Банк задач по математике

Задача 17.1

(a)(b)

Пусть $\mathcal{U}$ и $\mathcal{V}$ — подпространства $\mathbb {R}^{m \times n}$ .

?

(a)

Покажите, что $\mathcal{U} \cup \mathcal{V} \subset \mathcal{U} + \mathcal{V}$ .

(b)

Покажите, что $\mathcal{U} + \mathcal{V}$ является наименьшим подпространством (в $\mathbb {R}^{m \times n}$ ), содержащим $\mathcal{U} \cup \mathcal{V}$ , или, что равносильно [в свете пункта (a)], покажите, что для любого подпространства $\mathcal{W}$ , такого что $\mathcal{U} \cup \mathcal{V} \subset \mathcal{W}$ , выполняется $\mathcal{U} + \mathcal{V} \subset \mathcal{W}$ .

Задача 17.2

(a)(b)(c)

Пусть $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ и $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ . Найдите

?

(a)

базис для $C(\mathbf{A}) + C(\mathbf{B})$ ,

(b)

базис для $C(\mathbf{A}) \cap C(\mathbf{B})$ и

(c)

вектор из $C(\mathbf{A}) + C(\mathbf{B})$ , не принадлежащий $C(\mathbf{A}) \cup C(\mathbf{B})$ .

Задача 17.3

(a)(b)

Пусть $\mathcal{U}$ , $\mathcal{W}$ и $\mathcal{X}$ — подпространства линейного пространства матриц $\mathcal{V}$ , и пусть $\mathbf{Y}$ — произвольная матрица из $\mathcal{V}$ .

?

(a)

Покажите (1), что если $\mathbf{Y} \perp \mathcal{W}$ и $\mathbf{Y} \perp \mathcal{X}$ , то $\mathbf{Y} \perp (\mathcal{W} + \mathcal{X})$ , и (2), что если $\mathcal{U} \perp \mathcal{W}$ и $\mathcal{U} \perp \mathcal{X}$ , то $\mathcal{U} \perp (\mathcal{W} + \mathcal{X})$ .

(b)

Покажите (1), что $(\mathcal{U} + \mathcal{W})^{\perp } = \mathcal{U}^{\perp } \cap \mathcal{W}^{\perp }$ , и (2), что $(\mathcal{U} \cap \mathcal{W})^{\perp } = \mathcal{U}^{\perp } + \mathcal{W}^{\perp }$ .

Задача 17.4

(a)(b)(c)

Пусть $\mathcal{U}$ , $\mathcal{W}$ и $\mathcal{X}$ — подпространства линейного пространства матриц $\mathcal{V}$ .

?

(a)

Покажите, что $(\mathcal{U} \cap \mathcal{W}) + (\mathcal{U} \cap \mathcal{X}) \subset \mathcal{U} \cap (\mathcal{W} + \mathcal{X})$ .

(b)

Покажите (с помощью примера), что из $\mathcal{U} \cap \mathcal{W} = \left\{ \mathbf{0}\right\}$ и $\mathcal{U} \cap \mathcal{X} = \left\{ \mathbf{0}\right\}$ не обязательно следует, что $\mathcal{U} \cap (\mathcal{W} + \mathcal{X}) = \left\{ \mathbf{0}\right\}$ .

(c)

Покажите, что если $\mathcal{W} \subset \mathcal{U}$ , то (1) $\mathcal{U} + \mathcal{W} = \mathcal{U}$ и (2) $\mathcal{U} \cap (\mathcal{W} + \mathcal{X}) = \mathcal{W} + (\mathcal{U} \cap \mathcal{X})$ .

