Субнормальные операторы

Тривиально, что если оператор принадлежит коммутативной алгебре, замкнутой относительно взятия сопряжений, то этот оператор нормален. Если же, наоборот, алгебра замкнута относительно взятия сопряжений и состоит только из нормальных операторов, то эта алгебра коммутативна. (Доказательство: если $A+iB$ и $C+iD$ лежат в алгебре, причём $A$, $B$, $C$ и $D$ эрмитовы, то $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат в алгебре, поскольку сопряжения образуемы, а значит, в ней лежат и $A+iC$, $A+iD$, $B+iC$, $B+iD$; предполагаемая нормальность влечёт, что всё коммутирует.) Этот вопрос — что произойдёт, если отбросить условие замкнутости алгебры относительно сопряжений.

Здесь, как обычно, $\chi$ обозначает характеристическую функцию множества, указанного в нижнем индексе.

Оператор $A$ на гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$ называется субнормальным, если существует нормальный оператор $B$ на гильбертовом пространстве $\mathbf{K}$ такой, что $\mathbf{H}$ является подпространством $\mathbf{K}$, подпространство $\mathbf{H}$ инвариантно относительно оператора $B$, и сужение $B$ на $\mathbf{H}$ совпадает с $A$; такой оператор $B$ называется нормальным расширением оператора $A$. Оператор $A$ называется квазинормальным, если $A$ коммутирует с $A^{*}A$.

Нормальность влечёт квазинормальность, но не наоборот (свидетель — односторонний сдвиг). Настоящее утверждение состоит в том, что квазинормальность влечёт субнормальность, но, опять же, обратное неверно. Чтобы построить контрпример, достаточно прибавить к одностороннему сдвигу ненулевой скаляр. Полученный оператор столь же субнормален, как и односторонний сдвиг, но несложное вычисление показывает, что если бы он был ещё и квазинормален, то односторонний сдвиг был бы нормален.

Оператор $A$ называется квазинормальным, если $A$ коммутирует с $A^{*}A$. Подпространство инвариантно относительно оператора, если оператор отображает его в себя; "нетривиальное" означает отличное как от $0$, так и от всего пространства.

Оператор $A$ на $\mathbf{H}$ называется субнормальным, если существует нормальный оператор $B$ на гильбертовом пространстве $\mathbf{K}$ такой, что $\mathbf{H}$ является подпространством $\mathbf{K}$, подпространство $\mathbf{H}$ инвариантно относительно $B$, и сужение $B$ на $\mathbf{H}$ совпадает с $A$. Нормальное расширение $B$ (на $\mathbf{K}$) субнормального оператора $A$ (на $\mathbf{H}$) называется минимальным, если между $\mathbf{H}$ и $\mathbf{K}$ нет приводящего подпространства оператора $B$; то есть, всякий раз когда $\mathbf{M}$ приводит $B$ и $\mathbf{H} \subset \mathbf{M}$, отсюда следует $\mathbf{M} = \mathbf{K}$.

Этот результат показывает, что допустимо говорить "о" минимальном нормальном расширении субнормального оператора. Типичный пример: минимальным нормальным расширением одностороннего сдвига является двусторонний сдвиг.

Оператор $A$ на $\mathbf{H}$ называется субнормальным, если существует нормальный оператор $B$ на гильбертовом пространстве $\mathbf{K}$ такой, что $\mathbf{H}$ является подпространством $\mathbf{K}$, подпространство $\mathbf{H}$ инвариантно относительно $B$, и сужение $B$ на $\mathbf{H}$ совпадает с $A$; такой оператор $B$ называется минимальным нормальным расширением $A$, если между $\mathbf{H}$ и $\mathbf{K}$ нет строго промежуточного приводящего подпространства оператора $B$.

Первый нетривиальный пример субнормального оператора показывает, что спектр не обязан просто расти вместе с оператором: если $A$ — односторонний сдвиг, а $B$ — двусторонний сдвиг, то $\operatorname {spec} A$ — это единичный круг, тогда как $\operatorname {spec} B$ — лишь окружность единичного круга.

Оператор $A$ на $\mathbf{H}$ называется субнормальным, если существует нормальный оператор $B$ на гильбертовом пространстве $\mathbf{K}$ такой, что $\mathbf{H}$ является подпространством $\mathbf{K}$, подпространство $\mathbf{H}$ инвариантно относительно $B$, и сужение $B$ на $\mathbf{H}$ совпадает с $A$; такой оператор $B$ называется минимальным нормальным расширением $A$, если между $\mathbf{H}$ и $\mathbf{K}$ нет строго промежуточного приводящего подпространства оператора $B$. Дырой компактного подмножества комплексной плоскости называется ограниченная компонента его дополнения.

Теорему о включении спектров (задача 200) для субнормальных операторов можно усилить следующим результатом: спектр субнормального оператора всегда получается из спектра его минимального нормального расширения "заполнением некоторых дыр".

