Бесконечные матрицы

У каждого оператора есть столбцово-финитная матрица. Точнее, если $A$ — оператор в гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$, то существует ортонормированный базис $\left\{ e_j\right\}$ пространства $\mathbf{H}$, такой что для каждого $j$ элемент матрицы $\left\langle Ae_j, e_i \right\rangle$ обращается в нуль для всех, кроме конечного числа, $i$.

Если $\alpha_{ij} \geq 0$, если $p_i > 0$ и $q_j > 0$ $(i, j = 0, 1, 2, \ldots )$, и если $\beta$ и $\gamma$ — положительные числа, такие что

то найдётся оператор $A$ (разумеется, на сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве) с $\left\| A\right\|^2 \leq \beta \gamma$ и с матрицей $\left\langle \alpha_{ij} \right\rangle$ (относительно подходящего ортонормированного базиса).

Существует оператор $A$ (на сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве) с $\left\| A\right\| \leq \pi$ и с матрицей $\left\langle 1/(i+j+1) \right\rangle$ $(i, j = 0, 1, 2, \ldots )$.

Матрица $\left\langle 2^{-(i+j+1)} \right\rangle$ ограничена. Чему равна её норма?

Положительна ли матрица Гильберта?

При каких условиях на последовательность $\left\{ f_n\right\}$ векторов гильбертова пространства $\mathbf{H}$ ряд $\sum_n \alpha_n f_n$ сходится в $\mathbf{H}$ для каждой последовательности $\alpha$ из $l^2$?