Примеры компактности

Ядром Вольтерры называется ядро $K$ из $L^{2}\left(\mu \times \mu \right)$ (где $\mu$ — мера Лебега на единичном отрезке), такое что $K(x,y) = 0$ при $x < y$; эквивалентно, ядро Вольтерры — это ядро Гильберта--Шмидта, обращающееся в нуль выше диагонали ($x = y$) единичного квадрата. Интегральный оператор $A$ (оператор Вольтерры), порождённый ядром Вольтерры $K$, задаётся равенством

«Ограниченность» относится к ядру, а не к оператору: предполагается, что $K$ ограничено почти всюду в единичном квадрате. Оператор $A$ квазинильпотентен, если $\lim_n \left\| A^n\right\|^{1/n} = 0$.

Ядром Вольтерры называется ядро $K$ из $L^{2}\left(\mu \times \mu \right)$ (где $\mu$ — мера Лебега на единичном отрезке), такое что $K(x,y) = 0$ при $x < y$. Интегральный оператор, порождённый ядром Вольтерры $K$, называется оператором Вольтерры и задаётся равенством $(Af)(x) = \int_0^x K(x,y) f(y) \, dy$. Оператор $A$ квазинильпотентен, если $\lim_n \left\| A^n\right\|^{1/n} = 0$.

Интегральный оператор $A$, порождённый ядром Вольтерры $K$ (ядром $K \in L^{2}\left(\mu \times \mu \right)$ на единичном квадрате с $K(x,y) = 0$ при $x < y$), называется оператором Вольтерры; $A$ задаётся равенством $(Af)(x) = \int_0^x K(x,y) f(y) \, dy$. Простейший нетривиальный оператор Вольтерры — тот, чьё ядро есть характеристическая функция треугольника $\left\{ \left\langle x, y \right\rangle : 0 \leq y \leq x \leq 1\right\}$: это оператор интегрирования Вольтерры $V$, определённый на $L^{2}\left((0,1)\right)$ равенством

Иными словами, $V$ — это неопределённое интегрирование, с постоянной интегрирования, подобранной так, чтобы всякая функция из области значений $V$ обращалась в нуль в точке $0$.

Интегральный оператор, порождённый ядром Вольтерры (ядром $K \in L^{2}\left(\mu \times \mu \right)$ на единичном квадрате с $K(x,y) = 0$ при $x < y$), называется оператором Вольтерры. Оператором интегрирования Вольтерры называется оператор $V$, определённый на $L^{2}\left((0,1)\right)$ равенством $(Vf)(x) = \int_0^x f(y) \, dy$.

Существует оператор $V_0$ на $L^{2}\left((-1,+1)\right)$ (мера Лебега), обладающий слабым формальным сходством с $V$; по определению,

Заметим, что $V_0$ — интегральный оператор, порождённый ядром, являющимся характеристической функцией «бабочки» $\left\{ \left\langle x, y \right\rangle : 0 \leq \left|y\right| \leq \left|x\right| \leq 1\right\}$.

Оператором интегрирования Вольтерры называется оператор $V$, определённый на $L^{2}\left((0,1)\right)$ равенством $(Vf)(x) = \int_0^x f(y) \, dy$.

Подпространство называется инвариантным относительно оператора, если оператор отображает его в себя; «нетривиальное» означает отличное и от $0$, и от всего пространства.

Предположим, что $\left\{ \alpha_n\right\}$ — монотонная последовательность ($\alpha_n \geq \alpha_{n+1}$, $n = 0, 1, 2, \ldots$) положительных чисел ($\alpha_n > 0$), такая что $\sum_{n=0}^{\infty } \alpha_n^2 < \infty$. Односторонний взвешенный сдвиг с последовательностью весов $\left\{ \alpha_n\right\}$ называется монотонным сдвигом в $l^2$. Линейная оболочка базисных векторов $e_n, e_{n+1}, e_{n+2}, \ldots$ инвариантна относительно такого сдвига, $n = 0, 1, 2, \ldots$. Ортогональное дополнение, т.е.линейная оболочка $\mathbf{M}_n$ векторов $e_0, \ldots , e_{n-1}$, инвариантно относительно сопряжённого, $n = 1, 2, 3, \ldots$; основной результат состоит в том, что всякое инвариантное подпространство этого сопряжённого является одним из этих ортогональных дополнений.