Оператор $A$ на $\mathbf{H}$ называется субнормальным, если существует нормальный оператор $B$ на гильбертовом пространстве $\mathbf{K}$ такой, что $\mathbf{H}$ является подпространством $\mathbf{K}$, подпространство $\mathbf{H}$ инвариантно относительно оператора $B$, и сужение $B$ на $\mathbf{H}$ совпадает с $A$; такой оператор $B$ называется нормальным расширением $A$.

Если $A$ (на $\mathbf{H}$) субнормален, с нормальным расширением $B$ (на $\mathbf{K}$), где оператор $A$ на $\mathbf{H}$ субнормален, если существует нормальный оператор $B$ на гильбертовом пространстве $\mathbf{K}$ такой, что $\mathbf{H}$ является подпространством $\mathbf{K}$, подпространство $\mathbf{H}$ инвариантно относительно $B$, и сужение $B$ на $\mathbf{H}$ совпадает с $A$, то соотношение между $A^{*}$ и $B^{*}$ лучше всего выразить через проекцию $P$ из $\mathbf{K}$ на $\mathbf{H}$. Если $f$ и $g$ лежат в $\mathbf{H}$, то

Поскольку оператор $PB^{*}$ на $\mathbf{K}$ оставляет $\mathbf{H}$ инвариантным, его сужение на $\mathbf{H}$ является оператором на $\mathbf{H}$, и, согласно предыдущей цепочке равенств, это сужение равно $A^{*}$. Таков ответ:

для каждого $f$ из $\mathbf{H}$.

Это соотношение между $A^{*}$ и $B^{*}$ имеет любопытное следствие. Если $f \in \mathbf{H}$, то

Результат ($\left\| A^{*}f\right\| \leq \left\| Af\right\|$) можно переформулировать другим полезным способом; он равносилен операторному неравенству

(В самом деле: $\left\| A^{*}f\right\|^2 = \left\langle AA^{*}f, f \right\rangle$ и $\left\| Af\right\|^2 = \left\langle A^{*}Af, f \right\rangle$.)

Оператор $A$, для которого $A^{*}A \geq AA^{*}$, называется гипонормальным. Результат приведённого рассуждения состоит в том, что всякий субнормальный оператор гипонормален. В конечномерном пространстве всякий гипонормальный оператор нормален: поскольку $\operatorname {tr}(AB)$ всегда равен $\operatorname {tr}(BA)$, отсюда следует, что $\operatorname {tr}(A^{*}A - AA^{*})$ всегда равен $0$; если $A^{*}A \geq AA^{*}$, то $A^{*}A - AA^{*}$ — положительный оператор со следом $0$, и, следовательно, $A^{*}A - AA^{*} = 0$. Это обобщение утверждения о том, что в конечномерном пространстве всякий субнормальный оператор нормален (ср. задачу 195).

В обоих случаях одно из прямых слагаемых может отсутствовать.

Оператор $A$, для которого $A^{*}A \geq AA^{*}$, называется гипонормальным.

Оператор $A$, для которого $A^{*}A \geq AA^{*}$, называется гипонормальным. Из обсуждения гипонормальных операторов в конечномерных пространствах (задача 203) следует, что гипонормальный оператор конечного ранга (в возможно бесконечномерном пространстве) всегда нормален; в этой задаче речь идёт о пределах операторов конечного ранга.

Оператор $A$ компактен тогда и только тогда, когда компактны и $\re A$, и $\im A$. Оператор $A$, для которого $A^{*}A \geq AA^{*}$, называется гипонормальным; задачу 206 можно сформулировать так: если $A$ гипонормален и $\re A$, $\im A$ оба компактны, то $A$ нормален. Следует иметь в виду, что даже если $A$ гипонормален, $A^{*}$ не обязан быть таковым. Тривиально верно, однако, что $iA$ гипонормален одновременно с $A$ и $\im (iA) = \re A$.

Оператор $A$ называется квазинормальным, если $A$ коммутирует с $A^{*}A$; оператор $A$ на $\mathbf{H}$ называется субнормальным, если существует нормальный оператор $B$ на гильбертовом пространстве $\mathbf{K}$ такой, что $\mathbf{H}$ является подпространством $\mathbf{K}$, подпространство $\mathbf{H}$ инвариантно относительно $B$, и сужение $B$ на $\mathbf{H}$ совпадает с $A$; оператор $A$, для которого $A^{*}A \geq AA^{*}$, называется гипонормальным. Нормальность влечёт квазинормальность, квазинормальность влечёт субнормальность, а субнормальность влечёт гипонормальность; нормальный идемпотент обязательно эрмитов (а значит, является проекцией).

Оператор $A$, для которого $A^{*}A \geq AA^{*}$, называется гипонормальным. Всякая степень нормального оператора нормальна, и, как почти столь же тривиальное следствие, всякая степень субнормального оператора субнормальна; эта задача показывает, что соответствующий факт для гипонормальных операторов неверен. Любое решение автоматически является также примером гипонормального оператора, не являющегося субнормальным (задача 203), поскольку квадрат субнормального оператора обязан быть субнормальным, а значит и гипонормальным; обратное неверно, поскольку у гипонормального оператора, использованного в решении 203, все степени также гипонормальны.