Задача 17.5

Пусть $\mathcal{U}_{1}, \mathcal{U}_{2}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ — подпространства $\mathbb {R}^{m \times n}$ . Покажите, что если для $j = 1, 2, \ldots , k$ подпространство $\mathcal{U}_{j}$ порождено (конечным непустым) множеством матриц ( $m \times n$ ) $\mathbf{U}_{1}^{(j)}, \ldots , \mathbf{U}_{r_{j}}^{(j)}$ , то

\mathcal{U}_{1} + \mathcal{U}_{2} + \cdots + \mathcal{U}_{k} = \operatorname {sp}(\mathbf{U}_{1}^{(1)}, \ldots , \mathbf{U}_{r_{1}}^{(1)}, \mathbf{U}_{1}^{(2)}, \ldots , \mathbf{U}_{r_{2}}^{(2)}, \ldots , \mathbf{U}_{1}^{(k)}, \ldots , \mathbf{U}_{r_{k}}^{(k)}).

?

Задача 17.6

Пусть $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ — подпространства $\mathbb {R}^{m \times n}$ . Подпространства $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ называются независимыми, если для матриц $\mathbf{U}_{1} \in \mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathbf{U}_{k} \in \mathcal{U}_{k}$ единственным решением матричного уравнения

\mathbf{U}_{1} + \cdots + \mathbf{U}_{k} = \mathbf{0} \tag {E.1}

является $\mathbf{U}_{1} = \cdots = \mathbf{U}_{k} = \mathbf{0}$ .

?

(a)

Покажите, что $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ независимы тогда и только тогда, когда для $i = 2, \ldots , k$ подпространства $\mathcal{U}_{i}$ и $\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{i-1}$ существенно не пересекаются.

(b)

Покажите, что $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ независимы тогда и только тогда, когда для $i = 1, \ldots , k$ подпространства $\mathcal{U}_{i}$ и $\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{i-1} + \mathcal{U}_{i+1} + \cdots + \mathcal{U}_{k}$ существенно не пересекаются.

(c)

Используя результаты упражнения 3 [вместе с пунктом (a) или (b)], покажите, что если $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ (попарно) ортогональны, то они независимы.

(d)

Предполагая, что $\mathcal{U}_{1}, \mathcal{U}_{2}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ имеют размерность один или более, и обозначив через $\left\{ \mathbf{U}_{1}^{(j)}, \ldots , \mathbf{U}_{r_{j}}^{(j)}\right\}$ произвольное линейно независимое множество матриц в $\mathcal{U}_{j}$ ( $j = 1, 2, \ldots , k$ ), покажите, что если $\mathcal{U}_{1}, \mathcal{U}_{2}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ независимы, то объединённое множество $\left\{ \mathbf{U}_{1}^{(1)}, \ldots , \mathbf{U}_{r_{1}}^{(1)}, \mathbf{U}_{1}^{(2)}, \ldots , \mathbf{U}_{r_{2}}^{(2)}, \ldots , \mathbf{U}_{1}^{(k)}, \ldots , \mathbf{U}_{r_{k}}^{(k)}\right\}$ линейно независимо.

(e)

Предполагая, что $\mathcal{U}_{1}, \mathcal{U}_{2}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ имеют размерность один или более, покажите, что $\mathcal{U}_{1}, \mathcal{U}_{2}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ независимы тогда и только тогда, когда для любой ненулевой матрицы $\mathbf{U}_{1}$ из $\mathcal{U}_{1}$ , любой ненулевой матрицы $\mathbf{U}_{2}$ из $\mathcal{U}_{2}$ , , и любой ненулевой матрицы $\mathbf{U}_{k}$ из $\mathcal{U}_{k}$ матрицы $\mathbf{U}_{1}, \mathbf{U}_{2}, \ldots , \mathbf{U}_{k}$ линейно независимы.

(f)

Для $j = 1, \ldots , k$ пусть $p_{j} = \dim (\mathcal{U}_{j})$ , и пусть $S_{j}$ — базис $\mathcal{U}_{j}$ ( $j = 1, \ldots , k$ ). Определим $S$ как множество из $\sum_{j=1}^{k} p_{j}$ матриц, полученное объединением всех матриц из $S_{1}, \ldots , S_{k}$ в единое множество. Используя результат упражнения 5 [вместе с пунктом (d)], покажите, что (1) если $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ независимы, то $S$ является базисом для $\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{k}$ ; и (2) если $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ не являются независимыми, то $S$ содержит собственное подмножество, являющееся базисом для $\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{k}$ .

