Пространства

Совокупность всех подпространств гильбертова пространства образует решётку. Это означает, что совокупность частично упорядочена (по включению) и что любые два её элемента $\mathbf{M}$ и $\mathbf{N}$ имеют наименьшую верхнюю грань, или супремум (а именно линейную оболочку $\mathbf{M} \vee \mathbf{N}$), и наибольшую нижнюю грань, или инфимум (а именно пересечение $\mathbf{M} \cap \mathbf{N}$). Решётка называется дистрибутивной, если (в обозначениях, принятых для подпространств)

тождественно по $\mathbf{L}$, $\mathbf{M}$ и $\mathbf{N}$.

Существует ослабление этого условия дистрибутивности, называемое модулярностью; решётка называется модулярной, если дистрибутивный закон, записанный выше, выполняется по крайней мере при $\mathbf{N} \subset \mathbf{L}$. В этом случае, разумеется, $\mathbf{L} \cap \mathbf{N} = \mathbf{N}$, и тождество принимает вид

(с условием $\mathbf{N} \subset \mathbf{L}$, по-прежнему остающимся в силе).

Здесь "мера" означает счётно-аддитивную функцию множества $\mu$, определённую (по крайней мере) на совокупности всех борелевских множеств ($\sigma$-алгебре, порождённой открытыми множествами), так что $0 \leq \mu (M) \leq \infty$ для всех борелевских множеств $M$, причём каждое непустое открытое множество имеет положительную меру, а $\mu$ инвариантна относительно сдвигов (то есть $\mu (f+M) = \mu (M)$ для каждого вектора $f$ и каждого борелевского множества $M$).