Идемпотентные матрицы

Покажите, что если $n \times n$ матрица $\mathbf{A}$ идемпотентна, то

Пусть $\mathbf{P}$ — матрица размера $m \times n$ (где $m \geq n$), такая что $\mathbf{P}'\mathbf{P} = \mathbf{I}_{n}$, или, что то же самое, $m \times n$ матрица со столбцами, образующими ортонормированную систему (относительно обычного скалярного произведения). Покажите, что симметрическая $m \times m$ матрица $\mathbf{P}\mathbf{P}'$ идемпотентна.

Покажите, что для любой симметрической идемпотентной матрицы $\mathbf{A}$ матрица $\mathbf{I} - 2\mathbf{A}$ ортогональна.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times n$. Покажите, что если $\mathbf{A}'\mathbf{A}$ идемпотентна, то $\mathbf{A}\mathbf{A}'$ также идемпотентна.

Пусть $\mathbf{A}$ — симметрическая матрица, а $k$ — целое число, $k \geq 1$. Покажите, что если $\mathbf{A}^{k+1} = \mathbf{A}^{k}$, то $\mathbf{A}$ идемпотентна.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $n \times n$. Покажите, что $(1/2)(\mathbf{I} + \mathbf{A})$ идемпотентна тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}$ инволютивна (определение инволютивности дано в упражнении 8.2).

Пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — симметрические идемпотентные матрицы размера $n \times n$. Покажите, что если $\mathcal{C}(\mathbf{A}) = \mathcal{C}(\mathbf{B})$, то $\mathbf{A} = \mathbf{B}$.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размера $r \times m$, а $\mathbf{B}$ — матрица размера $m \times n$.

Пусть $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times p$, $\mathbf{U}$ — матрица размера $m \times q$, $\mathbf{V}$ — матрица размера $n \times p$, а $\mathbf{W}$ — матрица размера $n \times q$; положим $\mathbf{Q} = \mathbf{W} - \mathbf{V}\mathbf{T}^{-}\mathbf{U}$. Используя результат части (a) упражнения 9.8, а также результат, что (для любой матрицы $\mathbf{B}$) $\operatorname {rk}\left(\mathbf{B}\right) = \operatorname {tr}(\mathbf{B}^{-}\mathbf{B}) = \operatorname {tr}(\mathbf{B}\mathbf{B}^{-})$, покажите, что если

1. $(\mathbf{I} - \mathbf{T}\mathbf{T}^{-})\mathbf{U}(\mathbf{I} - \mathbf{Q}^{-}\mathbf{Q}) = \mathbf{0}$,

2. $(\mathbf{I} - \mathbf{Q}\mathbf{Q}^{-})\mathbf{V}(\mathbf{I} - \mathbf{T}^{-}\mathbf{T}) = \mathbf{0}$, и

3. $(\mathbf{I} - \mathbf{T}\mathbf{T}^{-})\mathbf{U}\mathbf{Q}^{-}\mathbf{V}(\mathbf{I} - \mathbf{T}^{-}\mathbf{T}) = \mathbf{0}$, то, для $\mathbf{A} = \left(\begin{smallmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W} \end{smallmatrix}\right)$,

Пусть $\mathbf{T}$ — матрица размера $m \times p$, $\mathbf{U}$ — матрица размера $m \times q$, $\mathbf{V}$ — матрица размера $n \times p$, а $\mathbf{W}$ — матрица размера $n \times q$; положим $\mathbf{A} = \left(\begin{smallmatrix} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W} \end{smallmatrix}\right)$ и $\mathbf{Q} = \mathbf{W} - \mathbf{V}\mathbf{T}^{-}\mathbf{U}$. Далее, пусть