Банк задач по математике

Задача 13.1

(a)(b)(c)

Пусть

\mathbf{A} = \left(\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \boxed {a_{14}} \\ \boxed {a_{21}} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & \boxed {a_{33}} & a_{34} \\ a_{41} & \boxed {a_{42}} & a_{43} & a_{44} \end{smallmatrix}\right) .

?

(a)

Выпишите все пары, которые можно образовать из четырёх выделенных рамкой элементов матрицы $\mathbf{A}$ .

(b)

Укажите, какие из пар в части (a) являются положительными, а какие — отрицательными.

(c)

Используя формулу

\sigma _{n}(1, i_{1}; \ldots ; n, i_{n}) = \sigma _{n}(i_{1}, 1; \ldots ; i_{n}, n) = \phi _{n}(i_{1}, \ldots , i_{n})

(в которой $i_{1}, \ldots , i_{n}$ обозначает произвольную перестановку первых $n$ натуральных чисел), вычислите число отрицательных пар из части (a) и проверьте, что результат этого вычисления согласуется с вашим ответом к части (b).

Задача 13.2

Рассмотрим $n \times n$ матрицу

\mathbf{A} = \left(\begin{smallmatrix} x+\lambda & x & \ldots & x \\ x & x+\lambda & & x \\ \vdots & & \ddots & \\ x & x & & x+\lambda \end{smallmatrix}\right) .

«Вспомним», что

\left|\mathbf{S}\right| = \left|\mathbf{R}\right| \tag {*}

для любой $n \times n$ матрицы $\mathbf{R}$ и любой матрицы $\mathbf{S}$ , полученной из $\mathbf{R}$ прибавлением к какой-либо из её строк или столбцов скалярных кратных одной или нескольких других строк или столбцов; и используем этот результат, чтобы показать, что

\left|\mathbf{A}\right| = \lambda ^{n-1}(nx+\lambda ) .

?

Задача 13.3

Пусть $\mathbf{A}$ — невырожденная $n \times n$ матрица. Покажите, что если элементы $\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}^{-1}$ являются целыми числами, то $\left|\mathbf{A}\right| = \pm 1$ .

?

Задача 13.4

Пусть $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times m$ , $\mathbf{U}$ — матрица размера $m \times n$ , $\mathbf{V}$ — матрица размера $n \times m$ , а $\mathbf{W}$ — матрица размера $n \times n$ . Покажите, что если $\mathbf{T}$ невырождена, то

\begin{vmatrix} \mathbf{V} & \mathbf{W} \\ \mathbf{T} & \mathbf{U} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf{U} & \mathbf{T} \\ \mathbf{W} & \mathbf{V} \end{vmatrix} = (-1)^{mn}\left|\mathbf{T}\right|\left|\mathbf{W} - \mathbf{V}\mathbf{T}^{-1}\mathbf{U}\right|.

?

Задача 13.5

(a)(b)

Вычислите определитель $n \times n$ матрицы $\mathbf{A} = \{ a_{ij}\}$ в частном случае $n = 4$ , где

\mathbf{A} = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 4 & 0 & 5 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -6 & 0 \end{smallmatrix}\right) .

Сделайте это каждым из следующих двух способов:

?

(a)

находя и суммируя ненулевые слагаемые в выражении

\sum (-1)^{\phi _{n}(j_{1}, \ldots , j_{n})} a_{1j_{1}} \cdots a_{nj_{n}} \quad \text{или} \quad \sum (-1)^{\phi _{n}(i_{1}, \ldots , i_{n})} a_{i_{1}1} \cdots a_{i_{n}n},

(где $j_{1}, \ldots , j_{n}$ или $i_{1}, \ldots , i_{n}$ — перестановка первых $n$ натуральных чисел, а суммирование ведётся по всем таким перестановкам);

(b)

путём повторного разложения по алгебраическим дополнениям --- используя (общую) формулу

\left|\mathbf{A}\right| = \sum _{j=1}^{n} a_{ij}\alpha _{ij} \quad \text{или} \quad \left|\mathbf{A}\right| = \sum _{i=1}^{n} a_{ij}\alpha _{ij}

(где $i$ или $j$ соответственно — произвольное целое число от 1 до $n$ включительно, а $\alpha_{ij}$ — алгебраическое дополнение $a_{ij}$ ), чтобы разложить $\left|\mathbf{A}\right|$ (в частном случае) через определители $3 \times 3$ матриц, разложить определители $3 \times 3$ матриц через определители $2 \times 2$ матриц и, наконец, разложить определители $2 \times 2$ матриц через определители $1 \times 1$ матриц.

Задача 13.6

Пусть $\mathbf{A} = \{ a_{ij}\}$ — матрица размера $n \times n$ . Проверьте, что если $\mathbf{A}$ симметрична, то матрица алгебраических дополнений (матрицы $\mathbf{A}$ ) также симметрична.

?

Задача 13.7

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $n \times n$ .

?

(a)

Покажите, что если $\mathbf{A}$ вырождена, то $\operatorname {adj}(\mathbf{A})$ также вырождена.

(b)

Покажите, что $\operatorname {det}\left(\operatorname {adj}(\mathbf{A})\right) = [\operatorname {det}\left(\mathbf{A}\right)]^{n-1}$ .

