Операторы умножения

Пусть $\mathbf{H}$ — гильбертово пространство, и пусть $\left\{ e_j\right\}$ — семейство векторов, образующих ортонормированный базис для $\mathbf{H}$. Оператор $A$ называется диагональным, если $Ae_j$ является скалярным кратным $e_j$, скажем $Ae_j = \alpha_j e_j$, для каждого $j$; семейство $\left\{ \alpha_j\right\}$ можно по праву назвать диагональю оператора $A$. Иногда удобно использовать символ $\operatorname {diag}\left\langle \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots \right\rangle$ для обозначения диагонального оператора с указанными диагональными элементами.

Множество всех ограниченных последовательностей $\left\{ \alpha_n\right\}$ комплексных чисел является алгеброй (с покоординатными операциями), с единицей ($\alpha_n = 1$ для всех $n$), с сопряжением ($\left\{ \alpha_n\right\} \to \left\{ \alpha_n^{*}\right\}$) и с нормой ($\left\| \left\{ \alpha_n\right\} \right\| = \sup_n \left|\alpha_n\right|$). Ограниченная последовательность $\left\{ \alpha_n\right\}$ называется обратимой, если она имеет обратную в этой алгебре, то есть если существует ограниченная последовательность $\left\{ \beta_n\right\}$ такая, что $\alpha_n \beta_n = 1$ для всех $n$. Необходимое и достаточное условие для этого состоит в том, что $\left\{ \alpha_n\right\}$ отделена от $0$, то есть что существует положительное число $\delta$ такое, что $\left|\alpha_n\right| \geq \delta$ для всех $n$.

Пусть $X$ — пространство с мерой $\mu$. Если $\varphi$ — комплекснозначная ограниченная (то есть существенно ограниченная) измеримая функция на $X$, то оператором умножения (или просто умножением, для краткости), индуцированным $\varphi$, называется оператор $A$ на $L^{2}\left(\mu \right)$, определённый равенством $(Af)(x) = \varphi (x) f(x)$ для всех $x$ из $X$. (Здесь, как и всюду в теории меры, две функции отождествляются, если они различаются лишь на множестве меры нуль. Это относится как к ограниченным $\varphi$, так и к квадратично интегрируемым $f$.) Если $X$ — множество всех натуральных чисел, а $\mu$ — считающая мера (мера каждого множества равна числу его элементов), то операторы умножения сводятся к диагональным операторам.

Множество всех ограниченных измеримых функций (отождествляемых по модулю множеств меры нуль) является алгеброй (с покоординатными операциями), с единицей ($\varphi (x) = 1$ для всех $x$), с сопряжением ($\varphi \mapsto \varphi^{*}$) и с нормой ($\left\| \varphi \right\|_{\infty }$). Ограниченная измеримая функция называется обратимой, если она имеет обратную в этой алгебре, то есть если существует ограниченная измеримая функция $\psi$ такая, что $\varphi (x)\psi (x) = 1$ для почти всех $x$. Необходимое и достаточное условие для этого состоит в том, что $\varphi$ отделена от $0$ почти всюду, то есть что существует положительное число $\delta$ такое, что $\left|\varphi (x)\right| \geq \delta$ для почти всех $x$.

Существенной областью значений функции $\varphi$ называется, по определению, множество всех комплексных чисел $\lambda$ таких, что для каждой окрестности $N$ числа $\lambda$ множество $\varphi^{-1}(N)$ имеет положительную меру.

Если функция $\varphi$ умножает $L^{2}$ в себя, то $\varphi$ обязательно ограничена (Решение 66), и, следовательно, умножение на $\varphi$ обязательно является оператором на $L^{2}$. Эта задача спрашивает, верны ли аналоги этих утверждений для функциональных гильбертовых пространств.

Функция $\varphi$ на множестве $X$ называется мультипликатором функционального гильбертова пространства $\mathbf{H}$ над $X$, если $\varphi \cdot f \in \mathbf{H}$ для каждого $f$ из $\mathbf{H}$. Решение 68 показывает, что всякий мультипликатор (обязательно) ограничен.

Сказать, что каждый элемент $\mathbf{H}$ является мультипликатором, — то же самое, что сказать, что $\mathbf{H}$ замкнуто относительно умножения, то есть что $\mathbf{H}$ является алгеброй. Постоянная функция $1$ является мультипликатором каждого $\mathbf{H}$; следовательно, сказать, что каждый мультипликатор $\mathbf{H}$ принадлежит $\mathbf{H}$, — то же самое, что сказать, что $1 \in \mathbf{H}$. Если $1 \in \mathbf{H}$, то, конечно, алгебра $\mathbf{H}$ имеет единицу, но тривиальные примеры показывают, что обратное неверно. Таким образом, построение бесконечномерного функционального гильбертова пространства, являющегося алгеброй с единицей (относительно поточечного функционального умножения), — это не совсем то, но почти то, о чём просит задача.