том, что матрица проектирования на подпространство $\mathcal{M}^{*}$ вдоль подпространства $\mathcal{C}^{*}$ (где $\mathcal{M}^{*} \oplus \mathcal{C}^{*} = \mathbb {R}^{n \times 1}$ ) равна $\mathbf{I} - \mathbf{H}$ , где $\mathbf{H}$ — матрица проектирования на $\mathcal{C}^{*}$ вдоль $\mathcal{M}^{*}$ .

Задача 18.24

(a)(b)

?

(a)

Пусть $\mathbf{B}$ — симметрическая матрица размера $n \times n$ , а $\mathbf{W}$ — симметрическая неотрицательно определённая матрица размера $n \times n$ . Покажите, что

\mathbf{W}\mathbf{B}\mathbf{W}\mathbf{B}\mathbf{W} = \mathbf{W}\mathbf{B}\mathbf{W} \Leftrightarrow (\mathbf{B}\mathbf{W})^{3} = (\mathbf{B}\mathbf{W})^{2} \Leftrightarrow \operatorname {tr}[(\mathbf{B}\mathbf{W})^{2}] = \operatorname {tr}[(\mathbf{B}\mathbf{W})^{3}] = \operatorname {tr}[(\mathbf{B}\mathbf{W})^{4}].

(b)

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ — матрицы размера $n \times n$ , пусть $\mathbf{V}$ — симметрическая неотрицательно определённая матрица размера $n \times n$ , и определим $\mathbf{A} = \mathbf{A}_{1} + \cdots + \mathbf{A}_{k}$ . Если $\mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V} = \mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V}$ для всех $i$ и если $\mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V}\mathbf{A}_{j}\mathbf{V} = \mathbf{0}$ для всех $i$ и $j \neq i$ , то $\mathbf{V}\mathbf{A}\mathbf{V}\mathbf{A}\mathbf{V} = \mathbf{V}\mathbf{A}\mathbf{V}$ и $\operatorname {rank}(\mathbf{V}\mathbf{A}_{1}\mathbf{V}) + \cdots + \operatorname {rank}(\mathbf{V}\mathbf{A}_{k}\mathbf{V}) = \operatorname {rank}(\mathbf{V}\mathbf{A}\mathbf{V})$ . Обратно, если $\mathbf{V}\mathbf{A}\mathbf{V}\mathbf{A}\mathbf{V} = \mathbf{V}\mathbf{A}\mathbf{V}$ , то каждое из следующих трёх условий влечёт два других: (1) $\mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V}\mathbf{A}_{j}\mathbf{V} = \mathbf{0}$ (для $j \neq i = 1, \ldots , k$ ) и $\operatorname {rank}(\mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V}) = \operatorname {rank}(\mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V})$ (для $i = 1, \ldots , k$ ); (2) $\mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V} = \mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V}$ (для $i = 1, \ldots , k$ ); (3) $\operatorname {rank}(\mathbf{V}\mathbf{A}_{1}\mathbf{V}) + \cdots + \operatorname {rank}(\mathbf{V}\mathbf{A}_{k}\mathbf{V}) = \operatorname {rank}(\mathbf{V}\mathbf{A}\mathbf{V})$ . Укажите, как в частном случае, когда $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ симметрические, условия $\mathbf{V}\mathbf{A}\mathbf{V}\mathbf{A}\mathbf{V} = \mathbf{V}\mathbf{A}\mathbf{V}$ и $\mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V} = \mathbf{V}\mathbf{A}_{i}\mathbf{V}$ можно переформулировать, применив результаты пункта (a) (данного упражнения).

Задача 18.25

(a)(b)

Пусть $\mathbf{R}$ — матрица размера $n \times q$ , $\mathbf{S}$ — матрица размера $n \times m$ , $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times p$ , а $\mathbf{U}$ — матрица размера $p \times q$ .

?

(a)

Покажите, что

\operatorname {rank}(\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}) = \operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{R} & -\mathbf{S}\mathbf{T} \\ \mathbf{T}\mathbf{U} & \mathbf{T} \end{pmatrix} - \operatorname {rank}(\mathbf{T}). \tag {E.3}

(b)

Пусть $\mathbf{E}_{\mathbf{R}} = \mathbf{I} - \mathbf{R}\mathbf{R}^{-}$ , $\mathbf{F}_{\mathbf{R}} = \mathbf{I} - \mathbf{R}^{-}\mathbf{R}$ , $\mathbf{X} = \mathbf{E}_{\mathbf{R}}\mathbf{S}\mathbf{T}$ , $\mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{F}_{\mathbf{R}}$ , $\mathbf{E}_{\mathbf{Y}} = \mathbf{I} - \mathbf{Y}\mathbf{Y}^{-}$ , $\mathbf{F}_{\mathbf{X}} = \mathbf{I} - \mathbf{X}^{-}\mathbf{X}$ , $\mathbf{Q} = \mathbf{T} + \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-}\mathbf{S}\mathbf{T}$ и $\mathbf{Z} = \mathbf{E}_{\mathbf{Y}}\mathbf{Q}\mathbf{F}_{\mathbf{X}}$ . Используя результат пункта (b) упражнения 10.10, покажите, что