(g)

Покажите, что (1), если $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ независимы, то

\dim (\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{k}) = \dim (\mathcal{U}_{1}) + \cdots + \dim (\mathcal{U}_{k});

и (2), если $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ не являются независимыми, то

\dim (\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{k}) < \dim (\mathcal{U}_{1}) + \cdots + \dim (\mathcal{U}_{k}).

Задача 17.7

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ — матрицы с одинаковым числом строк, а $\mathbf{B}_{1}, \ldots , \mathbf{B}_{k}$ — матрицы с одинаковым числом столбцов. Используя терминологию упражнения 6, применив пункт (g) этого упражнения, покажите

?

(a)

что если $C(\mathbf{A}_{1}), \ldots , C(\mathbf{A}_{k})$ независимы, то

\operatorname {rank}(\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}_{1}) + \cdots + \operatorname {rank}(\mathbf{A}_{k}),

а если $C(\mathbf{A}_{1}), \ldots , C(\mathbf{A}_{k})$ не являются независимыми, то

\operatorname {rank}(\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}) < \operatorname {rank}(\mathbf{A}_{1}) + \cdots + \operatorname {rank}(\mathbf{A}_{k})

и

(b)

что если $\mathcal{R}(\mathbf{B}_{1}), \ldots , \mathcal{R}(\mathbf{B}_{k})$ независимы, то

\operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{B}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{B}_{k} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{B}_{1}) + \cdots + \operatorname {rank}(\mathbf{B}_{k}),

а если $\mathcal{R}(\mathbf{B}_{1}), \ldots , \mathcal{R}(\mathbf{B}_{k})$ не являются независимыми, то

\operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{B}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{B}_{k} \end{pmatrix} < \operatorname {rank}(\mathbf{B}_{1}) + \cdots + \operatorname {rank}(\mathbf{B}_{k}).

Задача 17.8

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times n$ , а $\mathbf{B}$ — матрица размера $m \times p$ . Покажите, используя, например, результат пункта (c)-(2) упражнения 4 в сочетании с результатом

C(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = C[\mathbf{A}, (\mathbf{I} - \mathbf{A}\mathbf{A}^{-})\mathbf{B}] = C(\mathbf{A}) \oplus C[(\mathbf{I} - \mathbf{A}\mathbf{A}^{-})\mathbf{B}], \tag {*}

что

?

(a)

$C[(\mathbf{I} - \mathbf{A}\mathbf{A}^{-})\mathbf{B}] = C(\mathbf{I} - \mathbf{A}\mathbf{A}^{-}) \cap C(\mathbf{A}, \mathbf{B})$ и

(b)

$C[(\mathbf{I} - \mathbf{P}_{\mathbf{A}})\mathbf{B}] = \mathcal{N}(\mathbf{A}') \cap C(\mathbf{A}, \mathbf{B})$ .

Задача 17.9

Пусть $\mathbf{A} = (\mathbf{T}, \mathbf{U})$ и $\mathbf{B} = (\mathbf{V}, \mathbf{0})$ , где $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times p$ , $\mathbf{U}$ — матрица размера $m \times q$ , а $\mathbf{V}$ — матрица размера $n \times p$ , и предположим, что $\mathbf{U}$ имеет полный строчный ранг. Покажите, что $\mathcal{R}(\mathbf{A})$ и $\mathcal{R}(\mathbf{B})$ существенно не пересекаются [даже если $\mathcal{R}(\mathbf{T})$ и $\mathcal{R}(\mathbf{V})$ существенно пересекаются].

?

Задача 17.10

(a)(b)

В какой мере формула

\operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{0} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{U}) + \operatorname {rank}(\mathbf{V}) + \operatorname {rank}[(\mathbf{I} - \mathbf{U}\mathbf{U}^{-})\mathbf{T}(\mathbf{I} - \mathbf{V}^{-}\mathbf{V})] \tag {*}

[где $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times p$ , $\mathbf{U}$ — матрица размера $m \times q$ , а $\mathbf{V}$ — матрица размера $n \times p$ ] упрощается в

?

