Числовой образ

Числовым образом оператора $A$ называется множество $W(A)$ всех комплексных чисел вида $\left\langle Af, f \right\rangle$, где $f$ пробегает все векторы единичной сферы (то есть $\left\| f\right\| = 1$, а не $\left\| f\right\| \leq 1$).

Напомним выражение проекции $P$ ранга $1$ через единичный вектор $f$ из её образа: $Pg = \left\langle g, f \right\rangle f$ для всех $g$. Если $A$ — произвольный оператор, то $PAP$ — оператор ранга $1$, а значит для него имеет смысл такое конечномерное понятие, как след; поскольку $Pf = f$, значение этого следа $\operatorname {tr} PAP = \left\langle APf, Pf \right\rangle = \left\langle Af, f \right\rangle$. Эти замечания можно резюмировать так: $W(A)$ равен множеству всех комплексных чисел вида $\operatorname {tr} PAP$, где $P$ пробегает все проекции ранга $1$. Заменив $1$ на произвольное натуральное $k$, получим $k$-мерный числовой образ $A$, обозначаемый $W_k(A)$: это множество всех комплексных чисел вида $\operatorname {tr} PAP$, где $P$ пробегает все проекции ранга $k$. Обычный числовой образ — это $k$-мерный числовой образ при $k=1$.

В решении 212 был предъявлен компактный оператор $A$ такой, что $W(A) = (0,1]$; то есть $0$ лежит в замыкании $W(A)$, но не в самом $W(A)$.

Тривиальное следствие, утверждающее, что если $A = B+iC$, где $B$ и $C$ эрмитовы, то $\operatorname {spec} A \subset \overline{W(B)} + i\overline{W(C)}$, есть теорема Бендиксона--Хирша.

Если $A$ — квазинильпотентный оператор, то, по задаче 214, $0 \in \overline{W(A)}$. По решению 212, множество $W(A)$ может оказаться незамкнутым, так что из $0 \in \overline{W(A)}$ не следует $0 \in W(A)$. Заметим, что любой такой пример является решением задачи 212.

Выпуклой оболочкой множества $M$, обозначаемой $\operatorname {conv} M$, по определению называется наименьшее выпуклое множество, содержащее $M$; иными словами, $\operatorname {conv} M$ — это пересечение всех выпуклых множеств, содержащих $M$. Нетривиальный факт конечномерной евклидовой геометрии состоит в том, что выпуклая оболочка компакта замкнута; выпуклая оболочка компакта есть пересечение всех замкнутых полуплоскостей, содержащих его. Замыкание выпуклого множества выпукло.

В качестве применения: если $\left|\lambda \right| = 1$ и

то $A$ унитарен, а значит нормален, так что результат влечёт, что его числовой образ есть выпуклая оболочка его собственных значений (кубических корней из $\lambda$) — треугольник с этими собственными значениями в качестве вершин. Аналогично, числовой образ прямой суммы есть выпуклая оболочка числовых образов её слагаемых; применение этого к прямой сумме $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ и $(1)$ восстанавливает форму купола с конусом числового образа $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Числовой образ, как и спектр, сопоставляет каждому оператору некоторое множество. Есть тесно связанная с этим числовая функция $w$, называемая числовым радиусом, определённая формулой $w(A) = \sup \left\{ \left|\lambda \right| : \lambda \in W(A)\right\}$ (ср. определение спектрального радиуса $r(A)$, задача 88). Легко доказать, что $w$ — норма: $w(A) \geq 0$, причём $w(A) = 0$ тогда и только тогда, когда $A = 0$; $w(\alpha A) = \left|\alpha \right| \cdot w(A)$ для каждого скаляра $\alpha$; и $w(A+B) \leq w(A) + w(B)$. Эта норма эквивалентна обычной операторной норме: $\tfrac {1}{2}\left\| A\right\| \leq w(A) \leq \left\| A\right\|$. Норма $w$ обладает и многими другими приятными свойствами; так, например, $w(A^{*}) = w(A)$, $w(A^{*}A) = \left\| A\right\|^2$, и $w$ унитарно инвариантна в том смысле, что $w(U^{*}AU) = w(A)$ всякий раз, когда $U$ унитарен.

Поскольку $\operatorname {spec} A \subset \overline{W(A)}$ (задача 214), между спектральным радиусом и числовым радиусом есть несложное неравенство: $r(A) \leq w(A)$. Существование квазинильпотентных (или, если на то пошло, нильпотентных) операторов показывает, что ничего похожего на обратное неравенство верным быть не может.