\operatorname {rank}(\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}) = \operatorname {rank}(\mathbf{R}) + \operatorname {rank}(\mathbf{X}) + \operatorname {rank}(\mathbf{Y}) + \operatorname {rank}(\mathbf{Z}) - \operatorname {rank}(\mathbf{T}).

Задача 18.26

Покажите, что для любых матриц $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ размера $m \times n$

\operatorname {rank}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) \geq \left|\operatorname {rank}(\mathbf{A}) - \operatorname {rank}(\mathbf{B})\right|.

?

Задача 18.27

Покажите, что для любых симметрических неотрицательно определённых матриц $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ размера $n \times n$

C(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = C(\mathbf{A}, \mathbf{B}), \qquad \mathcal{R}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \mathcal{R}\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix},

\operatorname {rank}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix}.

?

Задача 18.28

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — матрицы размера $m \times n$ .

?

(a)

Покажите, что (1) $C(\mathbf{A}) \subset C(\mathbf{A} + \mathbf{B})$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A} + \mathbf{B})$ , и (2) $\mathcal{R}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A} + \mathbf{B})$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{A} + \mathbf{B})$ .

(b)

Покажите, что (1), если $\mathcal{R}(\mathbf{A})$ и $\mathcal{R}(\mathbf{B})$ существенно не пересекаются, то $C(\mathbf{A}) \subset C(\mathbf{A} + \mathbf{B})$ , и (2), если $C(\mathbf{A})$ и $C(\mathbf{B})$ существенно не пересекаются, то $\mathcal{R}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A} + \mathbf{B})$ .

Задача 18.29

Пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — матрицы размера $m \times n$ . Покажите, что каждое из следующих пяти условий необходимо и достаточно для ранго-аддитивности [то есть для $\operatorname {rank}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}) + \operatorname {rank}(\mathbf{B})$ ]:

?

(a)

$\operatorname {rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{A}) + \operatorname {rank}(\mathbf{B})$ ;

(b)

$\operatorname {rank}(\mathbf{A}) = \operatorname {rank}[\mathbf{A}(\mathbf{I} - \mathbf{B}^{-}\mathbf{B})] = \operatorname {rank}[(\mathbf{I} - \mathbf{B}\mathbf{B}^{-})\mathbf{A}]$ ;

(c)

$\operatorname {rank}(\mathbf{B}) = \operatorname {rank}[\mathbf{B}(\mathbf{I} - \mathbf{A}^{-}\mathbf{A})] = \operatorname {rank}[(\mathbf{I} - \mathbf{A}\mathbf{A}^{-})\mathbf{B}]$ ;

(d)

$\operatorname {rank}(\mathbf{A}) = \operatorname {rank}[\mathbf{A}(\mathbf{I} - \mathbf{B}^{-}\mathbf{B})]$ и $\operatorname {rank}(\mathbf{B}) = \operatorname {rank}[(\mathbf{I} - \mathbf{A}\mathbf{A}^{-})\mathbf{B}]$ ;

(e)

$\operatorname {rank}(\mathbf{A}) = \operatorname {rank}[(\mathbf{I} - \mathbf{B}\mathbf{B}^{-})\mathbf{A}]$ и $\operatorname {rank}(\mathbf{B}) = \operatorname {rank}[\mathbf{B}(\mathbf{I} - \mathbf{A}^{-}\mathbf{A})]$ .

Задача 18.30

Пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — матрицы размера $m \times n$ . И пусть

\mathbf{H} = \left[\mathbf{I} - \begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix}^{-}\right] \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -\mathbf{B} \end{pmatrix} [\mathbf{I} - (\mathbf{A}, \mathbf{B})^{-}(\mathbf{A}, \mathbf{B})].

?

(a)

Покажите, что

\begin{aligned} \operatorname {rank}(\mathbf{A} - \mathbf{B}) & = \operatorname {rank}(\mathbf{A}) - \operatorname {rank}(\mathbf{B}) + [\operatorname {rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) - \operatorname {rank}(\mathbf{A})] \\ & \qquad + \left[\operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix} - \operatorname {rank}(\mathbf{A})\right] + \operatorname {rank}(\mathbf{H}). \end{aligned}

(b)

Покажите, что $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ ранго-вычитаемы [в том смысле, что $\operatorname {rank}(\mathbf{A} - \mathbf{B}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}) - \operatorname {rank}(\mathbf{B})$ ] тогда и только тогда, когда $\operatorname {rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{A})$ и $\mathbf{H} = \mathbf{0}$ .

