Линейные, билинейные и квадратичные формы

Покажите, что симметрическую билинейную форму $x'Ay$ (от $n$-мерных векторов $x$ и $y$) можно выразить через соответствующую квадратичную форму, то есть квадратичную форму, матрицей которой является $A$. Сделайте это, проверив, что

Покажите, что для любой квадратичной формы $x'Ax$ (от $n$-мерного вектора $x$) существует единственная верхняя треугольная матрица $B$, такая что $x'Ax$ и $x'Bx$ тождественно равны, и выразите элементы $B$ через элементы $A$.

Покажите на примере, что сумма двух положительно полуопределённых матриц может быть положительно определённой.

Покажите на примере, что существуют (несимметрические) невырожденные положительно полуопределённые матрицы.

Покажите на примере, что существуют положительно полуопределённая матрица $A$ порядка $n \times n$ и матрица $P$ размера $n \times m$ (где $m < n$), такие что $P'AP$ положительно определена.

Для матрицы $A$ порядка $n \times n$ и матрицы $P$ размера $n \times m$ имеет место следующее: (1) если $A$ неотрицательно определена, то $P'AP$ неотрицательно определена; (2) если $A$ неотрицательно определена и $\operatorname {rk}\left(P\right) < m$, то $P'AP$ положительно полуопределена; и (3) если $A$ положительно определена и $\operatorname {rk}\left(P\right) = m$, то $P'AP$ положительно определена. Переформулируйте эти результаты, относящиеся к неотрицательно определённым (положительно определённым или положительно полуопределённым) матрицам, в эквивалентные результаты для неположительно определённых матриц.

Пусть $\{ X_1, \ldots , X_r\}$ — набор матриц из линейного пространства $\mathcal{V}$. И пусть $A = \{ a_{ij}\}$ — матрица порядка $r \times r$, $ij$-й элемент которой равен $\left\langle X_i, X_j \right\rangle$ -- эта матрица называется матрицей Грама (или грамианом) набора $\{ X_1, \ldots , X_r\}$, а её определитель называется грамианом (или определителем Грама) набора $\{ X_1, \ldots , X_r\}$.

Пусть $A = \{ a_{ij}\}$ — симметрическая положительно определённая матрица порядка $n \times n$, и пусть $B = \{ b_{ij}\} = A^{-1}$. Покажите, что для $i = 1, \ldots , n$

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда для всех $j \neq i$ выполняется $a_{ij} = 0$.

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$, а $D$ — диагональная матрица, такие что $A = PDQ$ для некоторой матрицы $P$ полного столбцового ранга и некоторой матрицы $Q$ полного строчного ранга. Покажите, что $\operatorname {rk}\left(A\right)$ равен числу ненулевых диагональных элементов $D$.

Пусть $A$ — симметрическая идемпотентная матрица порядка $n \times n$, а $V$ — симметрическая положительно определённая матрица порядка $n \times n$. Покажите, что $\operatorname {rk}\left(AVA\right) = \operatorname {tr}(A)$.

Покажите, что если матрица $A$ порядка $n \times n$ такова, что $x'Ax \neq 0$ для всякого ненулевого вектора $x$ размера $n \times 1$, то $A$ либо положительно определена, либо отрицательно определена.

Пусть $A$ — симметрическая неотрицательно определённая матрица ранга $r$ порядка $n \times n$. Тогда существует матрица $B$ размера $n \times r$ (ранга $r$), такая что $A = BB'$. Пусть $X$ — произвольная матрица размера $n \times m$ (где $m \geq r$), такая что $A = XX'$.

Покажите, что если симметрическая матрица $A$ имеет неотрицательно определённую обобщённую обратную, то $A$ неотрицательно определена.

Предположим, что матрица $A$ порядка $n \times n$ имеет LDU-разложение, скажем $A = LDU$, и пусть $d_1, d_2, \ldots , d_n$ — диагональные элементы диагональной матрицы $D$. Покажите, что

Предположим, что (симметрическая) матрица $A$ порядка $n \times n$ имеет единственное разложение $U'DU$, скажем $A = U'DU$. Используя результат части (b) упражнения 14.16, покажите, что $A$ не имеет LDU-разложений, отличных от $A = U'DU$.

Покажите, что если невырожденная матрица имеет LDU-разложение, то это разложение единственно.

Пусть $A$ — матрица порядка $n \times n$ (где $n \geq 2$). Используя, например, результаты упражнений 14.16, 14.17 и 14.18, покажите, что если $A$ имеет единственное LDU-разложение либо (в частном случае, когда $A$ симметрична) единственное разложение $U'DU$, то главные угловые подматрицы (матрицы $A$) порядков $1, 2, \ldots , n-1$ невырождены и имеют единственные LDU-разложения.

Покажите на примере, что существуют (несимметрические) положительно полуопределённые матрицы порядка $n \times n$, не имеющие LDU-разложений.