(a)

частном случае, когда $C(\mathbf{T})$ и $C(\mathbf{U})$ существенно не пересекаются [но $\mathcal{R}(\mathbf{T})$ и $\mathcal{R}(\mathbf{V})$ не обязательно существенно не пересекаются], и

(b)

частном случае, когда $\mathcal{R}(\mathbf{T})$ и $\mathcal{R}(\mathbf{V})$ существенно не пересекаются?

Задача 17.11

(a)(b)

Пусть $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times p$ , $\mathbf{U}$ — матрица размера $m \times q$ , а $\mathbf{V}$ — матрица размера $n \times p$ . Далее определим $\mathbf{E}_{\mathbf{T}} = \mathbf{I} - \mathbf{T}\mathbf{T}^{-}$ , $\mathbf{F}_{\mathbf{T}} = \mathbf{I} - \mathbf{T}^{-}\mathbf{T}$ , $\mathbf{X} = \mathbf{E}_{\mathbf{T}}\mathbf{U}$ и $\mathbf{Y} = \mathbf{V}\mathbf{F}_{\mathbf{T}}$ . Покажите

?

(a)

что разбитая на блоки матрица $\begin{pmatrix} \mathbf{T}^{-} - \mathbf{T}^{-}\mathbf{U}\mathbf{X}^{-}\mathbf{E}_{\mathbf{T}} \\ \mathbf{X}^{-}\mathbf{E}_{\mathbf{T}} \end{pmatrix}$ является обобщённой обратной для разбитой на блоки матрицы $(\mathbf{T}, \mathbf{U})$ , и

(b)

что разбитая на блоки матрица $(\mathbf{T}^{-} - \mathbf{F}_{\mathbf{T}}\mathbf{Y}^{-}\mathbf{V}\mathbf{T}^{-},\ \mathbf{F}_{\mathbf{T}}\mathbf{Y}^{-})$ является обобщённой обратной для разбитой на блоки матрицы $\begin{pmatrix} \mathbf{T} \\ \mathbf{V} \end{pmatrix}$ .

Сделайте это, применив формулу (E.1) из пункта (a) упражнения 10.10 к разбитым на блоки матрицам $\begin{pmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{0} \\ \mathbf{V} & \mathbf{0} \end{pmatrix}$ и используя результат о том, что для любой обобщённой обратной $\mathbf{G} = \begin{pmatrix} \mathbf{G}_{1} \\ \mathbf{G}_{2} \end{pmatrix}$ разбитой на блоки матрицы $(\mathbf{A}, \mathbf{B})$ и любой обобщённой обратной $\mathbf{H} = (\mathbf{H}_{1}, \mathbf{H}_{2})$ разбитой на блоки матрицы $\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{C} \end{pmatrix}$ (где $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times n$ , $\mathbf{B}$ — матрица размера $m \times p$ , а $\mathbf{C}$ — матрица размера $q \times n$ , и где $\mathbf{G}_{1}$ имеет $n$ строк, а $\mathbf{H}_{1}$ — $m$ столбцов), (1) $\mathbf{G}_{1}$ является обобщённой обратной для $\mathbf{A}$ , а $\mathbf{G}_{2}$ — обобщённой обратной для $\mathbf{B}$ тогда и только тогда, когда $C(\mathbf{A})$ и $C(\mathbf{B})$ существенно не пересекаются, и, аналогично, (2) $\mathbf{H}_{1}$ является обобщённой обратной для $\mathbf{A}$ , а $\mathbf{H}_{2}$ — обобщённой обратной для $\mathbf{C}$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{R}(\mathbf{A})$ и $\mathcal{R}(\mathbf{C})$ существенно не пересекаются.

Задача 17.12

(a)(b)

Пусть $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times p$ , $\mathbf{U}$ — матрица размера $m \times q$ , а $\mathbf{V}$ — матрица размера $n \times p$ . И пусть $\begin{pmatrix} \mathbf{G}_{11} & \mathbf{G}_{12} \\ \mathbf{G}_{21} & \mathbf{G}_{22} \end{pmatrix}$ (где $\mathbf{G}_{11}$ имеет размеры $p \times m$ ) — обобщённая обратная разбитой на блоки матрицы $\begin{pmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{0} \end{pmatrix}$ . Покажите, что

?

