Операторы Тёплица

Если $\varphi$ — ограниченная измеримая функция на единичной окружности, то умножение, порождённое $\varphi$ на $L^2$ (относительно нормированной меры Лебега $\mu$), иногда называют оператором Лорана, порождённым $\varphi$, и обозначают $L_\varphi$. Матрицей Лорана называется (двусторонне) бесконечная матрица $\langle \lambda_{ij}\rangle$ такая, что $\lambda_{i+1,j+1} = \lambda_{ij}$ для всех $i$ и $j$ $(=0, \pm 1, \pm 2, \ldots )$ — иными словами, матрица Лорана — это такая матрица, все диагонали которой (параллельные главной) постоянны. Рассматриваемый базис — это $e_n(z) = z^n$, $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$.

Операторы Лорана (умножения) — выделенные операторы на $L^2$ (единичной окружности), а $H^2$ — выделенное подпространство $L^2$; непременно должно произойти нечто интересное, если операторы Лорана сжать на $H^2$. Если $P$ — проекция из $L^2$ на $H^2$, и $\varphi$ — ограниченная измеримая функция, то оператор Тёплица $T_\varphi$, порождённый $\varphi$, определяется формулой $T_\varphi f = P(\varphi \cdot f)$ для всех $f$ из $H^2$. Простейший нетривиальный пример оператора Лорана — двусторонний сдвиг $W \, (= L_{e_1})$; соответственно, простейший нетривиальный пример оператора Тёплица — односторонний сдвиг $U \, (= T_{e_1})$.

Матрицей Тёплица называется (односторонне) бесконечная матрица $\langle \lambda_{ij}\rangle$ такая, что $\lambda_{i+1,j+1} = \lambda_{ij}$ для всех $i$ и $j$ $(=0, 1, 2, \ldots )$ — снова матрица, все диагонали которой (параллельные главной) постоянны; отличие от матрицы Лорана в том, что для матриц Тёплица индексы идут только вперёд, а не в обе стороны.

Отображение Тёплица $\varphi \mapsto T_\varphi$ из функций в операторы не мультипликативно; вопрос в том, мультипликативно ли оно хотя бы по модулю компактных операторов.

Напомним, что каждой $\varphi$ из $H^\infty$ сопоставлена функция $\tilde\varphi$, аналитическая в открытом единичном круге $D$ (задача 35). Спектральное поведение $T_\varphi$ определяется комплексно-аналитическим поведением $\tilde\varphi$, а не просто теоретико-множественным поведением $\varphi$. Вот ещё один способ выразить результат этой задачи: если $\varphi \in L^\infty$, то спектр $L_\varphi$ есть существенный образ $\varphi$; если $\varphi \in H^\infty$, то спектр $T_\varphi$ есть то, что можно назвать существенным образом $\tilde\varphi$.