Пусть $A$ — неотрицательно определённая (возможно, несимметрическая) матрица порядка $n \times n$, имеющая LDU-разложение, скажем $A = LDU$. Покажите, что диагональные элементы диагональной матрицы $D$ неотрицательны.

Пусть $A$ — матрица полного столбцового ранга размера $m \times k$. И пусть $A = QR$ -- QR-разложение $A$; то есть пусть $Q$ -- единственная матрица размера $m \times k$, столбцы которой ортонормированы относительно обычного скалярного произведения, а $R$ -- единственная верхняя треугольная матрица порядка $k \times k$ с положительными диагональными элементами, такие что $A = QR$. Покажите, что $A'A = R'R$ (так что $A'A = R'R$ -- разложение Холецкого матрицы $A'A$).

Пусть $A$ — матрица ранга $r$ размера $m \times k$ (где $r$, возможно, меньше $k$). Рассмотрим разложение $A = QR_1$, где $Q$ -- матрица размера $m \times r$ с ортонормированными столбцами, а $R_1$ -- подматрица размера $r \times k$, строками которой служат $r$ ненулевых строк верхней треугольной матрицы $R$ порядка $k \times k$, имеющей $r$ положительных диагональных элементов и $n - r$ нулевых строк. (Такое разложение можно получить, используя результаты упражнения 6.4 -- см. упражнение 6.5.) Обобщите результат упражнения 14.23, показав, что если скалярное произведение, относительно которого столбцы $Q$ ортонормированы, -- это обычное скалярное произведение, то $A'A = R'R$ (так что $A'A = R'R$ -- разложение Холецкого матрицы $A'A$).

Пусть $A = \{ a_{ij}\}$ — матрица порядка $n \times n$, имеющая LDU-разложение, скажем $A = LDU$. И определим $G = U^{-1}D^{-}L^{-1}$ (которая является обобщённой обратной матрицы $A$).

Проверьте, что главная подматрица кососимметрической матрицы кососимметрична.

Покажите на примере, что (при $n > 1$) существуют (несимметрические) положительно определённые матрицы $A$ и $B$ порядка $n \times n$, такие что $\operatorname {tr}(AB) < 0$.

Пусть $A = \{ a_{ij}\}$ и $B = \{ b_{ij}\}$ — матрицы порядка $n \times n$, и пусть $C$ — матрица порядка $n \times n$, $ij$-й элемент которой $c_{ij} = a_{ij}b_{ij}$ является произведением $ij$-х элементов $A$ и $B$ -- $C$ называется произведением Адамара матриц $A$ и $B$. Покажите, что если $A$ неотрицательно определена, а $B$ симметрична и неотрицательно определена, то $C$ неотрицательно определена. Покажите далее, что если $A$ положительно определена, а $B$ симметрична и положительно определена, то $C$ положительно определена.

Пусть $A_1, A_2, \ldots , A_k$ и $B_1, B_2, \ldots , B_k$ — симметрические неотрицательно определённые матрицы порядка $n \times n$. Покажите, что $\operatorname {tr}(\sum_{i=1}^{k} A_iB_i) \geq 0$, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда для $i = 1, 2, \ldots , k$ выполняется $A_iB_i = 0$, тем самым обобщив результаты части (b) упражнения 14.28.

Пусть $A$ — симметрическая неотрицательно определённая матрица, разбитая на блоки как

где $T$ (а значит, и $W$) квадратная. Покажите, что $VT^{-}U$ и $UW^{-}V$ симметричны и неотрицательно определены.

Покажите на примере, что существует (несимметрическая) положительно полуопределённая матрица $A$ порядка $(m+n) \times (m+n)$ вида $A = \left(\begin{smallmatrix} T & U \\ V & W \end{smallmatrix}\right)$, где $T$ имеет размер $m \times m$, $W$ -- размер $n \times n$, $U$ -- размер $m \times n$, а $V$ -- размер $n \times m$, для которой $C(U) \not\subset C(T)$ и/или $R(V) \not\subset R(T)$, выражение $\operatorname {rk}\left(T\right) + \operatorname {rk}\left(W-VT^{-}U\right)$ не обязательно равно $\operatorname {rk}\left(A\right)$, а формула

где $Q = W - VT^{-}U$, не обязательно даёт обобщённую обратную $A$.

Покажите на примере, что существует симметрическая блочная матрица $A$ порядка $(m+n) \times (m+n)$ вида $A = \left(\begin{smallmatrix} T & U \\ U' & W \end{smallmatrix}\right)$, где $T$ имеет размер $m \times m$, $U$ -- размер $m \times n$, а $W$ -- размер $n \times n$, такая что $T$ неотрицательно определена и (в зависимости от выбора $T^{-}$) дополнение Шура $W - U'T^{-}U$ матрицы $T$ относительно $T^{-}$ неотрицательно определено, но $A$ не является неотрицательно определённой.

