Банк задач по математике

Задача 16.1

(a)(b)

?

(a)

Проверьте, что для любых матриц $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ размера $m \times n$ и любых матриц $\mathbf{C}$ и $\mathbf{D}$ размера $p \times q$

(\mathbf{A} + \mathbf{B}) \otimes (\mathbf{C} + \mathbf{D}) = (\mathbf{A} \otimes \mathbf{C}) + (\mathbf{A} \otimes \mathbf{D}) + (\mathbf{B} \otimes \mathbf{C}) + (\mathbf{B} \otimes \mathbf{D}).

(b)

Проверьте, что для любых матриц $\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \ldots , \mathbf{A}_{r}$ размера $m \times n$ и матриц $\mathbf{B}_{1}, \mathbf{B}_{2}, \ldots , \mathbf{B}_{s}$ размера $p \times q$

\left(\sum _{i=1}^{r} \mathbf{A}_{i}\right) \otimes \left(\sum _{j=1}^{s} \mathbf{B}_{j}\right) = \sum _{i=1}^{r} \sum _{j=1}^{s} (\mathbf{A}_{i} \otimes \mathbf{B}_{j}).

Задача 16.2

Покажите, что для любой матрицы $\mathbf{A}$ размера $m \times n$ и матрицы $\mathbf{B}$ размера $p \times q$

\mathbf{A} \otimes \mathbf{B} = (\mathbf{A} \otimes \mathbf{I}_{p}) \operatorname {diag}(\mathbf{B}, \mathbf{B}, \ldots , \mathbf{B}).

?

Задача 16.3

Покажите, что для любого вектора $\mathbf{a}$ размера $m \times 1$ и любого вектора $\mathbf{b}$ размера $p \times 1$ (1) $\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = (\mathbf{a} \otimes \mathbf{I}_{p})\mathbf{b}$ и (2) $\mathbf{a}' \otimes \mathbf{b}' = \mathbf{b}'(\mathbf{a}' \otimes \mathbf{I}_{p})$ .

?

Задача 16.4

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — квадратные матрицы.

?

(a)

Покажите, что если $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ ортогональны, то $\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}$ ортогональна.

(b)

Покажите, что если $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ идемпотентны, то $\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}$ идемпотентна.

Задача 16.5

(a)(b)

Пусть $m$ , $n$ , $p$ и $q$ — произвольные положительные целые числа. Покажите

?

(a)

что для любой матрицы $\mathbf{B}$ размера $p \times q$ (с $p > 1$ или $q > 1$ ) существует такая матрица $\mathbf{A}$ размера $m \times n$ , что обобщённые обратные матрицы для $\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}$ не все представимы в виде $\mathbf{A}^{-} \otimes \mathbf{B}^{-}$ ;

(b)

что для любой матрицы $\mathbf{A}$ размера $m \times n$ (с $m > 1$ или $n > 1$ ) существует такая матрица $\mathbf{B}$ размера $p \times q$ , что обобщённые обратные матрицы для $\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}$ не все представимы в виде $\mathbf{A}^{-} \otimes \mathbf{B}^{-}$ .

Задача 16.6

Пусть $\mathbf{X} = \mathbf{A} \otimes \mathbf{B}$ , где $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times n$ , а $\mathbf{B}$ — матрица размера $p \times q$ . Покажите, что $\mathbf{P}_{\mathbf{X}} = \mathbf{P}_{\mathbf{A}} \otimes \mathbf{P}_{\mathbf{B}}$ .

?

Задача 16.7

(a)(b)

Покажите, что произведение Кронекера $\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}$ матрицы $\mathbf{A}$ размера $m \times m$ и матрицы $\mathbf{B}$ размера $n \times n$ является

?

(a)

симметрической неотрицательно определённой, если $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ обе симметрические неотрицательно определённые или обе симметрические неположительно определённые, и

(b)

симметрической положительно определённой, если $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ обе симметрические положительно определённые или обе симметрические отрицательно определённые.

