Линейные системы: решения

Покажите, что для любой матрицы $\mathbf{A}$

Покажите, что если $\mathbf{X}_{1}, \ldots , \mathbf{X}_{k}$ — решения линейной системы $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$ (относительно $\mathbf{X}$), а $c_{1}, \ldots , c_{k}$ — скаляры, такие что $\sum_{i=1}^{k} c_{i} = 1$, то матрица $\sum_{i=1}^{k} c_{i}\mathbf{X}_{i}$ также является решением $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$.

Пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{Z}$ — матрицы размера $n \times n$. Предположим, что $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) = n-1$, и пусть $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ — ненулевые $n$-мерные вектор-столбцы, такие что $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}$ и $\mathbf{A}'\mathbf{y} = \mathbf{0}$.

Предположим, что $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$ — неоднородная линейная система (относительно $n \times p$ матрицы $\mathbf{X}$). Пусть $s = p[n - \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right)]$, и возьмём $\mathbf{Z}_{1}, \ldots , \mathbf{Z}_{s}$ в качестве произвольных $s$ матриц размера $n \times p$, образующих базис пространства решений однородной линейной системы $\mathbf{A}\mathbf{Z} = \mathbf{0}$ (относительно $n \times p$ матрицы $\mathbf{Z}$). Пусть $\mathbf{X}_{0}$ — произвольное частное решение системы $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$, и положим $\mathbf{X}_{i} = \mathbf{X}_{0} + \mathbf{Z}_{i}$ ($i = 1, \ldots , s$).

Предположим, что $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$ — совместная линейная система (относительно $n \times p$ матрицы $\mathbf{X}$). Покажите, что если $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) < n$ и $\operatorname {rk}\left(\mathbf{B}\right) < p$, то существует решение $\mathbf{X}^{*}$ системы $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$, не представимое в виде $\mathbf{X}^{*} = \mathbf{G}\mathbf{B}$ ни для какой обобщённой обратной матрицы $\mathbf{G}$ матрицы $\mathbf{A}$.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times n$, а $\mathbf{B}$ — матрица размера $m \times p$. Если $\mathbf{C}$ — матрица размера $r \times m$ полного ранга по столбцам (то есть ранга $m$), то линейная система $\mathbf{C}\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{C}\mathbf{B}$ эквивалентна линейной системе $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$ (относительно $\mathbf{X}$). Используя результат части (b) упражнения 7.1, обобщите этот результат.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times n$, $\mathbf{B}$ — матрица размера $m \times p$, а $\mathbf{C}$ — матрица размера $q \times m$, и предположим, что $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$ и $\mathbf{C}\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{C}\mathbf{B}$ — линейные системы (относительно $\mathbf{X}$).

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $q \times n$, $\mathbf{B}$ — матрица размера $m \times p$, а $\mathbf{C}$ — матрица размера $m \times q$; и предположим, что линейная система $\mathbf{C}\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$ (относительно $n \times p$ матрицы $\mathbf{X}$) совместна. Покажите, что значение $\mathbf{A}\mathbf{X}$ одно и то же для каждого решения $\mathbf{C}\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {rk}\left(\mathbf{C}\mathbf{A}\right) = \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right)$.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times n$, $\mathbf{B}$ — матрица размера $m \times p$, а $\mathbf{K}$ — матрица размера $n \times q$. Проверьте (1), что если $\mathbf{X}^{*}$ и $\mathbf{L}^{*}$ — соответственно первая и вторая части произвольного решения линейной системы

(относительно $\mathbf{X}$ и $\mathbf{L}$), то $\mathbf{X}^{*}$ является решением линейной системы $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$ (относительно $\mathbf{X}$), а $\mathbf{L}^{*} = \mathbf{K}'\mathbf{X}^{*}$, и, обратно, что если $\mathbf{X}^{*}$ — произвольное решение $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$, то $\mathbf{X}^{*}$ и $\mathbf{K}'\mathbf{X}^{*}$ являются соответственно первой и второй частями некоторого решения линейной системы (*); и (2) (ограничиваясь частным случаем $m = n$), что если $\mathbf{X}^{*}$ и $\mathbf{L}^{*}$ — соответственно первая и вторая части произвольного решения линейной системы

(относительно $\mathbf{X}$ и $\mathbf{L}$), то $\mathbf{X}^{*}$ является решением линейной системы $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$ (относительно $\mathbf{X}$), а $\mathbf{L}^{*} = \mathbf{K}'\mathbf{X}^{*}$, и, обратно, что если $\mathbf{X}^{*}$ — произвольное решение $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$, то $\mathbf{X}^{*}$ и $\mathbf{K}'\mathbf{X}^{*}$ являются соответственно первой и второй частями некоторого решения линейной системы (**).