Матрица $A = \{ a_{ij}\}$ порядка $n \times n$ называется матрицей с диагональным преобладанием, если для $i = 1, 2, \ldots , n$ выполняется $\left|a_{ii}\right| > \sum_{j=1(j \neq i)}^{n} \left|a_{ij}\right|$. (В вырожденном частном случае $n = 1$ матрица $A$ называется матрицей с диагональным преобладанием, если она ненулевая.)

Пусть $A = \{ a_{ij}\}$ — симметрическая положительно определённая матрица порядка $n \times n$. Покажите, что $\det (A) \leq \prod_{i=1}^{n} a_{ii}$, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $A$ диагональна.

Пусть $A = \left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)$, где $a, b, c$ и $d$ — скаляры.

Используя, например, результат упражнения 14.38, покажите, что если матрица $A = \{ a_{ij}\}$ порядка $n \times n$ симметрична и положительно определена, то для $j \neq i = 1, \ldots , n$

Покажите на примере, что определители обеих главных угловых подматриц симметрической матрицы $2 \times 2$ могут быть неотрицательны без того, чтобы сама матрица была неотрицательно определена, и что при $n \geq 3$ определители всех $n$ главных угловых подматриц симметрической матрицы порядка $n \times n$ могут быть неотрицательны, а сама матрица -- невырожденной, без того, чтобы матрица была неотрицательно определена.

Пусть $\mathcal{V}$ — подпространство $\mathbb {R}^{n \times 1}$ размерности $r$ (где $r \geq 1$). Возьмём $B = (b_1, b_2, \ldots , b_r)$ -- произвольную матрицу размера $n \times r$, столбцы которой $b_1, b_2, \ldots , b_r$ образуют базис $\mathcal{V}$, и пусть $L$ -- произвольная левая обратная $B$. Пусть $g$ -- функция, сопоставляющая значение $x * y$ произвольной паре векторов $x$ и $y$ из $\mathcal{V}$.

Пусть $\mathcal{V}$ — линейное пространство матриц размера $m \times n$, и пусть $A \cdot B$ -- значение, сопоставляемое квазискалярным произведением произвольной паре матриц $A$ и $B$ (из $\mathcal{V}$). Покажите, что множество

состоящее из всех матриц в $\mathcal{V}$ с нулевой квазинормой, является линейным пространством.

Пусть $W$ — симметрическая положительно определённая матрица порядка $m \times m$, а $V$ -- симметрическая положительно определённая матрица порядка $n \times n$.

Пусть $A$ — матрица размера $q \times p$, $B$ -- матрица размера $p \times n$, а $C$ -- матрица размера $m \times q$. Покажите, что

Пусть $\mathcal{U}$ — подпространство $\mathbb {R}^{n \times 1}$, пусть $X$ -- матрица размера $n \times p$, столбцы которой порождают $\mathcal{U}$, и пусть $W$ и $V$ -- симметрические положительно определённые матрицы порядка $n \times n$. Покажите, что каждое из следующих двух условий необходимо и достаточно для того, чтобы проекция $P_{X,W}y$ вектора $y$ на $\mathcal{U}$ относительно $W$ совпадала (для всякого $y$ из $\mathbb {R}^{n}$) с проекцией $P_{X,V}y$ вектора $y$ на $\mathcal{U}$ относительно $V$:

Пусть $y$ — $n$-мерный вектор-столбец, пусть $\mathcal{U}$ -- подпространство $\mathbb {R}^{n \times 1}$, и пусть $X$ -- матрица размера $n \times p$, столбцы которой порождают $\mathcal{U}$. ``Напомним'', что для любой матрицы $L$ размера $m \times n$, для любого подпространства $\mathcal{W}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ и для $\mathcal{V} = \{ v \in \mathbb {R}^{m} : v = Lx \text{ при некотором } x \in \mathcal{W}\}$

где $H = L'L$ (и где $x$ -- произвольный вектор размера $n \times 1$), и

где $Z$ -- произвольная матрица размера $n \times q$, столбцы которой порождают $\mathcal{W}$. Используя результаты (*) и (**), покажите, что для любой симметрической неотрицательно определённой матрицы $W$ порядка $n \times n$ $y \perp_W \mathcal{U}$ тогда и только тогда, когда $X'Wy = 0$.

Пусть $W$ — симметрическая неотрицательно определённая матрица порядка $n \times n$.

Пусть $\mathcal{U}$ — подпространство $\mathbb {R}^{n \times 1}$, пусть $A$ -- матрица порядка $n \times n$, а $W$ -- симметрическая неотрицательно определённая матрица порядка $n \times n$, и пусть $X$ -- произвольная матрица размера $n \times p$, столбцы которой порождают $\mathcal{U}$.

Пусть $A$ — матрица порядка $n \times n$, а $W$ -- симметрическая неотрицательно определённая матрица порядка $n \times n$.