Свойства спектров

Если $\operatorname {spec} A$ — спектр $A$ (множество комплексных чисел $\lambda$ таких, что $A - \lambda$ не обратим), если $\Pi (A)$ — множество комплексных чисел $\lambda$ таких, что $A - \lambda$ не ограничен снизу, и если $\Gamma (A)$ — множество комплексных чисел $\lambda$ таких, что замыкание области значений $A - \lambda$ есть собственное подпространство $\mathbf{H}$ (то есть отличное от $\mathbf{H}$), то $\operatorname {spec} A = \Pi (A) \cup \Gamma (A)$. Множество $\Pi (A)$ называется аппроксимативным точечным спектром $A$; число $\lambda$ принадлежит $\Pi (A)$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $\left\{ f_n\right\}$ единичных векторов такая, что $\left\| (A-\lambda )f_n\right\| \to 0$. Важное подмножество аппроксимативного точечного спектра — точечный спектр $\Pi_0(A)$; число $\lambda$ принадлежит ему тогда и только тогда, когда существует единичный вектор $f$ такой, что $Af = \lambda f$ (то есть $\Pi_0(A)$ — множество всех собственных значений $A$). Множество $\Gamma (A)$ называется спектром сжатия $A$.

Утверждение вроде того, что если $A$ — оператор, а $p$ — многочлен, то $\operatorname {spec} p(A) = p(\operatorname {spec} A)$, называется теоремой об отображении спектра; другие её примеры касаются функций, отличных от многочленов, таких как обращение, сопряжение и широкие классы аналитических функций.

$\Pi (A)$ — множество комплексных чисел $\lambda$ таких, что $A - \lambda$ не ограничен снизу (аппроксимативный точечный спектр); $\Pi_0(A) \subset \Pi (A)$ — множество комплексных чисел $\lambda$ таких, что $Af = \lambda f$ при некотором единичном векторе $f$ (точечный спектр, то есть множество собственных значений $A$); $\Gamma (A)$ — множество комплексных чисел $\lambda$ таких, что замыкание области значений $A - \lambda$ есть собственное подпространство $\mathbf{H}$ (спектр сжатия). Вместе, $\operatorname {spec} A = \Pi (A) \cup \Gamma (A)$.

Два оператора $A$ и $B$ называются подобными, если существует обратимый оператор $P$ такой, что $P^{-1}AP = B$.

$\Pi (A)$ — множество комплексных чисел $\lambda$ таких, что $A - \lambda$ не ограничен снизу (аппроксимативный точечный спектр); $\Pi_0(A) \subset \Pi (A)$ — множество комплексных чисел $\lambda$ таких, что $Af = \lambda f$ при некотором единичном векторе $f$ (точечный спектр, то есть множество собственных значений $A$); $\Gamma (A)$ — множество комплексных чисел $\lambda$ таких, что замыкание области значений $A - \lambda$ есть собственное подпространство $\mathbf{H}$ (спектр сжатия). Вместе, $\operatorname {spec} A = \Pi (A) \cup \Gamma (A)$.

Если $A$ и $B$ — операторы, и если хотя бы один из них обратим, то $AB$ и $BA$ подобны (для доказательства примените $BA = A^{-1}(AB)A$, если обратим $A$, или $AB = B^{-1}(BA)B$, если обратим $B$). Поскольку подобные операторы имеют один и тот же спектр (Задача 75), отсюда следует, что если хотя бы один из $A$ и $B$ обратим, то $AB$ и $BA$ имеют один и тот же спектр. В конечномерном случае известно больше: без каких-либо предположений об обратимости $AB$ и $BA$ всегда имеют один и тот же характеристический многочлен. Если ни $A$, ни $B$ не обратимы, то в бесконечномерном случае эти два произведения не обязаны иметь одинаковый спектр, но их спектры не могут различаться сильно.

$\Pi (A)$, аппроксимативный точечный спектр $A$, — это множество комплексных чисел $\lambda$ таких, что $A - \lambda$ не ограничен снизу; эквивалентно, $\lambda \in \Pi (A)$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $\left\{ f_n\right\}$ единичных векторов такая, что $\left\| (A-\lambda )f_n\right\| \to 0$.

$\Pi (A)$, аппроксимативный точечный спектр $A$, — это множество комплексных чисел $\lambda$ таких, что $A - \lambda$ не ограничен снизу; эквивалентно, $\lambda \in \Pi (A)$ тогда и только тогда, когда существует последовательность $\left\{ f_n\right\}$ единичных векторов такая, что $\left\| (A-\lambda )f_n\right\| \to 0$.