Задача 16.8

Пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — симметрические матрицы размера $m \times m$ , а $\mathbf{C}$ и $\mathbf{D}$ — симметрические матрицы размера $n \times n$ . Используя результат упражнения 7 (или иным способом), покажите, что если $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ , $\mathbf{C} - \mathbf{D}$ , $\mathbf{B}$ и $\mathbf{C}$ неотрицательно определены, то $(\mathbf{A} \otimes \mathbf{C}) - (\mathbf{B} \otimes \mathbf{D})$ симметрическая неотрицательно определённая.

?

Задача 16.9

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times n$ , а $\mathbf{B}$ — матрица размера $p \times q$ . Покажите, что в случае обычной нормы

\left\| \mathbf{A} \otimes \mathbf{B}\right\| = \left\| \mathbf{A}\right\| \cdot \left\| \mathbf{B}\right\| .

?

Задача 16.10

Проверьте, что для разбитой на блоки матрицы размера $m \times n$

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \ldots & \mathbf{A}_{1c} \\ \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} & \ldots & \mathbf{A}_{2c} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mathbf{A}_{r1} & \mathbf{A}_{r2} & \ldots & \mathbf{A}_{rc} \end{pmatrix}

и матрицы $\mathbf{B}$ размера $p \times q$

\mathbf{A} \otimes \mathbf{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B} & \ldots & \mathbf{A}_{1c} \otimes \mathbf{B} \\ \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B} & \ldots & \mathbf{A}_{2c} \otimes \mathbf{B} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mathbf{A}_{r1} \otimes \mathbf{B} & \mathbf{A}_{r2} \otimes \mathbf{B} & \ldots & \mathbf{A}_{rc} \otimes \mathbf{B} \end{pmatrix},

то есть $\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}$ равна матрице размера $mp \times nq$ , полученной заменой каждого блока $\mathbf{A}_{ij}$ матрицы $\mathbf{A}$ произведением Кронекера $\mathbf{A}_{ij}$ и $\mathbf{B}$ .

?

Задача 16.11

(a)(b)

Покажите, что

?

(a)

если $\mathbf{T}$ и $\mathbf{U}$ — обе верхнетреугольные матрицы, то $\mathbf{T} \otimes \mathbf{U}$ — верхнетреугольная матрица, и

(b)

если $\mathbf{T}$ и $\mathbf{L}$ — обе нижнетреугольные матрицы, то $\mathbf{T} \otimes \mathbf{L}$ — нижнетреугольная матрица.

Задача 16.12

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times m$ , а $\mathbf{B}$ — матрица размера $n \times n$ . Предположим, что $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ имеют LDU-разложения, скажем $\mathbf{A} = \mathbf{L}_{1}\mathbf{D}_{1}\mathbf{U}_{1}$ и $\mathbf{B} = \mathbf{L}_{2}\mathbf{D}_{2}\mathbf{U}_{2}$ . Используя результаты упражнения 11, покажите, что $\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}$ имеет LDU-разложение $\mathbf{A} \otimes \mathbf{B} = \mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{U}$ , где $\mathbf{L} = \mathbf{L}_{1} \otimes \mathbf{L}_{2}$ , $\mathbf{D} = \mathbf{D}_{1} \otimes \mathbf{D}_{2}$ и $\mathbf{U} = \mathbf{U}_{1} \otimes \mathbf{U}_{2}$ .

?

Задача 16.13

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ — $k$ матриц (одинаковых размеров). Покажите, что $\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ линейно независимы тогда и только тогда, когда $\operatorname {vec}(\mathbf{A}_{1}), \operatorname {vec}(\mathbf{A}_{2}), \ldots , \operatorname {vec}(\mathbf{A}_{k})$ линейно независимы.

?

Задача 16.14

(a)(b)(c)

Пусть $m$ — положительное целое число, $\mathbf{e}_{i}$ обозначает $i$ -й столбец матрицы $\mathbf{I}_{m}$ ( $i = 1, \ldots , m$ ), и (для $i, j = 1, \ldots , m$ ) пусть $\mathbf{U}_{ij} = \mathbf{e}_{i}\mathbf{e}_{j}'$ (в этом случае $\mathbf{U}_{ij}$ — матрица размера $m \times m$ , у которой элемент на месте $ij$ равен $1$ , а остальные $m^{2}-1$ элементов равны $0$ ).

?