Задача 13.8

Для любой невырожденной $n \times n$ матрицы $\mathbf{A}$

\mathbf{A}^{-1} = (1/\left|\mathbf{A}\right|) \operatorname {adj}(\mathbf{A}). \tag {*}

Используя формулу (*), проверьте, что для любой невырожденной $2 \times 2$ матрицы $\mathbf{A} = \left(\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{smallmatrix}\right)$

\mathbf{A}^{-1} = (1/k) \left(\begin{smallmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{smallmatrix}\right), \tag {**}

где $k = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ .

?

Задача 13.9

(a)(b)(c)

Пусть

\mathbf{A} = \left(\begin{smallmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & -4 & 5 \end{smallmatrix}\right) .

?

(a)

Вычислите алгебраическое дополнение каждого элемента $\mathbf{A}$ .

(b)

Вычислите $\left|\mathbf{A}\right|$ , раскладывая $\left|\mathbf{A}\right|$ по алгебраическим дополнениям элементов второй строки $\mathbf{A}$ , а затем проверьте ответ, разложив $\left|\mathbf{A}\right|$ по алгебраическим дополнениям элементов второго столбца $\mathbf{A}$ .

(c)

Используя формулу (*) упражнения 8, вычислите $\mathbf{A}^{-1}$ .

Задача 13.10

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A} = \{ a_{ij}\}$ — матрица размера $n \times n$ (где $n \geq 2$ ), а $\alpha_{ij}$ — алгебраическое дополнение $a_{ij}$ .

?

(a)

Покажите [например, используя результат части (b) упражнения 11.3], что если $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) = n-1$ , то существует скаляр $c$ , такой что $\operatorname {adj}(\mathbf{A}) = c\mathbf{x}\mathbf{y}'$ , где $\mathbf{x} = \{ x_{j}\}$ и $\mathbf{y} = \{ y_{i}\}$ — произвольные ненулевые $n$ -мерные вектор-столбцы, такие что $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}$ и $\mathbf{A}'\mathbf{y} = \mathbf{0}$ . Покажите также, что $c$ ненулевой и представим в виде $c = \alpha_{ij}/(y_{i}x_{j})$ для любых $i$ и $j$ , таких что $y_{i} \neq 0$ и $x_{j} \neq 0$ .

(b)

Покажите, что если $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) \leq n-2$ , то $\operatorname {adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{0}$ .

Задача 13.11

Пусть $\mathbf{A}$ — невырожденная $n \times n$ матрица, а $\mathbf{b}$ — вектор размера $n \times 1$ . Покажите, что решение линейной системы $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ (относительно $\mathbf{x}$ ) — это $n \times 1$ вектор, $j$ -я компонента которого равна

\left|\mathbf{A}_{j}\right| / \left|\mathbf{A}\right|,

где $\mathbf{A}_{j}$ — матрица, полученная из $\mathbf{A}$ подстановкой $\mathbf{b}$ вместо $j$ -го столбца $\mathbf{A}$ ( $j = 1, \ldots , n$ ).

?

Примечание.

?

Этот результат называется правилом Крамера, по имени Габриэля Крамера (1704--1752).

Задача 13.12

(a)(b)

Пусть $c$ — скаляр, $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ — векторы размера $n \times 1$ , а $\mathbf{A}$ — матрица размера $n \times n$ .

?

(a)

Покажите, что

\begin{vmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{y} \\ \mathbf{x}' & c \end{vmatrix} = c\left|\mathbf{A}\right| - \mathbf{x}'\operatorname {adj}(\mathbf{A})\mathbf{y}. \tag {E.1}

(b)

Покажите, что в частном случае, когда $\mathbf{A}$ невырождена, результат (E.1) можно переписать в виде

\begin{vmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{y} \\ \mathbf{x}' & c \end{vmatrix} = \left|\mathbf{A}\right|(c - \mathbf{x}'\mathbf{A}^{-1}\mathbf{y}),

что согласуется с более общим результатом, что для любой невырожденной $n \times n$ матрицы $\mathbf{T}$ , $n \times m$ матрицы $\mathbf{U}$ , $m \times n$ матрицы $\mathbf{V}$ и $m \times m$ матрицы $\mathbf{W}$

\begin{vmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf{W} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T} \end{vmatrix} = \left|\mathbf{T}\right|\left|\mathbf{W} - \mathbf{V}\mathbf{T}^{-1}\mathbf{U}\right|. \tag {*}

Задача 13.13

Пусть $\mathbf{V}_{k}$ — $(n-1) \times (n-1)$ подматрица $n \times n$ матрицы Вандермонда

\mathbf{V} = \left(\begin{smallmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \ldots & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \ldots & x_{2}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \ldots & x_{n}^{n-1} \end{smallmatrix}\right)

(где $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ — произвольные скаляры), полученная вычёркиванием $k$ -й строки и $n$ -го (последнего) столбца (матрицы $\mathbf{V}$ ). Покажите, что

\left|\mathbf{V}\right| = \left|\mathbf{V}_{k}\right|(-1)^{n-k} \prod _{i \neq k} (x_{k} - x_{i}).

?

Задача 13.14

Покажите, что для $n \times n$ матриц $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$

\operatorname {adj}(\mathbf{A}\mathbf{B}) = \operatorname {adj}(\mathbf{B})\operatorname {adj}(\mathbf{A}).

?

Примечание.

?

Используйте формулу Бине--Коши, чтобы установить, что $ij$ -й элемент $\operatorname {adj}(\mathbf{A}\mathbf{B})$ равен $ij$ -му элементу $\operatorname {adj}(\mathbf{B})\operatorname {adj}(\mathbf{A})$ .

Определители