Унитарные расширения

Предположим, что $\mathbf{H}$ — подпространство гильбертова пространства $\mathbf{K}$, и пусть $P$ — (ортогональная) проекция из $\mathbf{K}$ на $\mathbf{H}$. Каждый оператор $B$ на $\mathbf{K}$ естественным образом порождает оператор $A$ на $\mathbf{H}$, определённый для каждого $f$ из $\mathbf{H}$ формулой $Af = PBf$ (равносильно, $AP = PBP$). При этих условиях оператор $A$ называется сжатием $B$ на $\mathbf{H}$, а $B$ называется дилатацией $A$ на $\mathbf{K}$.

Оператор $B$ называется степенной дилатацией (иногда называемой также сильной дилатацией) оператора $A$, если $B^{n}$ является дилатацией $A^{n}$ при $n = 1, 2, 3, \ldots$.

Это (эргодическая теорема о среднем) для сжатий. Для унитарного оператора $U$ она утверждает, что средние $\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1} U^{j}$ образуют сильно сходящуюся последовательность; более содержательно, предел — это проекция, образом которой служит подпространство $\left\{ f : Uf = f\right\}$, т.е. подпространство неподвижных точек $U$.

Для ограниченной комплекснозначной функции $F$, определённой на множестве $M$, запишем $\left\| F\right\|_{M} = \sup \left\{ \left|F(\lambda )\right| : \lambda \in M\right\}$. Этот результат известен как неравенство фон Неймана. Спектральным множеством оператора $A$ называется множество $M$ такое, что $\operatorname {spec} A \subset M$ и такое, что если $F$ — ограниченная рациональная функция на $M$ (т.е. рациональная функция без полюсов в замыкании $M$), то $\left\| F(A)\right\| \leq \left\| F\right\|_{M}$. Неравенство фон Неймана часто переформулируют так: замкнутый единичный круг является спектральным множеством для каждого сжатия.