(a)

Покажите, что

\operatorname {vec}(\mathbf{I}_{m}) = \sum _{i=1}^{m} \mathbf{e}_{i} \otimes \mathbf{e}_{i}.

(b)

Покажите, что (для $i, j, r, s = 1, \ldots , m$ )

\operatorname {vec}(\mathbf{U}_{ri})[\operatorname {vec}(\mathbf{U}_{sj})]' = \mathbf{U}_{ij} \otimes \mathbf{U}_{rs}.

(c)

Покажите, что

\sum _{i=1}^{m} \sum _{j=1}^{m} \mathbf{U}_{ij} \otimes \mathbf{U}_{ij} = \operatorname {vec}(\mathbf{I}_{m})[\operatorname {vec}(\mathbf{I}_{m})]'.

Задача 16.15

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $n \times n$ .

?

(a)

Покажите, что если $\mathbf{A}$ ортогональна, то $(\operatorname {vec} \mathbf{A})'\operatorname {vec} \mathbf{A} = n$ .

(b)

Покажите, что если $\mathbf{A}$ идемпотентна, то $[\operatorname {vec}(\mathbf{A}')]'\operatorname {vec} \mathbf{A} = \operatorname {rank}(\mathbf{A})$ .

Задача 16.16

Покажите, что для любой матрицы $\mathbf{A}$ размера $m \times n$ , матрицы $\mathbf{X}$ размера $p \times n$ , матрицы $\mathbf{B}$ размера $p \times p$ и матрицы $\mathbf{C}$ размера $n \times m$

\operatorname {tr}(\mathbf{A}\mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X}\mathbf{C}) = (\operatorname {vec} \mathbf{X})'[(\mathbf{A}'\mathbf{C}') \otimes \mathbf{B}]\operatorname {vec} \mathbf{X} = (\operatorname {vec} \mathbf{X})'[(\mathbf{C}\mathbf{A}) \otimes \mathbf{B}']\operatorname {vec} \mathbf{X}.

?

Задача 16.17

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $\mathcal{V}$ — линейное пространство матриц размера $m \times n$ , и пусть $g$ — функция, сопоставляющая значение $\mathbf{A} * \mathbf{B}$ каждой паре матриц $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ из $\mathcal{V}$ . Обозначим через $\mathcal{U}$ линейное пространство векторов размера $mn \times 1$ , определённое как

\mathcal{U} = \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb {R}^{mn \times 1} : \mathbf{x} = \operatorname {vec}(\mathbf{A}) \text{ для некоторой } \mathbf{A} \in \mathcal{V}\right\} ,

и пусть $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ — значение, сопоставляемое каждой паре векторов $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ из $\mathcal{U}$ некоторым произвольным скалярным произведением $f$ . Покажите, что $g$ является скалярным произведением (для $\mathcal{V}$ ) тогда и только тогда, когда существует такое $f$ , что (для всех $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ из $\mathcal{V}$ )

\mathbf{A} * \mathbf{B} = \operatorname {vec}(\mathbf{A}) \cdot \operatorname {vec}(\mathbf{B}).

(b)

Пусть $g$ — функция, сопоставляющая значение $\mathbf{A} * \mathbf{B}$ произвольной паре матриц $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ из $\mathbb {R}^{m \times n}$ . Покажите, что $g$ является скалярным произведением (для $\mathbb {R}^{m \times n}$ ) тогда и только тогда, когда существует разбитая на блоки симметрическая положительно определённая матрица $\mathbf{W}$ размера $mn \times mn$

\mathbf{W} = \begin{pmatrix} \mathbf{W}_{11} & \mathbf{W}_{12} & \ldots & \mathbf{W}_{1n} \\ \mathbf{W}_{21} & \mathbf{W}_{22} & \ldots & \mathbf{W}_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{W}_{n1} & \mathbf{W}_{n2} & \ldots & \mathbf{W}_{nn} \end{pmatrix}

(где каждая подматрица имеет размеры $m \times m$ ), такая что (для всех $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ из $\mathbb {R}^{m \times n}$ )

\mathbf{A} * \mathbf{B} = \sum _{i,j} \mathbf{a}_{i}' \mathbf{W}_{ij} \mathbf{b}_{j},

где $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots , \mathbf{a}_{n}$ и $\mathbf{b}_{1}, \mathbf{b}_{2}, \ldots , \mathbf{b}_{n}$ — соответственно первый, второй, , $n$ -й столбцы $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ .

