Дифференцирование матриц

Используя результат части (c) упражнения 6.2, проверьте, что всякая окрестность точки $x$ в $\mathbb {R}^{m \times 1}$ является открытым множеством.

Пусть $f$ — функция, определённая на множестве $S$, от вектора $x = (x_1, \ldots , x_m)'$ из $m$ переменных, предположим, что множество $S$ содержит хотя бы некоторые внутренние точки, и пусть $c$ -- произвольная из этих точек. Проверьте, что если $f$ $k$ раз непрерывно дифференцируема в $c$, то $f$ $k$ раз непрерывно дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности $c$.

Пусть $X = \{ x_{ij}\}$ — матрица порядка $m \times n$ из $mn$ переменных, и пусть $x$ -- $mn$-мерный вектор-столбец, получаемый перестройкой элементов $X$ (в виде вектора-столбца). Далее, пусть $S$ -- множество значений $X$, и пусть $S^{*}$ -- соответствующее множество значений $x$ (то есть множество, получаемое перестройкой элементов каждой матрицы $m \times n$ из $S$ в виде вектора-столбца). Проверьте, что $mn$-мерный вектор-столбец является внутренней точкой $S^{*}$ тогда и только тогда, когда он представляет собой перестройку матрицы $m \times n$, являющейся внутренней точкой $S$.

Пусть $f$ — функция, областью определения которой является множество $S$ в $\mathbb {R}^{m \times 1}$ (содержащее хотя бы некоторые внутренние точки). Покажите, что матрица Гессе $Hf$ функции $f$ является градиентной матрицей градиентного вектора $(Df)'$ функции $f$.

Пусть $g$ — функция, определённая на множестве $S$, от вектора $x = (x_1, \ldots , x_m)'$ из $m$ переменных, пусть $S^{*} = \{ x \in S : g(x) \neq 0\}$, и пусть $c$ -- произвольная внутренняя точка $S^{*}$, в которой $g$ непрерывно дифференцируема. Покажите, что (для всякого натурального $k$) $g^{-k}$ непрерывно дифференцируема в $c$ и

Пусть $F$ — матрица порядка $p \times p$ из функций, определённых на множестве $S$, от вектора $x = (x_1, \ldots , x_m)'$ из $m$ переменных. Пусть $c$ -- произвольная внутренняя точка $S$, в которой $F$ непрерывно дифференцируема. Покажите, что если $F$ идемпотентна во всех точках некоторой окрестности $c$, то (при $x = c$)

Пусть $g$ — функция, определённая на множестве $S$, от вектора $x = (x_1, \ldots , x_m)'$ из $m$ переменных, и пусть $f$ -- вектор-столбец размера $p \times 1$ из функций (определённых на $S$) от $x$. Пусть $c$ -- произвольная внутренняя точка (множества $S$), в которой $g$ и $f$ непрерывно дифференцируемы. Покажите, что $gf$ непрерывно дифференцируема в $c$ и что (при $x = c$)

Пусть $X = \{ x_{ij}\}$ — матрица порядка $m \times n$ из ``независимых'' переменных, и предположим, что $X$ может свободно пробегать всё $\mathbb {R}^{m \times n}$. Покажите, что для $k = 2, 3, \ldots$

Пусть $X = \{ x_{st}\}$ — матрица порядка $m \times n$ из ``независимых'' переменных, и предположим, что $X$ может свободно пробегать всё $\mathbb {R}^{m \times n}$.

Пусть $X = \{ x_{ij}\}$ — матрица порядка $m \times m$. Пусть $f$ -- функция от $X$, определённая на множестве $S$, состоящем из некоторых или всех симметрических матриц порядка $m \times m$. Предположим, что для целей дифференцирования $f$ следует интерпретировать как функцию от вектора-столбца $x$ размерности $[m(m+1)/2]$, элементами которого служат $x_{ij}$ $(j \leq i = 1, \ldots , m)$. Предположим далее, что существует функция $g$, областью определения которой является множество $T$ не обязательно симметрических матриц, содержащее $S$ в качестве собственного подмножества, такая что $g(X) = f(X)$ при $X \in S$, так что $g$ -- функция от $X$, а $f$ -- функция, получаемая ограничением области определения $g$ на $S$. Определим $S^{*} = \{ x : X \in S\}$. Пусть $c$ -- внутренняя точка $S^{*}$, и пусть $C$ -- соответствующее значение $X$. Покажите, что если $C$ является внутренней точкой $T$ и если $g$ непрерывно дифференцируема в $C$, то $f$ непрерывно дифференцируема в $c$ и что (при $x = c$)

Пусть $h = \{ h_i\}$ — вектор размера $n \times 1$ из функций, определённых на множестве $S$, от вектора $x = (x_1, \ldots , x_m)'$ из $m$ переменных. Пусть $g$ -- функция, определённая на множестве $T$, от вектора $y = (y_1, \ldots , y_n)'$ из $n$ переменных. Предположим, что $h(x) \in T$ для всякого $x$ из $S$, и пусть $f$ -- составная функция, определённая (на $S$) как $f(x) = g[h(x)]$. Покажите, что если $h$ дважды непрерывно дифференцируема во внутренней точке $c$ множества $S$ и если [при условии, что $h(c)$ -- внутренняя точка $T$] $g$ дважды непрерывно дифференцируема в $h(c)$, то $f$ дважды непрерывно дифференцируема в $c$ и