(a)

если $\mathbf{G}_{11}$ является обобщённой обратной для $\mathbf{T}$ , а $\mathbf{G}_{12}$ — обобщённой обратной для $\mathbf{V}$ , то $\mathcal{R}(\mathbf{T})$ и $\mathcal{R}(\mathbf{V})$ существенно не пересекаются, и

(b)

если $\mathbf{G}_{11}$ является обобщённой обратной для $\mathbf{T}$ , а $\mathbf{G}_{21}$ — обобщённой обратной для $\mathbf{U}$ , то $C(\mathbf{T})$ и $C(\mathbf{U})$ существенно не пересекаются.

Задача 17.13

(a)(b)

?

(a)

Обобщите результат о том, что для любых двух подпространств $\mathcal{U}$ и $\mathcal{V}$ пространства $\mathbb {R}^{m \times n}$

\dim (\mathcal{U} + \mathcal{V}) = \dim (\mathcal{U}) + \dim (\mathcal{V}) - \dim (\mathcal{U} \cap \mathcal{V}), \tag {*}

Сделайте это, показав, что для любых $k$ подпространств $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$

\dim (\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{k}) = \dim (\mathcal{U}_{1}) + \cdots + \dim (\mathcal{U}_{k}) - \sum _{i=2}^{k} \dim [(\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{i-1}) \cap \mathcal{U}_{i}]. \tag {E.2}

(b)

Обобщите результат о том, что для любой матрицы $\mathbf{A}$ размера $m \times n$ , матрицы $\mathbf{B}$ размера $m \times p$ и матрицы $\mathbf{C}$ размера $q \times n$

\operatorname {rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}) + \operatorname {rank}(\mathbf{B}) - \dim [C(\mathbf{A}) \cap C(\mathbf{B})],

\operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{A} \\ \mathbf{C} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{A}) + \operatorname {rank}(\mathbf{C}) - \dim [\mathcal{R}(\mathbf{A}) \cap \mathcal{R}(\mathbf{C})].

Сделайте это, показав, что для любых матриц $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ с одинаковым числом строк

\operatorname {rank}(\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}_{1}) + \cdots + \operatorname {rank}(\mathbf{A}_{k}) - \sum _{i=2}^{k} \dim [C(\mathbf{A}_{1}, \ldots \mathbf{A}_{i-1}) \cap C(\mathbf{A}_{i})]

и, для любых матриц $\mathbf{B}_{1}, \ldots , \mathbf{B}_{k}$ с одинаковым числом столбцов,

\operatorname {rank}\begin{pmatrix} \mathbf{B}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{B}_{k} \end{pmatrix} = \operatorname {rank}(\mathbf{B}_{1}) + \cdots + \operatorname {rank}(\mathbf{B}_{k}) - \sum _{i=2}^{k} \dim \left[\mathcal{R}\begin{pmatrix} \mathbf{B}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{B}_{i-1} \end{pmatrix} \cap \mathcal{R}(\mathbf{B}_{i})\right].

Задача 17.14

Покажите, что для любой матрицы $\mathbf{A}$ размера $m \times n$ , матрицы $\mathbf{C}$ размера $n \times q$ и матрицы $\mathbf{B}$ размера $q \times p$

\operatorname {rank}\left\{ [\mathbf{I} - \mathbf{C}\mathbf{B}(\mathbf{C}\mathbf{B})^{-}]\mathbf{C}[\mathbf{I} - (\mathbf{A}\mathbf{C})^{-}\mathbf{A}\mathbf{C}]\right\} = \operatorname {rank}(\mathbf{A}) + \operatorname {rank}(\mathbf{C}) - \operatorname {rank}(\mathbf{A}\mathbf{C}) - n + \operatorname {rank}\left\{ [\mathbf{I} - \mathbf{C}\mathbf{B}(\mathbf{C}\mathbf{B})^{-}](\mathbf{I} - \mathbf{A}^{-}\mathbf{A})\right\} .

?

Примечание.

