Свойства компактности

В соответствии с сильной (s) и слабой (w) топологиями на гильбертовом пространстве $\mathbf{H}$ имеются четыре возможных истолкования непрерывности преобразования из $\mathbf{H}$ в $\mathbf{H}$: это истолкования, подсказываемые символами $(\mathrm{s} \rightarrow \mathrm{s})$, $(\mathrm{w} \rightarrow \mathrm{w})$, $(\mathrm{s} \rightarrow \mathrm{w})$ и $(\mathrm{w} \rightarrow \mathrm{s})$. Так, сказать, что $A$ непрерывен $(\mathrm{s} \rightarrow \mathrm{w})$, означает, что прообраз при $A$ всякого w-открытого множества s-открыт; эквивалентно, это означает, что образ при $A$ сети, s-сходящейся к $f$, есть сеть, w-сходящаяся к $Af$.

Линейное преобразование на гильбертовом пространстве называется компактным (также вполне непрерывным), если его сужение на единичный шар непрерывно $(\mathrm{w} \rightarrow \mathrm{s})$ (см.задачу 169). Здесь «замкнутый» относится к топологии по норме, «самосопряжённый» означает, что если $A \in \mathbf{K}$, то $A^{*} \in \mathbf{K}$, а «идеал» означает, что линейные комбинации операторов из $\mathbf{K}$ лежат в $\mathbf{K}$ и что произведения, у которых хотя бы один множитель лежит в $\mathbf{K}$, лежат в $\mathbf{K}$.

Менее точная, но более короткая формулировка следствия такова: всякий компактный нормальный оператор диагонален.

Пусть $X$ — пространство с $\sigma$-конечной мерой $\mu$, и пусть $K$ — комплекснозначная измеримая функция на $X \times X$, такая что $\left|K\right|^{2}$ интегрируема относительно произведения мер $\mu \times \mu$. Отсюда следует, что для почти всякого $x$ функция $y \mapsto K(x,y)$ лежит в $\mathrm{L}^{2}(\mu )$, а значит, произведение $y \mapsto K(x,y)f(y)$ интегрируемо всякий раз, когда $f \in \mathrm{L}^{2}(\mu )$. Поскольку, кроме того,

(где $\left\| K\right\|$ — норма $K$ в $\mathrm{L}^{2}(\mu \times \mu )$), отсюда следует, что равенство

определяет оператор (с ядром $K$) на $\mathrm{L}^{2}(\mu )$, с $\left\| A\right\| \leq \left\| K\right\|$. Оператор такого вида называется интегральным оператором, а $K$ называется его ядром. Интегральные операторы с ядрами такого типа (т.е.с ядрами из $\mathrm{L}^{2}(\mu \times \mu )$) называются операторами Гильберта–Шмидта.

Идеал операторов называется собственным, если он не содержит всех операторов. Аналогичные результаты справедливы и для несепарабельных пространств, но формулировки и доказательства там более громоздки и гораздо менее интересны.

Ортонормированная последовательность слабо сходится к $0$, а компактный оператор непрерывен $(\mathrm{w} \rightarrow \mathrm{s})$. Отсюда следует, что если оператор $A$ компактен, то $A$ отображает всякую ортонормированную последовательность на сильно нулевую последовательность. В какой мере верно обратное? Может ли, например, оказаться так, что если оператор $A$ отображает некоторую ортонормированную последовательность на сильно нулевую последовательность, то $A$ компактен? Разумеется, нет — это абсурдно. Обоснование: рассматриваемая ортонормированная последовательность могла бы составлять лишь половину ортонормированного базиса, на другой половине которого $A$ велик. (Пример: проекция бесконечного ранга и бесконечного нулевого индекса.) Чтобы избежать неуместных отвлечений на большие кардинальные числа, лучше всего предположить, что лежащее в основе гильбертово пространство сепарабельно и что изучаемые ортонормированные базисы задаются последовательностями.

Легко построить некомпактные операторы, квадрат которых компактен; фактически легко построить некомпактные операторы, нильпотентные индекса $2$. (Ср.задачу 96.)

Эквивалентно: если $C$ компактен, и если $\lambda$ — ненулевое комплексное число, то либо $\lambda$ — собственное значение $C$, либо $C - \lambda$ обратим. В этой форме утверждение часто называют альтернативой Фредгольма. У него есть шутливая, но по существу верная формулировка в терминах уравнения $(C-\lambda )f = g$, в котором $g$ считается заданным, а $f$ — неизвестным; согласно этой формулировке, если решение единственно, то оно существует.

Здесь $\Pi (A)$ обозначает аппроксимативный точечный спектр $A$ (множество комплексных чисел $\lambda$, таких что $A - \lambda$ не ограничен снизу), а $\Pi_0(A) \subset \Pi (A)$ обозначает точечный спектр $A$ (множество собственных значений $A$).

Оператор $A$ называется фредгольмовым оператором, если (1) $\operatorname {ran} A$ замкнута и оба пространства $\ker A$ и $\operatorname {ran}^{\perp } A$ конечномерны. (Последние два условия можно выразить, сказав, что нулевой индекс и коразмерность $A$ конечны.) Оператор $A$ обратим по модулю идеала операторов конечного ранга, если (2) существует оператор $B$, такой что и $1 - AB$, и $1 - BA$ имеют конечный ранг. Оператор $A$ обратим по модулю идеала компактных операторов, если (3) существует оператор $B$, такой что и $1 - AB$, и $1 - BA$ компактны.

Этот результат принадлежит Аткинсону [7].

Процесс прибавления компактного оператора к данному иногда называют возмущением. Общепринятая точка зрения на возмущение состоит в том, что компактные операторы «малы»; прибавление компактного оператора не может (или не должно) приводить к радикальным изменениям. Заметим, что при $B = 0$ утверждение следует из задачи 179. Здесь $\Pi_0(A)$ обозначает точечный спектр $A$ (множество собственных значений $A$).

Теорема Вейля (задача 182) влечёт, что если $U$ — односторонний сдвиг, а $C$ компактен, то спектр $U + C$ содержит единичный круг. (Вот небольшой курьёз. Причина, по которой спектр $U + C$ содержит единичный круг, состоит в том, что $U$ не имеет собственных значений. У сопряжённого $U^{*}$ много собственных значений, так что это рассуждение к нему неприменимо, но вывод верен. Обоснование: спектр $U^{*} + C$ получается из спектра $U + C^{*}$ отражением относительно вещественной оси, а $C^{*}$ так же компактен, как и $C$.) Верно и больше [137]: всякая точка открытого единичного круга является собственным значением $(U+C)^{*}$.

Из предыдущего абзаца следует, что $U + C$ никогда не может быть обратимым (спектр не может миновать $0$), а также следует, что $U + C$ никогда не может быть квазинильпотентным (спектр не может состоять из одного $0$). Короче говоря: если считать обратимость и квазинильпотентность хорошими свойствами, то не только $U$ плох, но его нельзя улучшить возмущением.

Всё более ценной частью изучения операторов является раздел, называемый некоммутативной теорией приближений. Следующий вопрос — небольшой образец этого раздела.