Операторные матрицы

Если $A$, $B$, $C$ и $D$ — попарно перестановочные операторы на гильбертовом пространстве, то необходимое и достаточное условие обратимости операторной матрицы

состоит в том, что формальный определитель $AD - BC$ обратим.

Если $C$ и $D$ перестановочны, и если $D$ обратим, то необходимое и достаточное условие обратимости

состоит в том, что $AD - BC$ обратим. Постройте примеры, показывающие, что если отбросить предположение об обратимости $D$, то условие становится ни необходимым, ни достаточным.

Если $A$, $B$ и $D$ — операторы на гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$, то операторная матрица

индуцирует (является) оператор на $\mathbf{H} \oplus \mathbf{H}$, и если и $A$, и $D$ обратимы, то $M$ обратим. Обратное (если $M$ обратим, то $A$ и $D$ обратимы) неверно. Если $\mathbf{H}$ и $\mathbf{K}$ — гильбертовы пространства, с $\dim \mathbf{H} < \infty$, и если

— обратимый оператор на $\mathbf{H} \oplus \mathbf{K}$, то и $A$, и $D$ обратимы. Следствие: спектр $M$ есть объединение спектров $A$ и $D$.