?

Примените равенство

\operatorname {rank}(\mathbf{A}\mathbf{C}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}) + \operatorname {rank}(\mathbf{C}) - n + \operatorname {rank}[(\mathbf{I} - \mathbf{C}\mathbf{C}^{-})(\mathbf{I} - \mathbf{A}^{-}\mathbf{A})] \tag {*}

к произведению $\mathbf{A}(\mathbf{C}\mathbf{B})$ и используйте равенство

\operatorname {rank}(\mathbf{A}\mathbf{C}\mathbf{B}) = \operatorname {rank}(\mathbf{A}\mathbf{C}) + \operatorname {rank}(\mathbf{C}\mathbf{B}) - \operatorname {rank}(\mathbf{C}) + \operatorname {rank}\left\{ [\mathbf{I} - \mathbf{C}\mathbf{B}(\mathbf{C}\mathbf{B})^{-}]\mathbf{C}[\mathbf{I} - (\mathbf{A}\mathbf{C})^{-}\mathbf{A}\mathbf{C}]\right\} . \tag {**}

Задача 17.15

Покажите, что если матрица $\mathbf{A}$ размера $n \times n$ является матрицей проектирования на подпространство $\mathcal{U}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ вдоль подпространства $\mathcal{V}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ (где $\mathcal{U} \oplus \mathcal{V} = \mathbb {R}^{n \times 1}$ ), то $\mathbf{A}'$ является матрицей проектирования на $\mathcal{V}^{\perp }$ вдоль $\mathcal{U}^{\perp }$ [где $\mathcal{U}^{\perp }$ и $\mathcal{V}^{\perp }$ — ортогональные дополнения (относительно обычного скалярного произведения и относительно $\mathbb {R}^{n \times 1}$ ) подпространств $\mathcal{U}$ и $\mathcal{V}$ соответственно].

?

Задача 17.16

Покажите, что для любой матрицы $\mathbf{X}$ размера $n \times p$ матрица $\mathbf{X}\mathbf{X}^{-}$ является матрицей проектирования на $C(\mathbf{X})$ вдоль $\mathcal{N}(\mathbf{X}\mathbf{X}^{-})$ .

?

Задача 17.17

(a)(b)

Пусть $\mathbf{Y}$ — матрица из линейного пространства $\mathcal{V}$ матриц размера $m \times n$ , и пусть $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ — подпространства $\mathcal{V}$ . Используя терминологию и результаты упражнения 6, покажите, что если $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ независимы и $\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{k} = \mathcal{V}$ , то

?

(a)

существуют единственные матрицы $\mathbf{Z}_{1}, \ldots , \mathbf{Z}_{k}$ из $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ соответственно, такие что $\mathbf{Y} = \mathbf{Z}_{1} + \cdots + \mathbf{Z}_{k}$ , и

(b)

для $i = 1, \ldots , k$ матрица $\mathbf{Z}_{i}$ равна проекции $\mathbf{Y}$ на $\mathcal{U}_{i}$ вдоль $\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{i-1} + \mathcal{U}_{i+1} + \cdots + \mathcal{U}_{k}$ .

Задача 17.18

(a)(b)

Пусть $\mathcal{U}$ и $\mathcal{W}$ — существенно не пересекающиеся подпространства (пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ ), сумма которых равна $\mathbb {R}^{n \times 1}$ , и пусть $\mathbf{U}$ — произвольная матрица размера $n \times s$ , такая что $C(\mathbf{U}) = \mathcal{U}$ , а $\mathbf{W}$ — произвольная матрица размера $n \times t$ , такая что $C(\mathbf{W}) = \mathcal{W}$ .

?

(a)

Покажите, что разбитая на блоки матрица $(\mathbf{U}, \mathbf{W})$ размера $n \times (s+t)$ имеет правую обратную.

