3

Слабая топология

[12/100%]
Показать
LaTeX
Задача 19

Всякое слабо замкнутое множество сильно замкнуто, но обратное неверно. Тем не менее всякое подпространство гильбертова пространства (то есть всякое сильно замкнутое линейное многообразие) слабо замкнуто.

?
Примечание.
?

Метрическую топологию (или топологию по норме) гильбертова пространства часто называют сильной топологией. Базой сильной топологии служит совокупность открытых шаров, то есть множеств вида {f:∥f−f0∥<ε}\left\{ f : \left\| f - f_0\right\| < \varepsilon \right\}, где f0f_0 (центр) — вектор, а ε\varepsilon (радиус) — положительное число.

Предбазой (но не базой) слабой топологии служит совокупность всех множеств вида {f:∣⟨f−f0,g0⟩∣<ε}\left\{ f : \left| \left\langle f - f_0, g_0 \right\rangle \right| < \varepsilon \right\}. Отсюда следует, что базой слабой топологии служит совокупность всех множеств вида {f:∣⟨f−f0,gi⟩∣<ε,i=1,…,k}\left\{ f : \left| \left\langle f - f_0, g_i \right\rangle \right| < \varepsilon , i = 1, \ldots , k\right\}, где kk — натуральное число, f0,g1,…,gkf_0, g_1, \ldots , g_k — векторы, а ε\varepsilon — положительное число.

Последовательность или сеть {fn}\left\{ f_n\right\} слабо сходится к ff тогда и только тогда, когда ⟨fn,g⟩→⟨f,g⟩\left\langle f_n, g \right\rangle \to \left\langle f, g \right\rangle для каждого gg.

Задача 20

Если fn→ff_n \to f (слабо) и ∥fn∥→∥f∥\left\| f_n\right\| \to \left\| f\right\|, то fn→ff_n \to f (сильно).

?
Примечание.
?

Последовательность или сеть {fn}\left\{ f_n\right\} слабо сходится к ff тогда и только тогда, когда ⟨fn,g⟩→⟨f,g⟩\left\langle f_n, g \right\rangle \to \left\langle f, g \right\rangle для каждого gg.

Задача 21

Норма слабо полунепрерывна снизу.

?
Примечание.
?

Явно: если fn→ff_n \to f (слабо), то ∥f∥≤lim inf⁡n∥fn∥\left\| f\right\| \leq \liminf_n \left\| f_n\right\|. Эквивалентно: для каждого ε>0\varepsilon > 0 найдётся n0n_0, такое что ∥f∥≤∥fn∥+ε\left\| f\right\| \leq \left\| f_n\right\| + \varepsilon при всех n≥n0n \geq n_0.

Задача 22

Всякое ли слабо сепарабельное гильбертово пространство сепарабельно?

?
Задача 23

Замкнутый единичный шар в гильбертовом пространстве слабо компактен.

?
Примечание.
?

Этот результат иногда называют теоремой Тихонова--Алаоглу. Он труден настолько же, насколько важен. Он очень важен.

Задача 24

Метризуема ли слабая топология единичного шара в сепарабельном гильбертовом пространстве?

?
Задача 25

Чему равно слабое замыкание единичной сферы (то есть множества всех единичных векторов)? Если множество слабо всюду плотно в гильбертовом пространстве, следует ли отсюда, что его пересечение с единичным шаром слабо всюду плотно в единичном шаре?

?
Задача 26

Если слабая топология единичного шара в гильбертовом пространстве H\mathbf{H} метризуема, обязано ли H\mathbf{H} быть сепарабельным?

?
Задача 27

Найти элементарное доказательство принципа равномерной ограниченности для гильбертова пространства.

?
Примечание.
?

В этом контексте доказательство называется "элементарным", если оно не использует теорему Бэра о категориях.

Задача 28

Слабая топология бесконечномерного гильбертова пространства неметризуема.

?
Задача 29

Если ∑n∣αnβn∣<∞\sum_n \left|\alpha_n \beta_n\right| < \infty всякий раз, когда ∑n∣αn∣2<∞\sum_n \left|\alpha_n\right|^2 < \infty, то

∑n∣βn∣2<∞. \sum _n \left|\beta _n\right|^2 < \infty .
?
Задача 30
?
(a)

Ни одно бесконечномерное гильбертово пространство не является слабо полным.

(b)

Какие гильбертовы пространства секвенциально слабо полны?

Примечание.
?

Последовательность {gn}\left\{ g_n\right\} векторов гильбертова пространства называется слабой последовательностью Коши, если числовая последовательность (⟨f,gn⟩)\left( \left\langle f, g_n \right\rangle \right) является последовательностью Коши для каждого ff из пространства. Слабые сети Коши определяются точно так же: достаточно всюду заменить "последовательность" на "сеть". Сказать о гильбертовом пространстве или о его подмножестве, что оно слабо полно, означает, что каждая слабая сеть Коши имеет слабый предел (в рассматриваемом множестве). Если заключение известно лишь для последовательностей, пространство называется секвенциально слабо полным.