Ограниченность и обратимость

Множество $\mathbf{Q}$ линейных преобразований (из $\mathbf{H}$ в $\mathbf{K}$) называется слабо ограниченным, если для каждого $f$ в $\mathbf{H}$ и каждого $g$ в $\mathbf{K}$ существует положительная константа $\alpha (f,g)$ такая, что $\left| \left\langle Af, g \right\rangle \right| \leq \alpha (f,g)$ для всех $A$ в $\mathbf{Q}$. Множество $\mathbf{Q}$ называется сильно ограниченным, если для каждого $f$ в $\mathbf{H}$ существует положительная константа $\beta (f)$ такая, что $\left\| Af\right\| \leq \beta (f)$ для всех $A$ в $\mathbf{Q}$. Всякое ограниченное множество сильно ограничено, и всякое сильно ограниченное множество слабо ограничено. Сказать, что $\mathbf{Q}$ ограничено, означает, что существует константа $\gamma$ такая, что $\left\| A\right\| \leq \gamma$ для всех $A$ в $\mathbf{Q}$.

Ограниченное линейное преобразование $A$ из гильбертова пространства $\mathbf{H}$ в гильбертово пространство $\mathbf{K}$ называется обратимым, если существует ограниченное линейное преобразование $B$ (из $\mathbf{K}$ в $\mathbf{H}$) такое, что $AB = 1$ (тождественный оператор на $\mathbf{K}$) и $BA = 1$ (тождественный оператор на $\mathbf{H}$).

Дополнением подпространства $\mathbf{M}$ в гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$ называется подпространство $\mathbf{N}$ такое, что $\mathbf{M} \cap \mathbf{N} = 0$ и $\mathbf{M} \vee \mathbf{N} = \mathbf{H}$.

Подмножество гильбертова (или, более общо, пространства со скалярным произведением) пространства называется тотальным, если его линейная оболочка совпадает со всем пространством. Тотальное ортонормированное множество всегда максимально, то есть не содержится собственным образом ни в каком большем ортонормированном множестве.

Графиком линейного преобразования $A$ (не обязательно ограниченного) между пространствами со скалярным произведением $\mathbf{H}$ и $\mathbf{K}$ (не обязательно полными) называется множество всех тех упорядоченных пар $\left\langle f, g \right\rangle$ (элементов $\mathbf{H} \oplus \mathbf{K}$), для которых $Af = g$. Линейное преобразование называется замкнутым, если его график является замкнутым множеством.

Оператор $A$ называется "леводелимым" на оператор $B$, если существует оператор $X$ такой, что $A = BX$.

Линейное преобразование $A$ (не обязательно ограниченное) на пространстве со скалярным произведением $\mathbf{H}$ (не обязательно полном) называется симметричным, если $\left\langle Af, g \right\rangle = \left\langle f, Ag \right\rangle$ для всех $f$ и $g$ из $\mathbf{H}$. (Используется этот нейтральный термин, а не "эрмитово" или "самосопряжённое", потому что в обычном подходе к эрмитовым операторам, $A = A^{*}$, ограниченность является предположением, необходимым уже для самой формулировки определения.)