(c)

Пусть $g$ — функция, сопоставляющая значение $\mathbf{x}' * \mathbf{y}'$ произвольной паре (строчных) векторов из $\mathbb {R}^{1 \times n}$ . Покажите, что $g$ является скалярным произведением (для $\mathbb {R}^{1 \times n}$ ) тогда и только тогда, когда существует такая симметрическая положительно определённая матрица $\mathbf{W}$ размера $n \times n$ , что (для любой пары $n$ -мерных строчных векторов $\mathbf{x}'$ и $\mathbf{y}'$ )

\mathbf{x}' * \mathbf{y}' = \mathbf{x}'\mathbf{W}\mathbf{y}.

Задача 16.18

(a)(b)(c)

?

(a)

Определим (для $m \geq 2$ ) $\mathbf{P}$ как $mn \times mn$ матрицу перестановки такую, что для любой матрицы $\mathbf{A}$ размера $m \times n$

\begin{pmatrix} \operatorname {vec} \mathbf{A}_{*} \\ \mathbf{r} \end{pmatrix} = \mathbf{P} \operatorname {vec} \mathbf{A},

где $\mathbf{A}_{*}$ — матрица размера $(m-1) \times n$ , строки которой являются соответственно первой, , $(m-1)$ -й строками $\mathbf{A}$ , а $\mathbf{r}'$ — $m$ -й строкой $\mathbf{A}$ [и, следовательно, $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{*} \\ \mathbf{r}' \end{pmatrix}$ и $\mathbf{A}' = (\mathbf{A}_{*}', \mathbf{r})$ ].

Покажите, что $\mathbf{K}_{mn} = \begin{pmatrix} \mathbf{K}_{m-1,n} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{n} \end{pmatrix} \mathbf{P}$ .
Покажите, что $\left|\mathbf{P}\right| = (-1)^{(m-1)n(n-1)/2}$ .
Покажите, что $\left|\mathbf{K}_{mn}\right| = (-1)^{(m-1)n(n-1)/2} \left|\mathbf{K}_{m-1,n}\right|$ .

(b)

Покажите, что $\left|\mathbf{K}_{mn}\right| = (-1)^{m(m-1)n(n-1)/4}$ .

(c)

Покажите, что $\left|\mathbf{K}_{mm}\right| = (-1)^{m(m-1)/2}$ .

Задача 16.19

Покажите, что для любой матрицы $\mathbf{A}$ размера $m \times n$ , вектора $\mathbf{a}$ размера $p \times 1$ и вектора $\mathbf{b}$ размера $q \times 1$

$\mathbf{b}' \otimes \mathbf{A} \otimes \mathbf{a} = \mathbf{K}_{mp}[(\mathbf{a}\mathbf{b}') \otimes \mathbf{A}]$ ;
$\mathbf{a} \otimes \mathbf{A} \otimes \mathbf{b}' = \mathbf{K}_{pm}[\mathbf{A} \otimes (\mathbf{a}\mathbf{b}')]$ .

?

Задача 16.20

Пусть $m$ и $n$ — положительные целые числа, $\mathbf{e}_{i}$ обозначает $i$ -й столбец матрицы $\mathbf{I}_{m}$ ( $i = 1, \ldots , m$ ), а $\mathbf{u}_{j}$ обозначает $j$ -й столбец матрицы $\mathbf{I}_{n}$ ( $j = 1, \ldots , n$ ). Покажите, что

\mathbf{K}_{mn} = \sum _{j=1}^{n} \mathbf{u}_{j}' \otimes \mathbf{I}_{m} \otimes \mathbf{u}_{j} = \sum _{i=1}^{m} \mathbf{e}_{i} \otimes \mathbf{I}_{n} \otimes \mathbf{e}_{i}'.

?

Задача 16.21

Пусть $m$ , $n$ и $p$ — положительные целые числа. Используя результат упражнения 20, покажите, что

?