(c)

Покажите, что если $\operatorname {rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{A})$ , то (1) $(\mathbf{A}^{-}, \mathbf{0})$ и $\begin{pmatrix} \mathbf{A}^{-} \\ \mathbf{0} \end{pmatrix}$ являются обобщёнными обратными для $\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix}$ и $(\mathbf{A}, \mathbf{B})$ соответственно, и (2) для $\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix}^{-} = (\mathbf{A}^{-}, \mathbf{0})$ и $(\mathbf{A}, \mathbf{B})^{-} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}^{-} \\ \mathbf{0} \end{pmatrix}$ , $\mathbf{H} = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{B}\mathbf{A}^{-}\mathbf{B} - \mathbf{B} \end{pmatrix}$ .

(d)

Покажите, что каждое из следующих трёх условий необходимо и достаточно для ранго-вычитаемости [то есть для $\operatorname {rank}(\mathbf{A} - \mathbf{B}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}) - \operatorname {rank}(\mathbf{B})$ ]:

$\operatorname {rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{A})$ и $\mathbf{B}\mathbf{A}^{-}\mathbf{B} = \mathbf{B}$ ;
$C(\mathbf{B}) \subset C(\mathbf{A})$ , $\mathcal{R}(\mathbf{B}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A})$ и $\mathbf{B}\mathbf{A}^{-}\mathbf{B} = \mathbf{B}$ ;
$\mathbf{A}\mathbf{A}^{-}\mathbf{B} = \mathbf{B}\mathbf{A}^{-}\mathbf{A} = \mathbf{B}\mathbf{A}^{-}\mathbf{B} = \mathbf{B}$ .

(e)

Используя результат упражнения 29 (или иным способом), покажите, что $\operatorname {rank}(\mathbf{A} - \mathbf{B}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}) - \operatorname {rank}(\mathbf{B})$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {rank}(\mathbf{A} - \mathbf{B}) = \operatorname {rank}[\mathbf{A}(\mathbf{I} - \mathbf{B}^{-}\mathbf{B})] = \operatorname {rank}[(\mathbf{I} - \mathbf{B}\mathbf{B}^{-})\mathbf{A}]$ .

Примечание.

?

Сделайте это, применив (с $-\mathbf{B}$ вместо $\mathbf{B}$ ) формулу

\operatorname {rank}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) + \operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix} - \operatorname {rank}(\mathbf{A}) - \operatorname {rank}(\mathbf{B}) + \operatorname {rank}(\mathbf{K}), \tag {*}

где

\mathbf{K} = \left[\mathbf{I} - \begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix}^{-}\right] \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{B} \end{pmatrix} [\mathbf{I} - (\mathbf{A}, \mathbf{B})^{-}(\mathbf{A}, \mathbf{B})].

Задача 18.31

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ — матрицы размера $m \times n$ . Используя терминологию упражнения 17.6, применив пункт (a) этого упражнения, покажите, что если $\mathcal{R}(\mathbf{A}_{1}), \ldots , \mathcal{R}(\mathbf{A}_{k})$ независимы и $C(\mathbf{A}_{1}), \ldots , C(\mathbf{A}_{k})$ независимы, то $\operatorname {rank}(\mathbf{A}_{1} + \cdots + \mathbf{A}_{k}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}_{1}) + \cdots + \operatorname {rank}(\mathbf{A}_{k})$ .

?

Задача 18.32

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times p$ , $\mathbf{U}$ — матрица размера $m \times q$ , $\mathbf{V}$ — матрица размера $n \times p$ , а $\mathbf{W}$ — матрица размера $n \times q$ , и определим $\mathbf{Q} = \mathbf{W} - \mathbf{V}\mathbf{T}^{-}\mathbf{U}$ . Далее, пусть $\mathbf{E}_{\mathbf{T}} = \mathbf{I} - \mathbf{T}\mathbf{T}^{-}$ , $\mathbf{F}_{\mathbf{T}} = \mathbf{I} - \mathbf{T}^{-}\mathbf{T}$ , $\mathbf{X} = \mathbf{E}_{\mathbf{T}}\mathbf{U}$ и $\mathbf{Y} = \mathbf{V}\mathbf{F}_{\mathbf{T}}$ .

?

