Банк задач по математике

Задача 1.1

Покажите, что для любых матриц $A$ , $B$ и $C$ (одинаковых размеров)

(A+B)+C = (C+A)+B.

?

Задача 1.2

Для любых скаляров $c$ и $k$ и любой матрицы $A$

c(kA) = (ck)A = (kc)A = k(cA), \tag {*}

а для любого скаляра $c$ , матрицы $A$ размера $m \times n$ и матрицы $B$ размера $n \times p$

cAB = (cA)B = A(cB). \tag {**}

Используя результаты (*) и (**) (или иные средства), покажите, что для любой матрицы $A$ размера $m \times n$ , любой матрицы $B$ размера $n \times p$ и произвольных скаляров $c$ и $k$

(cA)(kB) = (ck)AB.

?

Задача 1.3

(a)(b)

?

(a)

Проверьте ассоциативность умножения матриц; то есть покажите, что для любой матрицы $A = \left\{ a_{ij}\right\}$ размера $m \times n$ , матрицы $B = \left\{ b_{jk}\right\}$ размера $n \times q$ и матрицы $C = \left\{ c_{ks}\right\}$ размера $q \times r$ выполняется $A(BC) = (AB)C$ .

(b)

Проверьте дистрибутивность умножения матриц относительно сложения; то есть покажите, что для любой матрицы $A = \left\{ a_{ij}\right\}$ размера $m \times n$ и матриц $B = \left\{ b_{jk}\right\}$ и $C = \left\{ c_{jk}\right\}$ размера $n \times q$ выполняется $A(B+C) = AB+AC$ .

Задача 1.4

(a)(b)(c)(d)

Пусть $A = \left\{ a_{ij}\right\}$ — матрица размера $m \times n$ , а $B = \left\{ b_{ij}\right\}$ — матрица размера $p \times m$ .

?

(a)

Пусть $\overrightarrow {x} = \left\{ x_i\right\}$ — $n$ -мерный вектор-столбец. Покажите, что $i$ -й элемент $p$ -мерного вектора-столбца $BA\overrightarrow {x}$ равен

\sum _{j=1}^{m} b_{ij} \sum _{k=1}^{n} a_{jk} x_k. \tag {E.1}

(b)

Пусть $X = \left\{ x_{ij}\right\}$ — матрица размера $n \times q$ . Обобщите формулу (E.1), выразив элемент $ir$ матрицы $BAX$ размера $p \times q$ через элементы $A$ , $B$ и $X$ .

(c)

Пусть $\overrightarrow {x} = \left\{ x_i\right\}$ — $n$ -мерный вектор-столбец, а $C = \left\{ c_{ij}\right\}$ — матрица размера $q \times p$ . Обобщите формулу (E.1), выразив $i$ -й элемент $q$ -мерного вектора-столбца $CBA\overrightarrow {x}$ через элементы $A$ , $B$ , $C$ и $\overrightarrow {x}$ .

(d)

Пусть $\overrightarrow {y} = \left\{ y_i\right\}$ — $p$ -мерный вектор-столбец. Выразите $i$ -й элемент $n$ -мерного вектора-строки $\overrightarrow {y}'BA$ через элементы $A$ , $B$ и $\overrightarrow {y}$ .

Задача 1.5

Пусть $A$ и $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Покажите, что

(A+B)(A-B) = A^2 - B^2

тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ коммутируют.

?

Задача 1.6

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что произведение $AB$ двух симметрических матриц $A$ и $B$ размера $n \times n$ само симметрично тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ коммутируют.

(b)

Приведите пример двух симметрических матриц (одного порядка), произведение которых не симметрично.

Задача 1.7

(a)(b)

?

(a)

Проверьте, что транспонированная верхнетреугольная матрица является нижнетреугольной, и

(b)

проверьте, что сумма двух верхнетреугольных матриц (одного порядка) является верхнетреугольной.

Задача 1.8

(a)(b)(c)

Пусть $A = \left\{ a_{ij}\right\}$ — верхнетреугольная матрица размера $n \times n$ , и предположим, что диагональные элементы $A$ равны нулю (то есть $a_{11} = a_{22} = \cdots = a_{nn} = 0$ ). Далее, пусть $p$ — произвольное положительное целое число.

?

(a)

Покажите, что при $i = 1, \ldots , n$ и $j = 1, \ldots , \min (n, i+p-1)$ элемент $ij$ матрицы $A^p$ равен нулю.

(b)

Покажите, что при $i \geq n-p+1$ $i$ -я строка матрицы $A^p$ нулевая.

(c)

Покажите, что при $p \geq n$ $A^p = 0$ .

Матрицы