Аналитические функции

Область $D$ — это непустое открытое связное подмножество комплексной плоскости. Пусть $\mu$ — плоская мера Лебега на $D$, и пусть $A^{2}(D)$ — множество всех комплекснозначных функций, аналитических всюду на $D$ и квадратично интегрируемых относительно $\mu$. Множество $A^{2}(D)$ является векторным пространством относительно поточечного сложения и умножения на скаляр, и оно является пространством со скалярным произведением, определяемым формулой

Когда $D$ — открытый единичный круг, $D = \left\{ z : \left|z\right| < 1\right\}$, соответствующее пространство функций обозначается просто через $A^{2}$.

Пусть $C$ — единичная окружность на комплексной плоскости, $C = \left\{ z : \left|z\right| = 1\right\}$, и пусть $\mu$ — мера Лебега (продолжение длины дуги) на борелевских множествах $C$, нормированная так, что $\mu (C) = 1$. Если $e_{n}(z) = z^{n}$ при $\left|z\right| = 1$ ($n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$), то функции $e_{n}$ образуют ортонормированный базис $L^{2}(\mu )$. Пространство $H^{2}$, по определению, — это подпространство $L^{2}$, порождённое $e_{n}$ с $n \geq 0$; эквивалентно, $H^{2}$ — это ортогональное дополнение в $L^{2}$ к $\left\{ e_{-1}, e_{-2}, e_{-3}, \ldots \right\}$. Элементы $H^{2}$ называются аналитическими элементами $L^{2}$. Все утверждения вида "$f = 0$" или "$f$ вещественна" следует понимать как выполненные почти всюду.

Функциональное гильбертово пространство — это гильбертово пространство $\mathbf{H}$ комплекснозначных функций на (непустом) множестве $X$; гильбертова структура $\mathbf{H}$ связана с $X$ двумя способами. Требуется, чтобы (1) если $f$ и $g$ лежат в $\mathbf{H}$, а $\alpha$ и $\beta$ — скаляры, то $(\alpha f + \beta g)(x) = \alpha f(x) + \beta g(x)$ для каждого $x$ из $X$, то есть функционалы вычисления значения на $\mathbf{H}$ линейны, и (2) каждому $x$ из $X$ соответствует положительная постоянная $\gamma_{x}$, такая что $\left|f(x)\right| \leq \gamma_{x} \left\| f\right\|$ для всех $f$ из $\mathbf{H}$, то есть функционалы вычисления значения на $\mathbf{H}$ ограничены.

Если $\mathbf{H}$ — функциональное гильбертово пространство, скажем над $X$, то линейный функционал $f \mapsto f(y)$ на $\mathbf{H}$ ограничен для каждого $y$ из $X$, а значит, для каждого $y$ из $X$ найдётся элемент $K_{y}$ пространства $\mathbf{H}$, такой что $f(y) = \left\langle f, K_{y} \right\rangle$ для всех $f$. Функция $K$ на $X \times X$, определённая формулой $K(x, y) = K_{y}(x)$, называется функцией ядра, или воспроизводящим ядром, пространства $\mathbf{H}$. Функции ядра для $A^{2}$ и для $\tilde{H}^{2}$ известны, соответственно, как ядро Бергмана и ядро Сегё. Если $f \in H^{2}$, его образ $\tilde{f}$ в $\tilde{H}^{2}$ (множестве тех аналитических в единичном круге функций, ряд коэффициентов Тейлора которых квадратично суммируем) можно называть продолжением $f$ внутрь круга.

Если $f$ — элемент функционального гильбертова пространства $\mathbf{H}$, комплексно сопряжённая функция $f^{*}$ может не принадлежать $\mathbf{H}$; пространства $H^{2}$ и $\tilde{H}^{2}$ дают примеры этого. Функциональное гильбертово пространство называется самосопряжённым, если оно замкнуто относительно образования комплексно сопряжённых функций; примером служит пространство последовательностей $l^{2}$. Более тонкий пример — множество всех квадратично интегрируемых комплексных гармонических функций в единичном круге (функций вида $u + iv$, где каждая из $u$ и $v$ — вещественная часть некоторой аналитической функции).

Если ответ утвердителен для всех $f$ из пространства, то стандартный приём поляризации показывает, что $\left\langle f^{*}, g^{*} \right\rangle = \left\langle f, g \right\rangle^{*}$ для всех $f$ и $g$.

Связь между $u$ и $v$ выражают, говоря, что они сопряжённые функции; в альтернативной терминологии $v$ — преобразование Гильберта функции $u$.