(a)

$\mathbf{K}_{mp,n} = \mathbf{K}_{p,mn}\mathbf{K}_{m,np}$ ;

(b)

$\mathbf{K}_{mp,n}\mathbf{K}_{np,m}\mathbf{K}_{mn,p} = \mathbf{I}$ ;

(c)

$\mathbf{K}_{n,mp} = \mathbf{K}_{np,m}\mathbf{K}_{mn,p}$ ;

(d)

$\mathbf{K}_{p,mn}\mathbf{K}_{m,np} = \mathbf{K}_{m,np}\mathbf{K}_{p,mn}$ ;

(e)

$\mathbf{K}_{np,m}\mathbf{K}_{mn,p} = \mathbf{K}_{mn,p}\mathbf{K}_{np,m}$ ;

(f)

$\mathbf{K}_{m,np}\mathbf{K}_{mp,n} = \mathbf{K}_{mp,n}\mathbf{K}_{m,np}$ .

Примечание.

?

Начните с того, что обозначьте через $\mathbf{u}_{j}$ $j$ -й столбец матрицы $\mathbf{I}_{n}$ и покажите, что $\mathbf{K}_{mp,n} = \sum_{j} (\mathbf{u}_{j}' \otimes \mathbf{I}_{p}) \otimes (\mathbf{I}_{m} \otimes \mathbf{u}_{j})$ , а затем используйте результат о том, что для любой матрицы $\mathbf{A}$ размера $m \times n$ и матрицы $\mathbf{B}$ размера $p \times q$ $\mathbf{B} \otimes \mathbf{A} = \mathbf{K}_{pm}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})\mathbf{K}_{nq}$ .

Задача 16.22

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times n$ , и определим $\mathbf{B} = \mathbf{K}_{mn}(\mathbf{A}' \otimes \mathbf{A})$ . Покажите

?

(a)

что $\mathbf{B}$ симметрична,

(b)

что $\operatorname {rank}(\mathbf{B}) = [\operatorname {rank}(\mathbf{A})]^{2}$ ,

(c)

что $\mathbf{B}^{2} = (\mathbf{A}\mathbf{A}') \otimes (\mathbf{A}'\mathbf{A})$ , и

(d)

что $\operatorname {tr}(\mathbf{B}) = \operatorname {tr}(\mathbf{A}'\mathbf{A})$ .

Задача 16.23

Покажите, что для любой матрицы $\mathbf{A}$ размера $m \times n$ и любой матрицы $\mathbf{B}$ размера $p \times q$

\operatorname {vec}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = (\mathbf{I}_{n} \otimes \mathbf{G})\operatorname {vec} \mathbf{A} = (\mathbf{H} \otimes \mathbf{I}_{p})\operatorname {vec} \mathbf{B},

где $\mathbf{G} = (\mathbf{K}_{qm} \otimes \mathbf{I}_{p})(\mathbf{I}_{m} \otimes \operatorname {vec} \mathbf{B})$ и $\mathbf{H} = (\mathbf{I}_{n} \otimes \mathbf{K}_{qm})[\operatorname {vec}(\mathbf{A}) \otimes \mathbf{I}_{q}]$ .

?

Задача 16.24

Покажите, что для $\mathbf{H}_{n} = (\mathbf{G}_{n}'\mathbf{G}_{n})^{-1}\mathbf{G}_{n}'$

\mathbf{G}_{n}\mathbf{H}_{n}\mathbf{H}_{n}' = \mathbf{H}_{n}'.

?

Задача 16.25

(a)(b)

Существует единственная матрица $\mathbf{L}_{n}$ такая, что

\operatorname {vech} \mathbf{A} = \mathbf{L}_{n} \operatorname {vec} \mathbf{A}

для любой матрицы $\mathbf{A}$ размера $n \times n$ (симметрической или нет). [Матрица $\mathbf{L}_{n}$ — один из вариантов выбора для матрицы $\mathbf{H}_{n}$ , то есть для левой обратной матрицы $\mathbf{G}_{n}$ . Магнус и Нойдекер (1980) называют её матрицей исключения — эффект умножения слева на $\mathbf{L}_{n}$ вектора $\operatorname {vec}$ матрицы $\mathbf{A}$ размера $n \times n$ состоит в исключении (из $\operatorname {vec} \mathbf{A}$ ) «наддиагональных» элементов $\mathbf{A}$ .]