(b)

Взяв $\mathbf{R}$ произвольной правой обратной для $(\mathbf{U}, \mathbf{W})$ и разбив $\mathbf{R}$ как $\mathbf{R} = \begin{pmatrix} \mathbf{R}_{1} \\ \mathbf{R}_{2} \end{pmatrix}$ (где $\mathbf{R}_{1}$ имеет $s$ строк), покажите, что матрица проектирования на $\mathcal{U}$ вдоль $\mathcal{W}$ равна $\mathbf{U}\mathbf{R}_{1}$ , а матрица проектирования на $\mathcal{W}$ вдоль $\mathcal{U}$ равна $\mathbf{W}\mathbf{R}_{2}$ .

Задача 17.19

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица проектирования ( $n \times n$ ) на подпространство $\mathcal{U}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ вдоль подпространства $\mathcal{V}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ (где $\mathcal{U} \oplus \mathcal{V} = \mathbb {R}^{n \times 1}$ ), пусть $\mathbf{B}$ — матрица проектирования ( $n \times n$ ) на подпространство $\mathcal{W}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ вдоль подпространства $\mathcal{X}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ (где $\mathcal{W} \oplus \mathcal{X} = \mathbb {R}^{n \times 1}$ ), и предположим, что $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ коммутируют (то есть $\mathbf{B}\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{B}$ ).

?

(a)

Покажите, что $\mathbf{A}\mathbf{B}$ является матрицей проектирования на $\mathcal{U} \cap \mathcal{W}$ вдоль $\mathcal{V} + \mathcal{X}$ .

(b)

Покажите, что $\mathbf{A} + \mathbf{B} - \mathbf{A}\mathbf{B}$ является матрицей проектирования на $\mathcal{U} + \mathcal{W}$ вдоль $\mathcal{V} \cap \mathcal{X}$ .

Примечание.

?

для пункта (b). Заметьте, что $\mathbf{I} - (\mathbf{A} + \mathbf{B} - \mathbf{A}\mathbf{B}) = (\mathbf{I} - \mathbf{A})(\mathbf{I} - \mathbf{B})$ , и используйте пункт (a).

Задача 17.20

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\mathcal{V}$ — линейное пространство $n$ -мерных столбцовых векторов, и пусть $\mathcal{U}$ и $\mathcal{W}$ — существенно не пересекающиеся подпространства, сумма которых равна $\mathcal{V}$ . Тогда матрица $\mathbf{A}$ размера $n \times n$ называется матрицей проектирования на $\mathcal{U}$ вдоль $\mathcal{W}$ , если $\mathbf{A}\mathbf{y}$ является проекцией $\mathbf{y}$ на $\mathcal{U}$ вдоль $\mathcal{W}$ для любого $\mathbf{y} \in \mathcal{V}$ — это расширение определения матрицы проектирования на $\mathcal{U}$ вдоль $\mathcal{W}$ на частный случай, когда $\mathcal{V} = \mathbb {R}^{n}$ . Далее, пусть $\mathbf{U}$ — матрица размера $n \times s$ , такая что $C(\mathbf{U}) = \mathcal{U}$ , а $\mathbf{W}$ — матрица размера $n \times t$ , такая что $C(\mathbf{W}) = \mathcal{W}$ .

?

(a)

Покажите, что матрица $\mathbf{A}$ размера $n \times n$ является матрицей проектирования на $\mathcal{U}$ вдоль $\mathcal{W}$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}\mathbf{U} = \mathbf{U}$ и $\mathbf{A}\mathbf{W} = \mathbf{0}$ , или, что равносильно, тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}'$ является решением линейной системы $\begin{pmatrix} \mathbf{U}' \\ \mathbf{W}' \end{pmatrix}\mathbf{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{U}' \\ \mathbf{0} \end{pmatrix}$ (относительно матрицы $\mathbf{B}$ размера $n \times n$ ).

(b)

Установите существование матрицы проектирования на $\mathcal{U}$ вдоль $\mathcal{W}$ .

(c)

Покажите, что если $\mathbf{A}$ является матрицей проектирования на $\mathcal{U}$ вдоль $\mathcal{W}$ , то $\mathbf{I} - \mathbf{A}$ является матрицей проектирования на $\mathcal{W}$ вдоль $\mathcal{U}$ .