Пусть $X = \{ x_{ij}\}$ — матрица порядка $m \times m$ из $m^2$ ``независимых'' переменных (где $m \geq 2$), и предположим, что область значений $X$ составляет всё $\mathbb {R}^{m \times m}$. Покажите, что (для всякого натурального $k$) функция $f$, определённая (на $\mathbb {R}^{m \times m}$) формулой $f(X) = \left|X\right|^k$, непрерывно дифференцируема при всяком $X$ и что

Пусть $F = \{ f_{is}\}$ — матрица порядка $p \times p$ из функций, определённых на множестве $S$, от вектора $x = (x_1, \ldots , x_m)'$ из $m$ переменных. Пусть $c$ -- произвольная внутренняя точка (множества $S$), в которой $F$ непрерывно дифференцируема. Используя результаты упражнения 13.10, покажите, что

Пусть $X = \{ x_{st}\}$ — матрица порядка $m \times n$ из ``независимых'' переменных, пусть $A$ -- постоянная матрица порядка $m \times m$, и предположим, что область значений $X$ -- это множество $S$, состоящее из некоторых или всех значений $X$, для которых $\det (X'AX) > 0$. Покажите, что $\log \det (X'AX)$ непрерывно дифференцируема в любой внутренней точке $C$ множества $S$ и что (при $X = C$)

Пусть $F = \{ f_{is}\}$ — матрица порядка $p \times p$ из функций, определённых на множестве $S$, от вектора $x = (x_1, \ldots , x_m)'$ из $m$ переменных, и пусть $A$ и $B$ -- постоянные матрицы размера $q \times p$ и $p \times q$. Предположим, что $S$ -- множество всех значений $x$, для которых $F(x)$ невырождена и $\operatorname {det}\left(AF^{-1}(x)B\right) > 0$, или подмножество этого множества. Покажите, что если $F$ непрерывно дифференцируема во внутренней точке $c$ множества $S$, то $\log \det (AF^{-1}B)$ непрерывно дифференцируема в $c$ и (при $x = c$)

Пусть $A$ и $B$ — постоянные матрицы размера $q \times m$ и $m \times q$.

Пусть $F = \{ f_{is}\}$ — матрица порядка $p \times p$ из функций, определённых на множестве $S$, от вектора $x = (x_1, \ldots , x_m)'$ из $m$ переменных. Пусть $c$ -- произвольная внутренняя точка (множества $S$), в которой $F$ непрерывно дифференцируема. Используя, например, результат части (b) упражнения 13.10, покажите, что если $\operatorname {rk}\left(F(c)\right) \leq p-3$, то

Пусть $X$ — матрица порядка $m \times m$ из $m^2$ ``независимых'' переменных. Предположим, что область значений $X$ -- это множество $S$, состоящее из некоторых или всех значений $X$, для которых $X$ невырождена, и пусть $C$ -- внутренняя точка $S$. Обозначим $ij$-й элемент $X^{-1}$ через $y_{ij}$, $j$-й столбец $X^{-1}$ через $y_j$, а $i$-ю строку $X^{-1}$ через $z_i'$.

Пусть $F = \{ f_{is}\}$ — матрица порядка $p \times p$ из функций, определённых на множестве $S$, от вектора $x = (x_1, \ldots , x_m)'$ из $m$ переменных. Для всякого непустого множества $T = \{ t_1, \ldots , t_s\}$, элементы которого -- целые числа от 1 до $m$ включительно, определим $D(T) = \partial^s F/\partial x_{t_1} \cdots \partial x_{t_s}$. Пусть $k$ -- натуральное число, и для $i = 1, \ldots , k$ пусть $j_i$ -- произвольное целое число от 1 до $m$ включительно.

Пусть $X = \{ x_{ij}\}$ — симметрическая матрица порядка $m \times m$, и пусть $x$ -- вектор-столбец размерности $m(m+1)/2$, элементами которого служат $x_{ij}$ $(j \leq i = 1, \ldots , m)$. Определим $S$ как множество всех значений $x$, для которых $X$ невырождена, а $S^{*}$ -- как множество всех значений $x$, для которых $X$ положительно определена. Покажите, что $S$ и $S^{*}$ являются открытыми множествами.

Пусть $X$ — постоянная матрица размера $n \times p$, и пусть $W$ -- симметрическая положительно определённая матрица порядка $n \times n$, элементы которой являются функциями, определёнными на множестве $S$, от вектора $z = (z_1, \ldots , z_m)'$ из $m$ переменных. Далее, пусть $c$ -- произвольная внутренняя точка (множества $S$), в которой $W$ дважды непрерывно дифференцируема. Покажите, что $W - WP_{X,W}$ дважды непрерывно дифференцируема в $c$ и что (при $z = c$)

Пусть $X$ — матрица размера $n \times p$, а $W$ -- симметрическая положительно определённая матрица порядка $n \times n$, и предположим, что элементы $X$ и $W$ являются функциями, определёнными на множестве $S$, от вектора $z = (z_1, \ldots , z_m)'$ из $m$ переменных. И пусть $c$ -- произвольная внутренняя точка (множества $S$), в которой $W$ и $X$ непрерывно дифференцируемы, и предположим, что $X$ имеет постоянный ранг в некоторой окрестности $c$. Далее, пусть $B$ -- произвольная матрица размера $p \times n$, такая что $X'WXB = X'W$. Тогда при $z = c$