?

(a)

Выпишите элементы $\mathbf{L}_{1}$ , $\mathbf{L}_{2}$ и $\mathbf{L}_{3}$ .

(b)

Для произвольного положительного целого числа $n$ опишите $\mathbf{L}_{n}$ через её строки.

Задача 16.26

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $n \times n$ , а $\mathbf{b}$ — вектор размера $n \times 1$ .

?

(a)

Покажите, что $(1/2)[(\mathbf{A} \otimes \mathbf{b}') + (\mathbf{b}' \otimes \mathbf{A})]\mathbf{G}_{n} = (\mathbf{A} \otimes \mathbf{b}')\mathbf{G}_{n}$ .

(b)

Покажите, что для $\mathbf{H}_{n} = (\mathbf{G}_{n}'\mathbf{G}_{n})^{-1}\mathbf{G}_{n}'$

$(1/2)\mathbf{H}_{n}[(\mathbf{b} \otimes \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \otimes \mathbf{b})] = \mathbf{H}_{n}(\mathbf{b} \otimes \mathbf{A})$ ;
$(\mathbf{A} \otimes \mathbf{b}')\mathbf{G}_{n}\mathbf{H}_{n} = (1/2)[(\mathbf{A} \otimes \mathbf{b}') + (\mathbf{b}' \otimes \mathbf{A})]$ ;
$\mathbf{G}_{n}\mathbf{H}_{n}(\mathbf{b} \otimes \mathbf{A}) = (1/2)[(\mathbf{b} \otimes \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \otimes \mathbf{b})]$ .

Задача 16.27

(a)(b)(c)

Пусть $\mathbf{A} = \left\{ a_{ij}\right\}$ — (возможно, несимметрическая) матрица размера $n \times n$ .

?

(a)

Покажите, что для $\mathbf{H}_{n} = (\mathbf{G}_{n}'\mathbf{G}_{n})^{-1}\mathbf{G}_{n}'$

\mathbf{H}_{n} \operatorname {vec} \mathbf{A} = (1/2) \operatorname {vech}(\mathbf{A} + \mathbf{A}').

(b)

Покажите, что

\mathbf{G}_{n}'\mathbf{G}_{n} \operatorname {vech} \mathbf{A} = \operatorname {vech}[2\mathbf{A} - \operatorname {diag}(a_{11}, a_{22}, \ldots , a_{nn})].

(c)

Покажите, что

\mathbf{G}_{n}' \operatorname {vec} \mathbf{A} = \operatorname {vech}[\mathbf{A} + \mathbf{A}' - \operatorname {diag}(a_{11}, a_{22}, \ldots , a_{nn})].

Задача 16.28

Пусть $\mathbf{A}$ — квадратная матрица порядка $n$ . Покажите, что для $\mathbf{H}_{n} = (\mathbf{G}_{n}'\mathbf{G}_{n})^{-1}\mathbf{G}_{n}'$

\mathbf{G}_{n}\mathbf{H}_{n}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{A})\mathbf{H}_{n}' = (\mathbf{A} \otimes \mathbf{A})\mathbf{H}_{n}'.

?

Задача 16.29

Покажите, что если матрица $\mathbf{A} = \left\{ a_{ij}\right\}$ размера $n \times n$ верхнетреугольная, нижнетреугольная или диагональная, то $\mathbf{H}_{n}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{A})\mathbf{G}_{n}$ соответственно верхнетреугольная, нижнетреугольная или диагональная с диагональными элементами $a_{ii}a_{jj}$ ( $i = 1, \ldots , n$ ; $j = i, \ldots , n$ ).

?

Задача 16.30

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ и $\mathbf{B}$ — матрицы размера $m \times n$ , и пусть $\mathbf{b} = \operatorname {vec} \mathbf{B}$ .

?

(a)

Покажите, что матричное уравнение $\sum_{i=1}^{k} x_{i}\mathbf{A}_{i} = \mathbf{B}$ (относительно неизвестных $x_{1}, \ldots , x_{k}$ ) равносильно линейной системе вида $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ , где $\mathbf{x} = (x_{1}, \ldots , x_{k})'$ — вектор неизвестных.

