Коммутаторы

Коммутатором называется оператор вида $PQ - QP$, где $P$ и $Q$ — операторы на гильбертовом пространстве.

Сумма компактного оператора и ненулевого скаляра не является коммутатором. (Доказательство: в фактор-алгебре алгебры всех операторов по идеалу компактных операторов единичный элемент не является коммутатором — по доказательствам Уинтнера и Виландта для задачи 230; переводя обратно на язык операторов, это означает, что тождественный оператор не может равняться сумме коммутатора и компактного оператора, а тем более этого не может и ненулевой скаляр плюс компактный оператор, поскольку деление на этот скаляр сводит дело к предыдущему случаю.) Характеризация Брауна--Пирси для коммутаторов (см. задачу 230) влечёт, что, наоборот, на сепарабельном гильбертовом пространстве каждый оператор, не являющийся суммой ненулевого скаляра и компактного оператора, является коммутатором; в частности, отсюда следует, что тождественный оператор — предел коммутаторов, то есть что существуют последовательности $\left\{ P_n\right\}$ и $\left\{ Q_n\right\}$ операторов такие, что $\left\| 1-(P_nQ_n-Q_nP_n)\right\| \to 0$ при $n \to \infty$ (см. также задачу 235). Приведённый ниже результат — более скромная, более легко доступная версия этого факта.

Если рассматриваемое гильбертово пространство конечномерно, то доказательство $\left\| 1-C\right\| \geq 1$ для всех коммутаторов $C$ — несложное упражнение из линейной алгебры.

Коммутатором называется оператор вида $PQ - QP$, где $P$ и $Q$ — операторы на гильбертовом пространстве. Подпространство $\mathbf{M}$ гильбертова пространства $\mathbf{H}$ называется большим, если $\dim \mathbf{M} = \dim \mathbf{H}$; говорят, что оператор имеет большое ядро, если его ядро, как подпространство, велико.

Самокоммутатором оператора $A$ называется оператор $A^{*}A - AA^{*}$.

Оператор называется ненормальным (abnormal), если никакое ненулевое подпространство ядра оператора $A^{*}A - AA^{*}$ не приводит $A$ (то есть если у него нет нормального прямого слагаемого).

Слово "коммутатор" встречается в двух разных математических контекстах. В теории колец оно означает $PQ - QP$ (аддитивный коммутатор); в теории групп оно означает $PQP^{-1}Q^{-1}$ (мультипликативный коммутатор).

Мультипликативным коммутатором называется оператор вида $PQP^{-1}Q^{-1}$, где $P$ и $Q$ — операторы на гильбертовом пространстве. Задача 238 показывает, что если $\mathbf{H}$ — бесконечномерное гильбертово пространство, то необходимое и достаточное условие того, что скаляр $\alpha$, действующий на $\mathbf{H}$, является мультипликативным коммутатором, состоит в том, что $\left|\alpha \right| = 1$; настоящая задача усиливает этот результат.

Коммутантной подгруппой группы называется наименьшая подгруппа, содержащая все элементы вида $PQP^{-1}Q^{-1}$; иными словами, это подгруппа, порождённая всеми (мультипликативными) коммутаторами. Множество всех обратимых операторов на гильбертовом пространстве образует мультипликативную группу; по аналогии со стандартной конечномерной терминологией её можно назвать полной линейной группой этого пространства.