(d)

Пусть $\mathbf{X}$ — произвольная матрица размера $n \times p$ , столбцы которой порождают $\mathcal{N}(\mathbf{W}')$ , или, что равносильно, $\mathcal{W}^{\perp }$ . Покажите, что матрица $\mathbf{A}$ размера $n \times n$ является матрицей проектирования на $\mathcal{U}$ вдоль $\mathcal{W}$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}' = \mathbf{X}\mathbf{R}_{*}$ для некоторого решения $\mathbf{R}_{*}$ линейной системы $\mathbf{U}'\mathbf{X}\mathbf{R} = \mathbf{U}'$ (относительно матрицы $\mathbf{R}$ размера $p \times n$ ).

Задача 17.21

Пусть $\mathcal{U}_{1}, \ldots , \mathcal{U}_{k}$ — независимые подпространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ , такие что $\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{k} = \mathbb {R}^{n \times 1}$ (где независимость подпространств определена как в упражнении 6). Далее, обозначив $s_{i} = \dim (\mathcal{U}_{i})$ (и предполагая, что $s_{i} > 0$ ), возьмём $\mathbf{U}_{i}$ произвольной матрицей размера $n \times s_{i}$ , такой что $C(\mathbf{U}_{i}) = \mathcal{U}_{i}$ ( $i = 1, \ldots , k$ ). И определим $\mathbf{B} = (\mathbf{U}_{1}, \ldots , \mathbf{U}_{k})^{-1}$ , разобьём $\mathbf{B}$ как $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{B}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{B}_{k} \end{pmatrix}$ (где, для $i = 1, \ldots , k$ , $\mathbf{B}_{i}$ имеет $s_{i}$ строк), и пусть $\mathbf{H} = \mathbf{B}'\mathbf{B}$ , или (более общо) пусть $\mathbf{H}$ — произвольная матрица вида

\mathbf{H} = \mathbf{B}_{1}'\mathbf{A}_{1}\mathbf{B}_{1} + \mathbf{B}_{2}'\mathbf{A}_{2}\mathbf{B}_{2} + \cdots + \mathbf{B}_{k}'\mathbf{A}_{k}\mathbf{B}_{k}, \tag {E.3}

где $\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ — симметрические положительно определённые матрицы.

?

(a)

Используя результат пункта (g)-(1) упражнения 6 (или иным способом), проверьте, что разбитая на блоки матрица $(\mathbf{U}_{1}, \ldots , \mathbf{U}_{k})$ невырождена (то есть является квадратной и имеет ранг $n$ ).

(b)

Покажите, что $\mathbf{H}$ положительно определена.

(c)

Покажите, что (для $j \neq i = 1, \ldots , k$ ) подпространства $\mathcal{U}_{i}$ и $\mathcal{U}_{j}$ ортогональны относительно $\mathbf{H}$ .

(d)

Используя результат пункта (a)-(2) упражнения 3 (или иным способом), покажите, что для $i = 1, \ldots , k$ (1) $\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{i-1} + \mathcal{U}_{i+1} + \cdots + \mathcal{U}_{k}$ равно ортогональному дополнению $\mathcal{U}_{i}^{\perp }$ подпространства $\mathcal{U}_{i}$ (где ортогональность в ортогональном дополнении понимается относительно билинейной формы $\mathbf{x}'\mathbf{H}\mathbf{y}$ ), и (2) проекция любого вектора $\mathbf{y}$ размера $n \times 1$ на $\mathcal{U}_{i}$ вдоль $\mathcal{U}_{1} + \cdots + \mathcal{U}_{i-1} + \mathcal{U}_{i+1} + \cdots + \mathcal{U}_{k}$ равна ортогональной проекции $\mathbf{y}$ на $\mathcal{U}_{i}$ относительно $\mathbf{H}$ .

(e)

Покажите, что если, для $j \neq i = 1, \ldots , k$ , подпространства $\mathcal{U}_{i}$ и $\mathcal{U}_{j}$ ортогональны относительно некоторой симметрической положительно определённой матрицы $\mathbf{H}_{*}$ , то $\mathbf{H}_{*}$ представима в виде (E.3).

Пересечения и суммы подпространств