(b)

Покажите, что если $\mathbf{A}_{1}, \ldots , \mathbf{A}_{k}$ и $\mathbf{B}$ симметричны, то матричное уравнение $\sum_{i=1}^{k} x_{i}\mathbf{A}_{i} = \mathbf{B}$ (относительно неизвестных $x_{1}, \ldots , x_{k}$ ) равносильно линейной системе вида $\mathbf{A}^{*}\mathbf{x} = \mathbf{b}^{*}$ , где $\mathbf{b}^{*} = \operatorname {vech} \mathbf{B}$ и $\mathbf{x} = (x_{1}, \ldots , x_{k})'$ — вектор неизвестных.

Задача 16.31

Пусть $\mathbf{F}$ — матрица размера $p \times p$ , элементы которой — функции, определённые на множестве $S$ , от вектора $\mathbf{x} = (x_{1}, \ldots , x_{m})'$ из $m$ переменных. Покажите, что при $k = 2, 3, \ldots$

\frac{\partial \operatorname {vec}(\mathbf{F}^{k})}{\partial \mathbf{x}'} = \sum _{s=1}^{k} [(\mathbf{F}^{s-1})' \otimes \mathbf{F}^{k-s}]\frac{\partial \operatorname {vec} \mathbf{F}}{\partial \mathbf{x}'}

(где $\mathbf{F}^{0} = \mathbf{I}_{p}$ ).

?

Задача 16.32

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\mathbf{F} = \left\{ f_{is}\right\}$ и $\mathbf{G}$ — матрицы размера $p \times q$ и $r \times s$ соответственно, элементы которых — функции, определённые на множестве $S$ , от вектора $\mathbf{x} = (x_{1}, \ldots , x_{m})'$ из $m$ переменных.

?

(a)

Покажите, что (для $j = 1, \ldots , m$ )

\frac{\partial (\mathbf{F} \otimes \mathbf{G})}{\partial x_{j}} = \left(\mathbf{F} \otimes \frac{\partial \mathbf{G}}{\partial x_{j}}\right) + \left(\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x_{j}} \otimes \mathbf{G}\right).

(b)

Покажите, что (для $j = 1, \ldots , m$ )

\frac{\partial \operatorname {vec}(\mathbf{F} \otimes \mathbf{G})}{\partial x_{j}} = (\mathbf{I}_{q} \otimes \mathbf{K}_{sp} \otimes \mathbf{I}_{r})\left[(\operatorname {vec} \mathbf{F}) \otimes \frac{\partial \operatorname {vec} \mathbf{G}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial \operatorname {vec} \mathbf{F}}{\partial x_{j}} \otimes (\operatorname {vec} \mathbf{G})\right].

(c)

Покажите, что

\frac{\partial \operatorname {vec}(\mathbf{F} \otimes \mathbf{G})}{\partial \mathbf{x}'} = (\mathbf{I}_{q} \otimes \mathbf{K}_{sp} \otimes \mathbf{I}_{r})\left[(\operatorname {vec} \mathbf{F}) \otimes \frac{\partial \operatorname {vec} \mathbf{G}}{\partial \mathbf{x}'} + \frac{\partial \operatorname {vec} \mathbf{F}}{\partial \mathbf{x}'} \otimes (\operatorname {vec} \mathbf{G})\right].

(d)

Покажите, что в частном случае, когда $\mathbf{x}' = [(\operatorname {vec} \mathbf{X})', (\operatorname {vec} \mathbf{Y})']$ , $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{X}$ и $\mathbf{G}(\mathbf{x}) = \mathbf{Y}$ для некоторых матриц переменных $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Y}$ размера $p \times q$ и $r \times s$ , формула из пункта (c) упрощается до

\frac{\partial \operatorname {vec}(\mathbf{X} \otimes \mathbf{Y})}{\partial \mathbf{x}'} = (\mathbf{I}_{q} \otimes \mathbf{K}_{sp} \otimes \mathbf{I}_{r})[\mathbf{I}_{pq} \otimes (\operatorname {vec} \mathbf{Y}),\ (\operatorname {vec} \mathbf{X}) \otimes \mathbf{I}_{rs}].

Произведения Кронекера и операторы vec и vech