(a)

Покажите, что

\operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{T}) + \operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{X} \\ \mathbf{Y} & \mathbf{Q} \end{pmatrix}. \tag {E.4}

(b)

Покажите, что

\operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{T}) + \operatorname {rank}\begin{pmatrix} -\mathbf{V}\mathbf{T}^{-}\mathbf{U} & \mathbf{Y} \\ \mathbf{X} & \mathbf{0} \end{pmatrix}.

(c)

Покажите, что

\operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{T}) + \operatorname {rank}(\mathbf{X}) + \operatorname {rank}(\mathbf{Y}) + \operatorname {rank}(\mathbf{E}_{\mathbf{Y}}\mathbf{V}\mathbf{T}^{-}\mathbf{U}\mathbf{F}_{\mathbf{X}}),

где $\mathbf{E}_{\mathbf{Y}} = \mathbf{I} - \mathbf{Y}\mathbf{Y}^{-}$ и $\mathbf{F}_{\mathbf{X}} = \mathbf{I} - \mathbf{X}^{-}\mathbf{X}$ .

(d)

Покажите, что

\begin{aligned} \operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W} \end{pmatrix} & = \operatorname {rank}(\mathbf{T}) + \operatorname {rank}(\mathbf{Q}) + \operatorname {rank}(\mathbf{A}) + \operatorname {rank}(\mathbf{B}) \\ & \qquad + \operatorname {rank}[(\mathbf{I} - \mathbf{A}\mathbf{A}^{-})\mathbf{X}\mathbf{Q}^{-}\mathbf{Y}(\mathbf{I} - \mathbf{B}^{-}\mathbf{B})], \end{aligned}

где $\mathbf{A} = \mathbf{X}(\mathbf{I} - \mathbf{Q}^{-}\mathbf{Q})$ и $\mathbf{B} = (\mathbf{I} - \mathbf{Q}\mathbf{Q}^{-})\mathbf{Y}$ .

Примечание.

?

для пункта (b). Заметьте, что (поскольку ранг матрицы не меняется при перестановке строк или столбцов) $\operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{0} \end{pmatrix}$ , и используйте пункт (a).

для пункта (c). Используйте пункт (b) в сочетании с результатом о том, что для любой матрицы $\mathbf{A}$ размера $r \times s$ , матрицы $\mathbf{B}$ размера $r \times v$ и матрицы $\mathbf{C}$ размера $u \times s$

\operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{0} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{B}) + \operatorname {rank}(\mathbf{C}) + \operatorname {rank}[(\mathbf{I} - \mathbf{B}\mathbf{B}^{-})\mathbf{A}(\mathbf{I} - \mathbf{C}^{-}\mathbf{C})]. \tag {*}

для пункта (d). Используйте пункт (c) в сочетании с пунктом (a).

Задача 18.33

Пусть $\mathbf{R}$ — матрица размера $n \times q$ , $\mathbf{S}$ — матрица размера $n \times m$ , $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times p$ , а $\mathbf{U}$ — матрица размера $p \times q$ , и определим $\mathbf{Q} = \mathbf{T} + \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{R}^{-}\mathbf{S}\mathbf{T}$ . Далее, пусть $\mathbf{E}_{\mathbf{R}} = \mathbf{I} - \mathbf{R}\mathbf{R}^{-}$ , $\mathbf{F}_{\mathbf{R}} = \mathbf{I} - \mathbf{R}^{-}\mathbf{R}$ , $\mathbf{X} = \mathbf{E}_{\mathbf{R}}\mathbf{S}\mathbf{T}$ , $\mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{U}\mathbf{F}_{\mathbf{R}}$ , $\mathbf{A} = \mathbf{X}(\mathbf{I} - \mathbf{Q}^{-}\mathbf{Q})$ , $\mathbf{B} = (\mathbf{I} - \mathbf{Q}\mathbf{Q}^{-})\mathbf{Y}$ . Используя результат пункта (d) упражнения 32 в сочетании с результатом пункта (a) упражнения 25, покажите, что

\begin{aligned} \operatorname {rank}(\mathbf{R} + \mathbf{S}\mathbf{T}\mathbf{U}) & = \operatorname {rank}(\mathbf{R}) + \operatorname {rank}(\mathbf{Q}) \\ & \qquad - \operatorname {rank}(\mathbf{T}) + \operatorname {rank}(\mathbf{A}) + \operatorname {rank}(\mathbf{B}) \\ & \qquad + \operatorname {rank}[(\mathbf{I} - \mathbf{A}\mathbf{A}^{-})\mathbf{X}\mathbf{Q}^{-}\mathbf{Y}(\mathbf{I} - \mathbf{B}^{-}\mathbf{B})]. \end{aligned}

?

Суммы (и разности) матриц