Если $A$ нормален, то $w(A) = \left\| A\right\|$. Уинтнер называл оператор $A$ с $w(A) = \left\| A\right\|$ нормалоидным. Ещё одно полезное (но безымянное) свойство нормального оператора $A$ (задача 216) состоит в том, что $\overline{W(A)}$ есть выпуклая оболочка $\operatorname {spec} A$; назовём (не обязательно нормальный) оператор с этим свойством выпуклоидным. Ещё одно (безымянное) свойство нормального оператора $A$ состоит в том, что $r(A) = w(A)$; назовём оператор с этим свойством спектралоидным. Из задачи 218 следует, что всякий нормалоидный оператор спектралоиден. Верно также, что всякий выпуклоидный оператор спектралоиден: поскольку замкнутый круг с центром $0$ и радиусом $r(A)$ содержит $\operatorname {spec} A$ и выпукл, отсюда следует, что если $A$ выпуклоиден, то этот круг содержит $W(A)$; это влечёт $w(A) \leq r(A)$, а значит $A$ спектралоиден.

Лучший способ поставить этот вопрос — в терминах метрики Хаусдорфа для компактных подмножеств плоскости. Чтобы определить эту метрику, запишем $M + (\varepsilon ) = \left\{ z + \alpha : z \in M, \left|\alpha \right| < \varepsilon \right\}$ для каждого множества $M$ комплексных чисел и каждого положительного числа $\varepsilon$. В этих обозначениях, если $M$ и $N$ — компактные множества, расстояние Хаусдорфа $d(M,N)$ между ними — это инфимум всех положительных чисел $\varepsilon$ таких, что одновременно $M \subset N + (\varepsilon )$ и $N \subset M + (\varepsilon )$.

Поскольку метрика Хаусдорфа определена для компактных множеств, подходящая для обсуждения функция — это $\overline{W}$, а не $W$. Единственное, что сразу очевидно, — это то, что если $\overline{W}$ непрерывна относительно какой-либо топологии, то и $w$ непрерывна, и, следовательно, если $w$ разрывна, то и $\overline{W}$ разрывна.

Хорошие свойства числового образа и числового радиуса связаны с выпуклостью и линейностью; отношения между числовым образом и мультипликативными свойствами операторов не столь гладкие. Так, например, $w$, разумеется, не мультипликативна, т.е. $w(AB)$ не всегда равно $w(A)w(B)$. (Пример с коммутирующими нормальными операторами: если $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, то $w(A) = w(B) = 1$ и $w(AB) = 0$.) Следующим по силе свойством было бы то, что $w$ субмультипликативна ($w(AB) \leq w(A)w(B)$), но и это неверно. (Пример: если $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, то $w(A) = w(B) = \tfrac {1}{2}$ и $w(AB) = 1$.) Поскольку $w(AB) \leq \left\| AB\right\| \leq \left\| A\right\| \cdot \left\| B\right\|$, отсюда следует, что для нормальных операторов $w$ субмультипликативна (потому что если $A$ и $B$ нормальны, то $\left\| A\right\| = w(A)$ и $\left\| B\right\| = w(B)$), а для операторов вообще $w(AB) \leq 4w(A)w(B)$ (потому что $\left\| A\right\| \leq 2w(A)$ и $\left\| B\right\| \leq 2w(B)$). Пример, использованный для доказательства несубмультипликативности $w$, показывает также, что константа $4$ здесь наилучшая из возможных.

Коммутативность иногда помогает; здесь — нет. Примеры коммутирующих операторов $A$ и $B$, для которых $w(AB) > w(A)w(B)$, найти немного сложнее, но они существуют. Вот один из них: при

и $B = A^2$ легко видеть, что $w(A^2) = w(A^3) = \tfrac {1}{2}$. Значение $w(A)$ вычислить несколько сложнее, но это и не нужно; подойдёт почти очевидное соотношение $w(A) < 1$. В самом деле: $w(AB) = w(A^3) = \tfrac {1}{2} > w(A) \cdot \tfrac {1}{2} = w(A)w(B)$.

Единственный обрывок мультипликативного поведения, который ещё не исключён, — это степенное неравенство $w(A^n) \leq (w(A))^n$.

Это утверждение, очевидно, следует из степенного неравенства. Чтобы показать, что оно, в свою очередь, влечёт степенное неравенство, рассуждаем так. Если $w(A) = 0$, то $A = 0$, и всё тривиально. Если $w(A) \neq 0$, положим $B = A/w(A)$, заметим, что $w(B) \leq 1$, используем утверждение этой задачи, чтобы заключить $w(B^n) \leq 1$, и получим $w(A^n) \leq (w(A))^n$.